Funkcje subharmoniczne

Funkcje u : Ω → R ∪ {−∞}, gdzie Ω jest zbiorem otwartym w C, nazywamy_, subharmoniczna, je˙zeli jest ona p´oÃlci_, agÃla z g´ory, na ka˙zdej skÃladowej Ω mamy u 6≡_,

−∞, oraz dla dowolnego obszaru D b Ω i h ∈ H(D) ∩ C(D) takiej, ˙ze u ≤ h na

∂D, mamy u ≤ h w D. Zbi´or funkcji subharmonicznych na Ω oznaczamy SH(Ω).

Twierdzenie 23.1. Niech u bedzie funkcj_, a subharmoniczn_, a w otoczeniu K(z_{, 0}, r).

Wtedy

u(z) ≤ 1 2π

Z _2π

0

r²− |z − z₀|²

|z − z₀− re^it|²u(z₀+ re^it) dt, z ∈ K(z₀, r).

Dow´od. Niech ϕn bedzie ci_, agiem funkcji ci_, agÃlych malej_, acym do u na ∂K(z_, 0, r).

Dzieki Twierdzeniu 22.8 znajdziemy h_{, n}∈ H(K(z₀, r)) ∩ C(K(z₀, r)) takie, ˙ze h_n = ϕn na ∂K(z0, r). Z definicji mamy wtedy

u(z) ≤ hn(z) = 1 2π

Z _2π

0

r²− |z − z0|²

|z − z₀− re^it|²ϕn(z0+ re^it) dt, z ∈ K(z0, r), i wystarczy przej´s´c z n do ∞. ¤

Twierdzenie 23.2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze u jest funkcja p´oÃlci_, agÃl_, a z g´ory na obszarze Ω_, taka, ˙ze u 6≡ −∞. Wtedy u jest subharmoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla_, ka˙zdego z₀∈ Ω istnieje r₀> 0 takie, ˙ze K(z₀, r₀) ⊂ Ω oraz

(23.1) u(z₀) ≤ 1

2π Z _2π

0

u(z₀+ re^it)dt, 0 < r ≤ r₀. W szczeg´olno´sci, subharmoniczno´s´c jest wÃlasno´scia lokaln_, a._,

Dow´od. Konieczno´s´c wynika z Twierdzenia 23.1. Dla wykazania dostateczno´sci we´zmy D b Ω i h ∈ H(D) ∩ C(D) takie, ˙ze u ≤ h na ∂D. Je˙zeli {u > h} 6= ∅, to u − h osiaga maksimum w pewnym z_, 0∈ D (korzystamy z p´oÃlciagÃlo´sci u). Z (23.1),_, rozumujac podobnie jak w dowodzie zasady maksimum dla funkcji holomorficznych_, i harmonicznych, wnioskujemy, ˙ze zbi´or {u − h = u(z₀) − h(z₀)} jest otwarty i nie-pusty. Z wÃlasno´sci funkcji p´oÃlciagÃlych z g´ory wynika, ˙ze jest on r´ownie˙z domkni_, ety_, (bo jest postaci {u − h ≥ const}), a wiec u − h = const > 0 w D - sprzeczno´s´c z_, warunkiem brzegowym. ¤

Twierdzenie 23.1 oraz dow´od Twierdzenia 23.2 implikuja w szczeg´olno´sci zasad_, e_, maksimum dla funkcji subharmonicznych.

Twierdzenie 23.3. Je˙zeli u ∈ SH(Ω) osiaga maksimum w obszarze Ω, to u jest_, staÃla. ¤

PrzykÃlad. Z Twierdzenia 23.2 i z tego, ˙ze log |z| ∈ H(C∗) Ãlatwo wnioskujemy, ˙ze max{log |z|, 0} ∈ SH(C). Widzimy wiec, ˙ze istnienie maksimum lokalnego nie_, implikuje tego, ˙ze funkcja subharmoniczna jest staÃla.

Je˙zeli u jest funkcja rzeczywist_, a okre´slon_, a na zbiorze otwartym Ω ⊂ C, to_, kÃladziemy

u^∗(z) := lim sup

ζ→z

u(ζ), u_∗(z) := lim inf

ζ→z u(ζ), z ∈ Ω.

Wtedy u^∗ i u_∗, okre´slone w Ω, sa odpowiednio najmniejsz_, a funkcj_, a p´oÃlci_, agÃl_, a z g´ory_,

≥ u w Ω oraz najwieksz_, a funkcj_, a p´oÃlci_, agÃl_, a z doÃlu ≤ u w Ω._,

Udowodnimy teraz inne podstawowe wÃlasno´sci funkcji subharmonicznych.

Twierdzenie 23.4. i) H(Ω) ⊂ SH(Ω);

ii) u, v ∈ SH(Ω), α ≥ 0 ⇒ max{u, v}, u + v, αu ∈ SH(Ω);

vi) Dla niepustej rodziny F ⊂ SH(Ω), lokalnie jednostajnie ograniczonej z g´ory, mamy (sup F)^∗∈ SH(Ω);

vii) Je˙zeli u, −u ∈ SH(Ω), to u ∈ H(Ω);

viii) Je˙zeli u ∈ C²(Ω), to u ∈ SH(Ω) ⇔ ∆u ≥ 0.

Dow´od. i) Wynika wprost z definicji oraz zasady maksimum dla funkcji harmonicz-nych.

ii) Korzystamy z Twierdzenia 23.2.

iii) Funkcja χ ◦ u jest p´oÃlciagÃla z g´ory. Dla koÃla K(z_{, 0}, r) w Ω mamy

przy czym pierwsza nier´owno´s´c wynika z tego, ˙ze χ jest rosnaca (i z subharmonicz-_, no´sci u), natomiast druga z wypukÃlo´sci χ (i nier´owno´sci Jensena).

iv) Funkcja log |f | jest harmoniczna na zbiorze {f 6= 0} i r´owna −∞, gdy f = 0, wystarczy wiec skorzysta´c z Twierdzenia 23.2. Mamy tak˙ze |f |_, ^α= χ(log |f |), gdzie χ(t) = e^αt jest rosnaca i wypukÃla._,

v) Wynika natychmiast z Twierdzenia 23.2.

vi) Dla koÃla K(z₀, r) w Ω korzystajac z Twierdzenia 23.1 dostaniemy_,

v(z) ≤ 1

Z lematu Fatou mamy teraz u^∗(z₀) = lim sup u = h w K(z₀, r), to otrzymamy sprzeczno´s´c, w przeciwnym wypadku znajdziemy

e

z ∈ K(z₀, r), gdzie u − h osiaga minimum. Wtedy 0 ≤ ∆(u − h)(e_, z) = ∆u(ez) -sprzeczno´s´c.

⇐ ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze ∆u > 0 i niech D b Ω, h ∈ H(D)∩C(D) bedzie takie, ˙ze_, u ≤ h na ∂D. Je˙zeli {u > h} 6= ∅, to znajdziemy ez ∈ D gdzie u − h ma maksimum.

Wtedy 0 ≥ ∆(u − h)(ez) = ∆u(ez) - sprzeczno´s´c. Pokazali´smy, ˙ze u ∈ SH(Ω), je˙zeli

∆u > 0. W og´olnym przypadku wystarczy rozwa˙zy´c funkcje uε(z) := u(z) + ε|z|², ε > 0, (wtedy ∆u_ε > 0) i skorzysta´c z v). ¤

Cwiczenie´ Niech f bedzie funkcj_, a holomorficzn_, a w otoczeniu pier´scienia {r ≤_,

|z| ≤ R} taka, ˙ze |f | ≤ m, gdy |z| = r oraz |f | ≤ M , gdy |z| = R. Pokaza´c, ˙ze_,

|f (z)| ≤ m(|z|/r)^{log(M/m)log(R/r)} (por´owna´c z ´cwiczeniem przed Twierdzeniem 6.4).

Cwiczenie´ Pokaza´c, ˙ze je˙zeli u ∈ SH(Ω) i K(z₀, r) ⊂ Ω, to u(z₀) ≤ 1

λ(K(z₀, r)) Z

K(z₀,r)

u dλ.

Wywnioskowa´c stad, ˙ze funkcje subharmoniczne s_, a lokalnie caÃlkowalne._,

Cwiczenie´ Udowodni´c, ˙ze dla u ∈ SH(Ω) regularyzacje uε sa funkcjami subhar-_, monicznymi w Ω_ε oraz ˙ze u_ε ↓ u, gdy ε ↓ 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli u jest funkcja subharmoniczn_, a w otoczeniu w, to_,

(23.2) lim sup

z→wz6=w

u(z) = u(w)

(≤ wynika z p´oÃlciagÃlo´sci z g´ory, natomiast ≥ z (23.1)). Dla funkcji subharmon-_, icznych mamy odpowiednik twierdzenia Riemanna o usuwaniu osobliwo´sci.

WykÃlad 19, 5.11.2007

Twierdzenie 23.5. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze u ∈ SH(Ω \ {w}) jest funkcja ograniczon_, a z g´ory_, w pobli˙zu w. Wtedy u mo˙zna jednoznacznie przedÃlu˙zy´c do funkcji subharmonicznej na Ω.

Dow´od. Problem jest czysto lokalny. Jednoznaczno´s´c wynika z (23.2). Dla z w pobli˙zu w poÃl´o˙zmy

u_n(z) :=

½ u(z) +_n¹log |z − w|, z 6= w,

−∞, z = w.

Dzieki temu, ˙ze u jest ograniczona z g´ory, funkcje u_, nsa subharmoniczne w otoczeniu_, w (niezale˙znym od n), a stad e_, u := (sup_nu_n)^∗ jest subharmoniczna w otoczeniu w.

Mamy oczywi´scie tak˙ze u = eu poza w. ¤

Przy pomocy tego twierdzenia mo˙zemy np. udowodni´c nastepuj_, acy rezultat._, Twierdzenie 23.6. Je˙zeli f ∈ O(Ω, eΩ), f 6= const i u ∈ SH(eΩ), to u◦f ∈ SH(Ω).

Dow´od. Funkcja u ◦ f jest p´oÃlciagÃla z g´ory. Co wi_, ecej, z otwarto´sci f i (23.2) mamy_,

(23.3) lim sup

z→w

u(f (z)) = u(f (w)).

Istnieje dyskretny podzbi´or A ⊂ Ω taki, ˙ze f jest odwzorowaniem lokalnie kon-foremnym w Ω \ A, a stad i z definicji Ãlatwo pokazujemy, ˙ze u ◦ f jest (lokalnie)_, subharmoniczna w Ω \ A. Z Twierdzenia 23.5 otrzymamy, ˙ze przedÃlu˙za sie ona do_, funkcji subharmonicznej v na Ω, z (23.3) wnioskujemy, ˙ze v = u ◦ f . ¤

24. Nakrycia

Obecna cze´s´c ma charakter czysto topologiczny. O wszystkich wyst_, epuj_, acych_, ni˙zej przestrzeniach topologicznych X, Y, Z zakÃladamy, ˙ze sa sp´ojne, lokalnie Ãlukowo_, sp´ojne (a wiec s_, a tak˙ze Ãlukowo sp´ojne) oraz, ˙ze speÃlniaj_, a warunek Hausdorffa._, Odwzorowanie p : Y → X nazywamy nakryciem, je˙zeli przestrze´n X mo˙zemy pokry´c zbiorami otwartymi U ⊂ X takimi, ˙ze dla ka˙zdego takiego U istnieje ro-dzina otwartych zbior´ow rozÃlacznych V_, ι ⊂ Y taka, ˙ze p⁻¹(U ) = S

ιVι oraz dla ka˙zdego ι odwzorowanie p|_Vι → U jest homeomorfizmem. Przestrze´n Y nazywa-my przestrzenia nakrywaj_, ac_, a. Zbiory U o tej wÃlasno´sci nazywamy prawidÃlowymi,_, natomiast V_ι pÃlatami nad U . Ka˙zde nakrycie jest zatem w szczeg´olno´sci surjekcja_, oraz lokalnym homeomorfizmem.

PrzykÃlady. i) Dla n ∈ N odwzorowanie z 7→ zⁿ jest nakryciem C_∗ na siebie oraz

∂∆ na siebie.

ii) exp jest nakryciem R na okrag ∂∆, C na C_, ∗oraz pasa {log r < Re z < log R}

na pier´scie´n {r < |w| < R}. Poniewa˙z pas jest konforemny z dyskiem, mo˙zemy Ãlatwo skonstruowa´c nakrycie dysku na pier´scie´n.

Twierdzenie 24.1. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze p : Y → X jest nakryciem, natomiast odwzoro-wanie f : Z → X jest ciagÃle, przy czym Z jest przestrzeni_, a jednosp´ojn_, a. Wtedy_, dla ustalonych y₀ ∈ Y i z₀ ∈ Z takich, ˙ze p(y₀) = f (z₀) istnieje dokÃladnie jedno odwzorowanie ciagÃle e_, f : Z → Y takie, ˙ze p ◦ ef = f oraz ef (z₀) = y₀. Takie ef nazywamy podniesieniem f .

Dow´od. Jednoznaczno´s´c: ZaÃl´o˙zmy, ˙ze ef speÃlnia teze i wybierzmy dowolne z ∈ Z._, Poka˙zemy, ˙ze ef jest jednoznacznie wyznaczone w pewnym otoczeniu z. Niech U bedzie prawidÃlowym otoczeniem f (z), za´s V pÃlatem nad U takim, ˙ze e_, f (z) ∈ V . Z ciagÃlo´sci e_, f znajdziemy W ⊂ Z, otoczenie z takie, ˙ze ef (W ) ⊂ V . Wtedy ef = (p|_V)⁻¹ ◦ f na W . Stad, je˙zeli e_, f , bf sa funkcjami speÃlniaj_, acymi tez_, e, to zbi´or_, { ef = bf } jest otwarty. Poniewa˙z jest on r´ownie˙z niepusty (zawiera z₀), domkniety_, (dzieki temu, ˙ze Y speÃlnia warunek Hausdorffa), za´s Z jest przestrzeni_, a sp´ojn_, a,_, dostaniemy, ˙ze ef = bf na Z.

Istnienie: I) Z = [0, 1] =: I, z0 = 0. Znajdziemy podziaÃl przedziaÃlu I: 0 = t0 <

t₁< · · · < t_n = 1 taki, ˙ze dla ka˙zdego j = 1, . . . , n zbi´or f ([t_j−1, t_j]) jest zawarty w pewnym prawidÃlowym zbiorze otwartym U_j ⊂ X. Niech V₁ bedzie pÃlatem nad U_{, 1} zawierajacym y_, 0. Na [t0, t1] definiujemy ef := (p|V₁)⁻¹◦ f . Niech z kolei V2 bedzie_, pÃlatem nad U2 zawierajacym e_, f (t1), wtedy na [t1, t2] kÃladziemy ef := (p|V₂)⁻¹◦ f . Postepuj_, ac tak n razy otrzymamy szukane e_, f .

II) Z = I², z₀= (0, 0). Postepujemy podobnie jak w I). Znajdziemy podziaÃly 0 =_, s₀ < s₁< · · · < s_n = 1, 0 = t₀< t₁< · · · < t_n= 1 oraz otwarte zbiory prawidÃlowe U_jk ⊂ X takie, ˙ze f ([s_j−1, s_j] × [t_k−1, t_k]) ⊂ U_jk, j, k = 1, . . . , n. Niech V₁₁ bedzie_, pÃlatem nad U₁₁ zawierajacym y_{, 0}. Na [s₀, s₁] × [t₀, t₁] definiujemy ef := (p|_V11)⁻¹◦

f . PÃlat V₁₂ nad U₁₂ wybieramy tak, ˙ze ef (s₀, t₁) ∈ V₁₂, wtedy z jednoznaczno´sci podniesienia mamy ef = (p|_V12)⁻¹◦f na [s₀, s₁]×{t₁}, w szczeg´olno´sci ef (s, t₁) ∈ V₁₂ dla s ∈ [s₀, s₁]. Je˙zeli wiec na [s_{, 0}, s₁] × [t₁, t₂] poÃlo˙zymy ef := (p|_V12)⁻¹ ◦ f , to definicja ta jest zgodna z poprzednia na [s_, 0, s1] × {t1}. Postepuj_, ac w ten spos´ob n_, ² razy wyczerpiemy I².

III) Z dowolne. Dla z ∈ Z niech γ, γ₁ : I → Z bed_, a krzywymi takimi, ˙ze_, γ(0) = γ1(0) = z0, γ(1) = γ1(1) = z. Dzieki I) istnieje jednoznacznie wyznaczona_, krzywa eγ : I → Y taka, ˙ze p ◦ eγ = f ◦ γ i eγ(0) = y0. Podobnie definiujemy e

γ₁. Twierdzimy, ˙ze eγ(1) = eγ₁(1). Dzieki temu, ˙ze Z jest jednosp´ojna istnieje_, ciagÃle odwzorowanie F : I_, ² → Z takie, ˙ze F (0, ·) = γ, F (1, ·) = γ₁, F (s, 0) = z₀, F (s, 1) = z dla s ∈ I. Dzieki II) znajdziemy ci_, agÃle e_, F : I²→ Y takie, ˙ze p◦ eF = f ◦F oraz eF (0, 0) = y0. Z jednoznaczno´sci podniesienia krzywych mamy eF (0, ·) = eγ, F (1, ·) = ee γ₁ oraz eF (s, 0) = y₀, s ∈ I. Dla s ∈ I mamy p( eF (s, 1)) = f (F (s, 1)) = f (z). Poniewa˙z zbi´or p⁻¹(f (z)) jest dyskretny (z wÃlasno´sci nakrycia), za´s eF (I×{1}) sp´ojny, wnioskujemy, ˙ze zbi´or eF (I × {1}) jest jednopunktowy. W szczeg´olno´sci e

γ(1) = eγ₁(1), a wiec odwzorowanie e_, f (z) := eγ(1) jest dobrze zdefiniowane.

Musimy jeszcze pokaza´c, ˙ze ef jest ciagÃle. Niech V b_, edzie Ãlukowo sp´ojnym oto-_, czeniem ef (z) takim, ˙ze U := p(V ) jest prawidÃlowym otoczeniem f (z). Z ciagÃlo´sci_, f znajdziemy Ãlukowo sp´ojne otoczenie W punktu z w Z takie, ˙ze f (W ) ⊂ U . Wys-tarczy pokaza´c, ˙ze ef (W ) ⊂ V . Dla z⁰ ∈ W niech β : I → W bedzie krzyw_, a tak_, a,_,

˙ze β(0) = z, β(1) = z⁰. Wtedy eβ := (p|V )⁻¹◦ f ◦ β jest podniesieniem β, a zatem f (ze ⁰) = eβ(1) = (p|_V)⁻¹(f (z⁰)) ∈ V . ¤

Z Twierdzenia 24.1 (oraz cze´sci III) dowodu) dostaniemy w szczeg´olno´sci twier-_, dzenie o podnoszeniu krzywej.

Twierdzenie 24.2. Niech p : Y → X bedzie nakryciem. Przypu´s´cmy, ˙ze γ jest_, krzywa w X o pocz_, atku w x_, 0. Wtedy, dla ustalonego y0∈ p⁻¹(x0), istnieje jednoz-nacznie wyznaczona krzywa eγ w Y o poczatku w y_{, 0} taka, ˙ze p ◦ eγ = γ. Co wiecej,_, je˙zeli γ₁ jest krzywa w X homotopijnie r´ownowa˙zn_, a z γ, ko´_, nce podniesie´n eγ oraz e

γ1 sa takie same. ¤_,

Druga cze´s´c Twierdzenia 24.2 nosi nazw_, e twierdzenia o monodromii. Z Twier-_, dzenia 24.1 wynika tak˙ze, ˙ze jednosp´ojna przestrze´n nakrywajaca jest wyznaczona_, jednoznacznie (z dokÃladno´scia do homeomorfizmu)._,

Twierdzenie 24.3. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze odwzorowania p : Y → X, q : Z → X sa nakry-_, ciami. Je˙zeli przestrzenie Y, Z sa jednosp´ojne, to s_, a one homeomorficzne._,

Dow´od. Ustalmy y₀ ∈ Y , z₀ ∈ Z takie, ˙ze p(y₀) = q(z₀). Dzieki Twierdzeniu 2.1_, znajdziemy odwzorowania ciagÃle e_, q : Z → Y i ep : Y → Z takie, ˙ze p ◦ eq = q, e

q(z₀) = y₀, q ◦ ep = p, ep(y₀) = z₀. Wtedy p ◦ eq ◦ ep = p, eq(ep(y₀)) = y₀, q ◦ ep ◦ eq = q, e

p(eq(z₀)) = z₀. Z jednoznaczno´sci podniesie´n otrzymamy eq◦ ep = id_Y, ep◦eq = id_Z. ¤ Twierdzenie 24.4. Niech X bedzie lokalnie jednosp´ojna. Wtedy istnieje jedno-_, sp´ojna przestrze´n nakrywajaca Y ._,

Dow´od. Ustalmy x0∈ X. Dla x ∈ X przez Γxoznaczmy zbi´or wszystkich krzywych γ : I → X Ãlacz_, acych x_{, 0}z x. Dla γ₀, γ₁∈ Γ_xpiszemy γ₀∼ γ₁, je˙zeli krzywe γ₀, γ₁sa_, homotopijne. Wtedy ∼ jest relacja r´ownowa˙zno´sci na Γ_{, x}, oznaczmy p_x := Γ_x/ ∼.

Definiujemy

Y := {(x, [γ]) : x ∈ X, γ ∈ Γ_x}

oraz

p : Y 3 (x, [γ]) 7−→ x ∈ X.

Na Y wprowadzamy topologie w nast_, epuj_, acy spos´ob: dla (x, [γ]) ∈ Y oraz jed-_, nosp´ojnego otoczenia U punktu x w X rozwa˙zamy zbiory postaci

V_U,[γ]:= {(x⁰, [γ ∗ β]) : x⁰∈ U }, gdzie β : I → U jest dowolna krzyw_, a Ãl_, acz_, ac_, a x z x_, ⁰ oraz

(γ ∗ β)(t) :=

½ γ(2t), t ∈ [0, 1/2],

β(2t − 1), t ∈ [1/2, 1] ∈ Γ_x0.

Zauwa˙zmy, ˙ze [γ ∗ β] nie zale˙zy od wyboru β, a tylko od x⁰ (bo U jest jednosp´ojny).

Zauwa˙zmy tak˙ze, ˙ze

p⁻¹(U ) = [

[γ]∈p_x

V_U,[γ]

i ˙ze zbiory V_U,[γ] sa rozÃl_, aczne dla [γ] ∈ p_{, x}. Z powy˙zszych wÃlasno´sci natychmiast wynika, ˙ze zbiory V_U,[γ] tworza baz_, e otocze´_, n (x, [γ]) i ˙ze p jest nakryciem.

Musimy jeszcze pokaza´c, ˙ze przestrze´n Y jest jednosp´ojna. Niech eα : I → Y bedzie krzyw_, a zamkni_, et_, a tak_, a, ˙ze e_, α(0) = eα(1) = (x, [γ]). Wtedy α := p ◦ eα jest krzywa zamkni_, et_, a w X tak_, a, ˙ze α(0) = α(1) = x. Dla s, t ∈ I zdefiniujmy_, α_t(s) := α(st) oraz

b

α(t) := (α(t), [γ ∗ α_t]).

Wtedy bα jest krzywa w Y tak_, a, ˙ze p ◦ b_, α = α, bα(0) = (x, [γ]), wiec dzi_, eki temu,_,

˙ze p jest nakryciem i z jednoznaczno´sci podniesienia dostaniemy bα = eα. Dla t = 1 mamy w szczeg´olno´sci [γ] = [γ ∗α], a wiec krzywa α jest ´sci_, agalna do punktu x w X,_, tzn. znajdziemy ciagÃle odwzorowanie F : I_, ² → X takie, ˙ze F (0, ·) = α, F (1, t) = F (s, 0) = F (s, 1) = x dla s, t ∈ I. Z Twierdzenia 2.1 mamy podniesienie eF : I²→ Y takie, ˙ze p◦ eF = F oraz eF (0, 0) = (x, [γ]). Z jednoznaczno´sci podniesienia krzywych otrzymamy eF (0, ·) = eα, eF (1, t) = eF (s, 0) = eF (s, 1) = (x, [γ]), a wiec krzywa e_, α jest

´sciagalna do (x, [γ]). ¤_,

WykÃlad 20, 12.11.2007

Od teraz o przestrzeni X zakÃladamy dodatkowo, ˙ze jest lokalnie jednosp´ojna.

Dzieki Twierdzeniom 24.3 i 24.4 istnieje jedyne (z dokÃladno´sci_, a do homeomor-_, fizmu) nakrycie p : eX → X, gdzie eX jest jednosp´ojna. Takie nakrycie nazywamy uniwersalnym. Homeomorfizm g : eX → eX nazywamy homeomorfizmem nakrycia p, je˙zeli p ◦ g = p. Ich zbi´or oznaczamy Γ_X, jest oczywiste, ˙ze jest to grupa.

Nazywamy ja grup_, a nakrycia p._,

Przy powy˙zszych oznaczeniach mamy nastepuj_, ace dwa rezultaty opisuj_, ace Γ_{, X}. Propozycja 24.5. i) X ' eX/Γ_X;

ii) Γ_X nie ma punkt´ow staÃlych, tzn. je˙zeli g ∈ Γ_X ma punkt staÃly, to g = id;

iii) ΓX dziaÃla dyskretnie na eX, tzn. dla K b eX zbi´or {g ∈ ΓX : K ∩ g(K) 6= ∅}

jest sko´nczony.

Dow´od. i) PoÃl´o˙zmy

F : eX/ΓX 3 [y] 7−→ p(y) ∈ X.

Z definicji ΓX wynika, ˙ze F jest dobrze okre´slone. Je˙zeli F ([y1]) = F ([y2]) tzn.

p(y1) = p(y2), to dzieki Twierdzeniu 24.1 znajdziemy ci_, agÃle g : e_, X → eX takie,

˙ze g(y₁) = y₂ i p ◦ g = p, a tak˙ze ciagÃle f : e_, X → eX takie, ˙ze f (y₂) = y₁ i p ◦ f = p. Z jednoznaczno´sci podniesienia g ◦ f = f ◦ g = id, a wiec g ∈ Γ_{, X}. Pokazali´smy wiec, ˙ze F jest iniektywne, natomiast surjekcja jest oczywista. To, ˙ze_, F jest homeomorfizmem wynika wprost z definicji.

ii) Je˙zeli g(y) = y, to z jednoznaczno´sci podniesienia wnioskujemy, ˙ze g = id.

(Zauwa˙zmy, ˙ze w ten sam spos´ob mo˙zemy pokaza´c, ˙ze je˙zeli g₁(y) = g₂(y) dla pewnego y ∈ eX i g1, g2∈ ΓX, to g1= g2.)

iii) Znajdziemy pÃlaty V₁, . . . , V_m pokrywajace K. Przypu´s´cmy, ˙ze istnieje ci_, ag_, g_n ∈ Γ_X, przy czym g_n 6= g_m, n 6= m, oraz y_n ∈ K takie, ˙ze g_n(y_n) ∈ K. Wtedy znajdziemy i, j oraz podciag g_{, nk} taki, ˙ze y_nk ∈ V_ioraz g_nk(y_nk) ∈ V_j. Mamy jednak gn_k = (p|V_j)⁻¹◦ p na zbiorze (p|V_i)⁻¹(p(Vi) ∩ p(Vj)) (kt´ory jest niepusty, bo zawiera y_nk) i z jednoznaczno´sci podniesienia otrzymamy g_nk = g_nl dla wszystkich k, l -sprzeczno´s´c. ¤

Twierdzenie 24.6. ΓX ' π1(X).

Dow´od. Ustalmy x₀∈ X i wybierzmy y₀∈ eX takie, ˙ze p(y₀) = x₀. PoÃl´o˙zmy F : Γ_X 3 g 7−→ [p ◦ γ] ∈ π₁(X),

gdzie γ ∈ C(I, eX) jest takie, ˙ze γ(0) = y₀, γ(1) = g(y₀) (wtedy p ◦ γ ∈ C(I, X), p(γ(0)) = p(γ(1)) = x0). Odwzorowanie F jest dobrze okre´slone, gdy˙z przestrze´n X jest jednosp´ojna.e

Chcemy pokaza´c, ˙ze F jest homomorfizmem grup. We´zmy g₁, g₂ ∈ Γ_X i niech γ_i ∈ C(I, eX) bed_, a takie, ˙ze γ_{, i}(0) = y₀ i γ_i(1) = g_i(y₀), i = 1, 2. Niech α :=

γ2∗ (g2◦ γ1), wtedy α(0) = y0, α(1) = g2(g1(y0)) oraz

F (g2◦ g1) = [p ◦ α] = [p ◦ γ2] [p ◦ g2◦ γ1] = [p ◦ γ2] [p ◦ γ1] = F (g2) F (g1).

Dla wykazania iniektywno´sci F niech g ∈ ΓX bedzie takie, ˙ze F (g) = 0, tzn._, dla γ ∈ C(I, eX) takiego, ˙ze γ(0) = y₀, γ(1) = g(y₀), krzywa p ◦ γ jest ´sciagalna._, Poniewa˙z γ jest podniesieniem p ◦ γ, z twierdzenia o monodromii wynika, ˙ze γ(1) = y₀, a wiec g(y_{, 0}) = y₀, zatem g = id.

Dla krzywej β ∈ C(I, X) takiej, ˙ze β(0) = β(1) = x₀, niech eβ bedzie jej pod-_, niesieniem. Dzieki Propozycji 24.5.i znajdziemy g ∈ Γ_{, X} takie, ˙ze g(y₀) = eβ(1).

Wtedy F (g) = [β], czyli F jest surjekcja. ¤_,

Mamy tak˙ze rezultat odwrotny do Propozycji 24.5.

Propozycja 24.7. Niech Y bedzie lokalnie zwart_, a przestrzeni_, a topologiczn_, a, nato-_, miast Γ podgrupa grupy homeomorfizm´ow Y dziaÃlaj_, ac_, a dyskretnie na Y . Wtedy_, Y /Γ speÃlnia warunek Hausdorffa. Je˙zeli dodatkowo Γ nie ma punkt´ow staÃlych, to rzutowanie p : Y → Y /Γ jest nakryciem.

Dow´od. Niech y₁, y₂ ∈ Y bed_, a takie, ˙ze p(y_{, 1}) 6= p(y₂). Znajdziemy U_i b Y , otoczenia y_i, i = 1, 2, takie, ˙ze U₁∩ U₂ = ∅. Dla K := U₁∪ U₂ zbi´or {g ∈ Γ :

g(K) ∩ K 6= ∅} jest sko´nczony, powiedzmy {g₁, . . . , g_n}. Poniewa˙z p(y₁) 6= p(y₂), znajdziemy V₁ ⊂ U₁, otoczenie y₁, takie, ˙ze y₂ ∈ g/ _j(V₁), j = 1, . . . , n. Wynika stad, ˙ze istnieje V_{, 2} ⊂ U₂, otoczenie y₂, takie, ˙ze g_j(V₁) ∩ V₂ = ∅, j = 1, . . . , n, a stad g(V_, 1) ∩ V2 = ∅ dla g ∈ Γ. Zbiory p(Vi) sa wi_, ec otoczeniami p(y_, i), i = 1, 2, takimi, ˙ze p(V₁) ∩ p(V₂) = ∅.

Dla ustalonego y ∈ Y niech obszar V b Y bedzie otoczeniem y. Istnieje tylko_, sko´nczona liczba niepustych zbior´ow V ∩ g(V ), g ∈ Γ. Poniewa˙z g ∈ Γ_∗ nie maja_, punkt´ow staÃlych, odpowiednio zmniejszajac V mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze dla wszystkich_, g ∈ Γ∗ mamy V ∩ g(V ) = ∅. Wynika stad, ˙ze p zacie´snione do V jest bijekcj_, a na_, obraz. Dla U := p(V ) zbiory g(V ), g ∈ Γ, sa wtedy pÃlatami nad U . ¤_,

W dokumencie 4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 10 (Stron 73-80)