Osobliwo´sci funkcji holomorficznych

M´owimy, ˙ze funkcja holomorficzna f ma osobliwo´s´c izolowana w punkcie z_, 0, je˙zeli f ∈ O(U \ {z₀}), gdzie U jest otwartym otoczeniem punktu z₀w C. Z Twierdzenia 11.1 (dla r = 0 oraz R takiego, ˙ze K(z₀, R) ⊂ U ) wynika, ˙ze w otoczeniu z₀funkcje_, f mo˙zemy rozwina´c w szereg Laurenta_,

(12.1) f (z) =

X∞ n=−∞

a_n(z − z₀)ⁿ,

gdzie wsp´oÃlczynniki a_n sa wyznaczone jednoznacznie (dzi_, eki Twierdzeniu 11.3; s_, a_, one dane przez (11.1)). Je˙zeli an = 0 dla n = −1, −2, . . . , to m´owimy, ˙ze f ma osobliwo´s´c pozorna w z_{, 0}. Je˙zeli istnieje m ≥ 1 takie, ˙ze a_−m 6= 0 oraz a_n = 0 dla n < −m, to m´owimy, ˙ze f ma biegun rzedu m w z_{, 0} (je˙zeli m = 1, to biegun nazywamy prostym). W pozostaÃlych przypadkach (tzn., gdy istnieje niesko´nczenie wiele n < 0 takich, ˙ze a_n 6= 0) m´owimy, ˙ze f ma istotna osobliwo´s´c w z_{, 0}.

Jest jasne, ˙ze funkcja holomorficzna ma pozorna osobliwo´s´c w z_, 0 wtedy i tylko wtedy, gdy przedÃlu˙za sie do funkcji holomorficznej w otoczeniu z_{, 0} (z tego powodu osobliwo´sci pozorne sa r´ownie˙z nazywane usuwalnymi). Je˙zeli f ma biegun rz_, edu_, m w z0, to

(12.2) f (z) = a−m

(z − z₀)^m + a−m+1

(z − z₀)^m−1 + . . . = h(z) (z − z₀)^m,

gdzie h jest funkcja holomorficzn_, a w otoczeniu z_{, 0}taka, ˙ze h(z_{, 0}) = a_−m6= 0.

Z drugiej strony, je˙zeli g jest holomorficzna w otoczeniu z0, g 6≡ 0 i g(z0) = 0, to g(z) = b_m(z − z₀)^m+ b_m+1(z − z₀)^m+1+ · · · = (z − z₀)^meh(z),

gdzie m ≥ 1, za´s eh jest funkcja holomorficzn_, a w otoczeniu z_{, 0}taka, ˙ze e_, h(z₀) = a_m6=

0. Takie m nazywamy krotno´scia zera funkcji g w z_, 0. Jest to r´ownowa˙zne temu, ˙ze g(z₀) = g⁰(z₀) = · · · = g^(m−1)(z₀) = 0, g^(m)(z₀) 6= 0

(dzieki wzorowi Taylora)._,

Z powy˙zszych rozwa˙za´n wida´c, ˙ze dla funkcji holomorficznej f w otoczeniu z₀ mamy

f ma w z₀zero krotno´sci m ⇔ 1/f ma w z₀ biegun rzedu m._,

Og´olniej, je˙zeli f, g sa holomorficzne w otoczeniu z_{, 0} i maja w z_{, 0} zera krotno´sci, odpowiednio, m i k, to f /g ma w z₀ zero krotno´sci m − k, je˙zeli m > k, oraz biegun rzedu k − m, je˙zeli m < k. (Je˙zeli m = k, to f /g jest funkcj_, a holomorficzn_, a_, w otoczeniu z₀ nieznikajac_, a w z_{, 0}). W szczeg´olno´sci, funkcja f /g nie mo˙ze mie´c istotnej osobliwo´sci.

PrzykÃlad. Funkcja

e^1/z= X∞ k=0

1 k!z^k ma istotna osobliwo´s´c w 0._,

WykÃlad 8, 23.04.2007

Jak wynika z poprzednich rezultat´ow (z Twierdze´n 4.1 i 6.1), ka˙zda funkcja holomorficzna posiadajaca osobliwo´s´c izolowan_, a w z_{, 0}, kt´ora mo˙zna przedÃlu˙zy´c do_, funkcji ciaglej w z_, 0, ma w z0 osobliwo´s´c pozorna. Ten fakt udowodniÃl Riemann_, w 1851 r. Poni˙zszy, og´olniejszy rezultat jest nazywany twierdzeniem Riemanna o usuwaniu osobliwo´sci.

Twierdzenie 12.1. Przypu´s´cmy, ˙ze funkcja holomorficzna f ma w z₀ osobliwo´s´c izolowana oraz jest ograniczona w otoczeniu z_, 0. Wtedy f ma osobliwo´s´c pozorna w_, z₀.

Dow´od. Niech h(z) := (z − z0)f (z). Wtedy dla pewnego otoczeniu U punktu z0

mamy h ∈ O(U \ {z₀}) ∩ C(U ), a stad h ∈ O(U ). Poniewa˙z h ma w z_{, 0} zero krotno´sci ≥ 1, a z − z₀zero krotno´sci 1, to f (z) = h(z)/(z − z₀) ma w z₀osobliwo´s´c pozorna. ¤_,

Cwiczenie´ Poda´c inny dow´od Twierdzenia 12.1: pokaza´c, ˙ze przy takich zaÃlo˙ze-niach wsp´oÃlczynniki a_n w Twierdzeniu 11.1 znikaja dla n < 0._,

Cwiczenie´ Pokaza´c, ˙ze je˙zeli f (z) =

X∞ n=−∞

an(z − z0)ⁿ∈ O(P (z0, r, R)), gdzie 0 < r < R < ∞, to

1 π

Z

P (z₀,r,R)

|f (z)|²dλ(z) = X

n6=−1

R²ⁿ⁺²− r²ⁿ⁺²

n + 1 |a_n|²+ 2 logR

r |a₋₁|². Wywnioskowa´c stad nast_, epuj_, ace wzmocnienie twierdzenia Riemanna: je˙zeli f ∈_, O ∩ L²(U \ {z0}), gdzie U jest otwartym otoczeniem z0, to f ma pozorna osobliwo´s´c_, w z₀. Pokaza´c, ˙ze wykÃladnika 2 nie mo˙zna poprawi´c.

Twierdzenie 12.2. (Casorati, 1868, Weierstrass, 1876, Sochocki, 1873) Je˙zeli funkcja holomorficzna f ma w z0 istotna osobliwo´s´c, to dla ka˙zdego odp. maÃlego_, otwartego otoczenia V punktu z₀, zbi´or f (V \ {z₀}) jest gesty w C._,

Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze twierdzenie nie jest prawdziwe, tzn. istnieje w0 ∈ C oraz ε > 0 takie, ˙ze K(w₀, ε) ∩ f (V \ {z₀}) = ∅. Oznacza to, ˙ze |f − w₀| ≥ ε w V \ {z₀}.

Funkcja g := 1/(f −w₀) jest wiec ograniczona w V \{z_{, 0}}, z Twierdzenia 12.1 wynika zatem, ˙ze ma w z0 pozorna osobliwo´s´c. Czyli funkcja f = w_, 0+ 1/g nie mo˙ze mie´c w z₀ istotnej osobliwo´sci - sprzeczno´s´c. ¤

Uwaga. Znacznie mocniejsze (ale i trudniejsze do udowodnienia) ni˙z Twierdzenie 12.2 jest tzw. wielkie twierdzenie Picarda (1879): przy zaÃlo˙zeniach Twierdzenia 12.2 zbi´or f (V \ {z₀}) omija co najwy˙zej jedna warto´s´c w C._,

Cwiczenie´ Zweryfikowa´c wielkie twierdzenie Picarda w nastepuj_, acych przypad-_, kach: e^1/z (omija jedna warto´s´c), cos(1/z) (nie omija ˙zadnej warto´sci)._,

Podobnie jak w Twierdzeniu 10.8.v przez P = C ∪ {∞} oznaczamy uzwarcenie Aleksandrowa pÃlaszczyzny zespolonej C. Oznacza to, ˙ze otwarte otoczenia punktu

∞ to zbiory postaci P \ K, gdzie K jest zwartym podzbiorem C. Ciag z_, j ∈ C jest zbie˙zny do ∞, je˙zeli limj→∞|zj| = ∞. Uwaga: w przeciwe´nstwie do prostej rzeczywistej nie rozr´o˙zniamy tutaj pomiedzy −∞ i +∞._,

Cwiczenie´ Pokaza´c, ˙ze P jest homeomorficzna ze sfera w R_, ³.

Mo˙zemy teraz skojarzy´c rodzaje osobliwo´sci izolowanych z istnieniem odpowied-nich granic.

Twierdzenie 12.3. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja holomorficzna f ma osobliwo´s´c izolowana_, w z0. Wtedy

i) f ma pozorna osobliwo´s´c w z_{, 0} ⇔ istnieje lim

z→z₀f (z) ∈ C;

ii) f ma biegun w z₀ ⇔ lim

z→z₀f (z) = ∞;

iii) f ma istotna osobliwo´s´c w z_{, 0} ⇔ nie istnieje lim

z→z₀f (z) ∈ P.

Dow´od. i) Natychmiastowa konsekwencja Twierdzenia 12.1 (a nawet Twierdze´n 4.1 i 6.1).

ii) Z (12.2) wynika ⇒, natomiast ⇐ wnioskujemy z i) (f nie ma pozornej oso-bliwo´sci) i Twierdzenia 12.2 (f nie ma istotnej osooso-bliwo´sci).

iii) Natychmiastowa konsekwencja i) oraz ii). ¤

Przestrze´n P ma strukture jednowymiarowej rozmaito´sci zespolonej: odwzoro-_, wania

ϕ₁:= id_C, ϕ₂: P \ {0} 3 z 7−→ 1 z ∈ C

sa homeomorfizmami takimi, ˙ze ϕ_{, 1}◦ ϕ⁻¹₂ , ϕ₂◦ ϕ⁻¹₁ ∈ O(C_∗). Wraz z powy˙zsza_, struktura P nazywamy sfer_, a Riemanna._,

Niech Ω1, Ω2 bed_, a otwartymi podzbiorami P. Funkcj_, e f : Ω_, 1 → Ω2 nazywamy holomorficzna (piszemy f ∈ O(Ω_{, 1}, Ω₂)), je˙zeli funkcje ϕ_j◦ f ◦ ϕ⁻¹_i sa holomorficzne_, dla i, j = 1, 2 (tam, gdzie sa okre´slone). ÃLatwo sprawdzi´c, ˙ze poj_, ecie holomor-_, ficzno´sci na sferze Riemanna jest wÃlasno´scia czysto lokaln_, a. Je˙zeli wi_, ec f (z_{, 0}) = w₀,

to holomorficzno´s´c f w otoczeniu z₀mo˙zemy scharakteryzowa´c nastepuj_, aco_, i) Je˙zeli z0, w0∈ C, to f jest holomorficzna w zwykÃlym sensie;

ii) Je˙zeli z₀= ∞, w₀∈ C, to f (1/ζ) jest holomorficzna w otoczeniu 0;

iii) Je˙zeli z₀∈ C, w₀= ∞, to 1/f jest holomorficzna;

iv) Je˙zeli z₀= w₀= ∞, to 1/f (1/ζ) jest holomorficzna w otoczeniu 0.

Niech f ∈ O(Ω, P), gdzie Ω ⊂ C jest obszarem. Je˙zeli f 6≡ ∞, to zbi´or biegun´ow f⁻¹(∞) jest dyskretny. Taka funkcj_, e nazywamy meromorficzn_, a. Innymi sÃlowy s_, a_, to wiec funkcje holomorficzne poza zbiorem dyskretnym, przy czym ˙zadna osobli-_, wo´s´c nie jest istotna. Funkcje meromorficzne lokalnie mo˙zna zapisa´c w postaci g/h, gdzie g, h sa holomorficzne, przy czym h 6≡ 0. Poka˙zemy p´o´zniej (Twierdze-_, nie 15.7), ˙ze takie g i h mo˙zna znale´z´c r´ownie˙z globalnie. Funkcje meromorficzne sa zatem podobnym uog´olnieniem funkcji holomorficznych jak funkcje wymierne_, wielomian´ow.

Cwiczenie´ Pokaza´c, ˙ze funkcja caÃlkowita przedÃlu˙za sie do funkcji z O(P, P) wtedy_, i tylko wtedy, gdy jest ona wielomianem.

Cwiczenie´ Udowodni´c, ˙ze O(P, P) \ {∞} to dokÃladnie zbi´or funkcji wymiernych.

Propozycja 12.4. i) O(C) ∩ O(P, P) = {wielomiany};

ii) O(P, P) \ {∞} = {funkcje wymierne}.

Dow´od. i) Je´sli funkcja caÃlkowita ma nie jest wielomianem, to w ∞ ma istotna_, osobliwo´s´c.

ii) Niech f = P/Q bedzie funkcj_, a wymiern_, a, gdzie P, Q s_, a wielomianami bez_, wsp´olnego dzielnika (czyli ich zbiory zer sa rozÃl_, aczne). Jest oczywiste, ˙ze f |_{, C\Q}−1(0)

jest funkcja holomorficzn_, a, przedÃlu˙zaj_, ac_, a si_, e do odwzorowania ci_, agÃlego P → P. Z_, twierdzenia Riemanna o usuwaniu osobliwo´sci wynika wiec, ˙ze f ∈ O(P, P)._,

ZaÃl´o˙zmy z kolei, ˙ze f ∈ O(P, P), f 6= const. Wtedy zbi´or f⁻¹(∞) jest sko´nczony (bo gdyby nie byÃl, to ze zwarto´sci P miaÃlby punkt skupienia, wiec z zasady iden-_, tyczno´sci wynikaÃloby, ˙ze f = const). Stosujac zmian_, e zmiennych w P postaci_, z⁰ = 1/(z − z0), gdzie z0 ∈ f/ ⁻¹(∞), bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze zbi´or f⁻¹(∞) = {z₁, . . . , z_n} nie zawiera ∞. Wtedy funkcja f |_{C\{z1,...,zn}} jest holomorficzna oraz z ciagÃlo´sci f na P oczywi´scie mamy lim_,

z→z_jf (z) = ∞, czyli f ma bieguny w z₁, . . . , z_n. Istnieja zatem liczby naturalne m_{, 1}, . . . , m_n takie, ˙ze

P (z) := (z − z₁)^m1. . . (z − z_n)^mnf (z) ∈ O(C).

Co wiecej, lim_,

z→∞P (z) = ∞ (bo f (∞) 6= ∞), czyli P jest wielomianem. ¤