8. Właściwości nanoprętów metalowych
8.6. Asymetria właściwości mechanicznych nanostruktur
Niektóre z wielkości opisujących właściwości mechaniczne otrzymane w wyniku symu-lacji komputerowych mają inną wartość podczas ściskania próbki niż podczas rozciągania.
Asymetria ta nie jest uwzględniana w wytrzymałości materiałów ani w teorii sprężystości.
Wartości tablicowe współczynników odnoszą się do rozciągania i przyjmuje się, że są one identyczne dla obydwu kierunków odkształcania. Takie właściwości materiałów maja miej-sce w bliskim otoczeniu stanu nieodkształconego, co zostało to pokazane na rys. 8.15, na którym widoczne są rzeczywiste krzywe odkształcenia oraz proste odpowiadające modułowi
-10 -5 0 5 10
-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06
naprężenie [GPa]
odkształcenie ε
Cu
(001) (011) (111) σ(ε)=Y001ε σ(ε)=Y011ε σ(ε)=Y111ε
Rysunek 8.15. Porównanie rzeczywistego kształtu krzywych odkształcenia z przebiegiem liniowym wyznaczonym z danych doświadczalnych.
Younga wyznaczonemu z tablicowych współczynników podatności sprężystej (zależność li-niowa). Przy wydłużeniu ε = ±0.02 asymetria jest już wyraźnie zauważalna.
Informacje o asymetrii właściwości materiałów pojawiały się przy okazji innych badań jedynie jako pojedyncze spostrzeżenia. Właściwość ta nie była dotychczas przedmiotem sys-tematycznych badań. Przedstawione w niniejszej pracy wyniki również nie są ani pełne, ani systematyczne, ponieważ dotyczą jedynie czterech pierwiastków, jednej struktury krystalo-graficznej, fcc, i jedynie trzech wybranych kierunków krystalograficznych.
Innych struktur krystalograficznych niż fcc nie badano, należy jednak przypuszczać, że również dla nich ujawni się asymetria właściwości oraz ich zależność od płaszczyzny krystalograficznej.
Asymetria siły oddziaływań międzyatomowych względem punktu równowagi wynikająca z asymetrii możliwych przesunięć - zbliżanie się atomów do siebie ma granicę, oddalanie nie ma, pokazuje, że asymetria związana z kierunkiem obciążania jest naturalną cechą oddzia-ływań międzyatomowych. Analizując jedynie dwa sąsiadujące atomy przesuwane względem siebie do 2% odległości międzyatmowej otrzymujemy różnicę modułu Younga pomiędzy ści-skaniem i rozciąganiem w granicach od zera do trzech procent wartości modułu. Widoczne na wykresach różnice wartości modułu Younga dla nanoprętów monokrystalicznych osiągają
70%, co wskazuje na istotny wpływ dalszych atomów i struktury krystalicznej na tę asyme-trię.
Kształt komórki Wignera-Seitza pozwala natomiast przewidywać wpływ kierunków kry-stalograficznych na wartości modułu Younga. Dla kryształów fcc odległości do najbliższych atomów w kierunkach {110} i {111} są identyczne, i znacznie mniejsze od odległości w kie-runku {100}. Wartości modułu Younga w kierunkach {110} i {111} powinny mieć podobne wartości, i znacznie większe niż w kierunku {100}.
Jest to rzeczywiście widoczne na wykresach 8.3 w obszarze ściskania. Natomiast krysz-tały rozciągane w kierunku {110} wykazują moduł Younga zbliżony do kryształów rozcią-ganych w kierunku {100}, a dla większych odkształceń ta wartość jest mniejsza. Nanopręty rozciągane w kierunku {111} zachowują tę różnicę wartości w całym zakresie odkształceń.
Uzyskane wartości modułu Younga nanoprętów zebrano oraz w tabelach 8.2 i 8.7.
Asymetria modułu Younga jest widoczna dla wszystkich badanych średnic nanoprętów, co pokazane jest na rysunkach 8.1. Na rysunkach 8.3 widoczna jest asymetria występująca w całym zakresie odkształceń sprężystych, z tym, że dla kierunków {111} jest ona niewielka.
W tabeli 8.7 zestawiono wartości ilorazu modułu Younga dla ściskania Y−do modułu Younga dla rozciągania Y+ dla prętów o średnicy 14a.
Tabela 8.7. Wartości stosunku Y−/Y+dla badanych nanoprętów.
(001) (011) (111)
Ni 0.7 1.4 0.9
Cu 0.7 1.6 1.0
Pt 0.8 1.6 1.1
Au 0.9 1.6 1.2
Również porównanie wartości współczynnika Poissona uzyskane podczas ściskania i pod-czas rozciągania nanoprętów wskazują na istnienie związku pomiędzy wartością ν a kierun-kami krystalograficznymi wynikającego z kształtu komórki Wignera-Seitza. W tabeli 8.8 zestawiono wartości ν dla prętów o średnicy 14a
Tabela 8.8. Wartości stosunku ν−/ν+dla badanych nanoprętów.
(001) (011) (111)
Ni 1.3 0.9 1.3
Cu 1.3 0.9 1.3
Pt 1.2 0.9 1.3
Au 1.1 0.9 1.2
Dla wszystkich próbek zauważa się prawidłowości związane z wpływem kierunków płaszczyzn krystalograficznych i kierunku działania siły na granicę plastyczności, co pokazano w tabeli 8.9. W tabeli zestawiono wartości naprężenia granicznego (granicy plastyczności) dla ściskania σk− do naprężenia granicznego dla rozciągania σk+.
Tabela 8.9. Naprężenie graniczne – wartości stosunku σk−/σk+dla badanych nanoprętów.
(001) (011) (111)
Ni 0.3 2.4 1.4
Cu 0.3 2.4 1.4
Pt 0.4 3.2 1.9
Au 0.5 3.1 2.3
Również podczas obciążania nanorurek węglowych obserwowano asymetrię właściwości mechanicznych. Na rysunkach 7.3 pokazany został wpływ kierunku działania siły na moduł Younga nanorurek jednopowłokowych. Nanorurki ściskane wykazują nieznacznie wyższą wartość modułu, natomiast istotny wpływ na właściwości mechaniczne ma chiralność rurek:
podczas rozciągania największą wartość ma moduł Younga nanorurek typu zygzakowatego, a najmniejszą dla nanorurek krzesełkowych; podczas ściskania jest odwrotnie: największą wartość ma moduł Younga nanorurek typu krzesełkowego, a najmniejszą dla nanorurek typu zygzakowatego. Również współczynnik Poissone’a wykazuje znaczne różnice wartości w zależności od kierunku obciążania.
Przedstawione w niniejszej pracy wyniki oraz ich dyskusja pozwoliły poszerzyć wiedzę o właściwościach mechanicznych jednościennych nanorurek węglowych oraz monokrystalicz-nych nanoprętów metalowych.
W ramach pracy przeprowadzono przeszło 8000 symulacji nanostruktur, z których wykorzystano 2/3, a bezpośrednie wyniki prezentowane w niniejszej pracy są efektem 1/5 symulacji. Pozostała część miała na celu przygotowanie próbek do właściwej symulacji i ogólne poznanie nanostruktur, wyniki tych symulacji stanowią podstawę do dalszych badań właściwości fizycznych nanostruktur. Całość danych zajmuje 3TB miejsca, a przeprowadzenie wszystkich symulacji zajęło przeszło 40000 procesorogodzin, czemu odpowiada 4.5 roku ciągłej pracy pojedynczego procesora.
Tam gdzie było to możliwe, uzyskane rezultaty zostały porównane z wynikami innych prac eksperymentalnych i obliczeniowych. Na podstawie uzyskanej zgodności z innymi wyni-kami można przyjąć, iż przedstawiane, są wyznaczone z co najmniej taką samą dokładnością jak porównywane.
Przeprowadzone systematyczne badania nanorurek węglowych pokazały, że na ich wła-ściwości mechaniczne wpływa chiralność, natomiast wpływ średnicy jest zauważalny dla śred-nic mniejszych niż 8˚A. Właściwości mechaniczne nanorurek achiralnych stanowią obwiednię dla właściwości pozostałych nanorurek, to znaczy takich, których obie współrzędne wek-tora chiralnego są różne od zera. Graniczne wartości właściwości mechanicznych różnią się o 15 ÷ 20%. Jedynym wyjątkiem są nanorurki o chiralnościach (n,±1) i (n,n ± 1) których współczynnik Poissona mocno różni się od pozostałych i nie mieścił się w proponowanej obwiedni. Zwrot obciążenia, oprócz wpływu na wartości stałych materiałowych nanorurek, wpływa również na charakterystykę zależności od chiralności. Podczas rozciągania nanorurek stwierdzono, iż nanorurki krzesełkowe, (AC), są bardziej podatne mechanicznie od zygzako-watych, (ZZ): Y+(AC)< Y+(ZZ) natomiast przy ściskaniu nanorurek zależność ta zmienia się na: Y−(AC)> Y−(ZZ).
Przeprowadzone systematyczne badania nad nanoprętami monokrystalicznymi, pokazały wpływ kierunku i zwrotu działania obciążenia na właściwości mechaniczne, natomiast wpływ średnicy nanoprętów na własności mechaniczne zaobserwowano jedynie dla prętów o średnicy
107
mniejszej niż 8 stałych sieciowych. Przeprowadzona analiza uzyskanych wyników pozwala stwierdzić iż: moduł Younga mierzony w kierunku [111] ma największą wartość i nie zmienia się przy zmianie zwrotu obciążenia, mierzony w kierunku [001] ma wartość najmniejszą i jest 20% mniejszy dla ściskania niż rozciągania, natomiast dla kierunku [011] jest 50%
większy dla ściskania od wartości wyznaczonej dla rozciągania. Wartości współczynnika Poissona i modułu Kirchhoffa są największe dla obciążania w kierunku [001] a najmniejsze dla kierunku [111]. Analiza powstawania defektów strukturalnych po przekroczeniu granicy plastyczności ukazała, iż poślizgi niezależnie od kierunku i zwrotu obciążenia następują na płaszczyznach najgęstszego upakowania: {111}, a ich powstawanie zawsze rozpoczyna się od brzegu nanopręta.
Odkryta i opisana zależność właściwości mechanicznych nanostruktur od zwrotu ob-ciążenia oraz, nie uwzględniana w literaturze, tak silna zależność własności mechanicznych nanorurek węglowych od ich chiralności wymagają jeszcze potwierdzenia na drodze ekspery-mentalnej i obliczeniowej dokładniejszymi modelami jak na przykład mechanika kwantowa.
Uzyskane rezultaty pozwalają stwierdzić, iż stworzenie prawidłowego modelu nano--mechanicznego wymaga stosowania różnych stałych materiałowych w zależności od me-chaniki układu jaki one opisują. Podobnie, jak dla ciał makroskopowych, stałe materiałowe dobrze opisują tylko odkształcenia nie większe niż 2%. Dla odkształceń z zakresu ±80%
odkształcenia zrywającego nanostrukturę, wystarczające jest użycie funkcji kwadratowej do opisu zależność σ(ε). W całym zakresie odkształceń sprężystych zależność σ(ε) można dobrze opisać funkcją wielomianową trzeciego stopnia (z niepewnością nie większą niż 8%).
Przedstawiona analiza pokazała, że stosowanie metod wykorzystywanych w teorii sprę-żystości i wytrzymałości materiałów jest możliwe dla nanostruktur o wielkości większej niż 103atomów. Natomiast wszystkie charakterystyki materiałów należy, i można, uzyskiwać na drodze obliczeniowej metodami MD. Opis zachowania nanostruktury pod wpływem zadanych obciążeń można uzyskać metodami wytrzymałości materiałów, natomiast skomplikowane przypadki metodą elementów skończonych, pozwalającą na tworzenie modeli o rozmiarach większych niż te, na które pozwalają możliwości obliczeniowe komputerów przy symulacjach metodami cząstek.
W ramach tej pracy powstał pakiet programów komputerowych pozwalających na pro-wadzenie dynamiczno-molekularnych symulacji układów mechanicznych w skali nanome-trycznej. Głównym składnikiem pakietu jest autorski program komputerowy nanoMD . Przydatność programu zaowocowała powstaniem na jego bazie dwóch prac doktorskich.
W ramach pracy doktorskiej dr inż. Jacka Dziedzica [125] program nanoMD został wzbo-gacony o możliwość przeprowadzania obliczeń metodami kwantowo-mechanicznymi
(wzbo-gacona wersja programu nazwana została nanoTB), natomiast w pracy doktorskiej dr inż.
Moniki Rychcik-Leyk [126] program nanoMD w wersji podstawowej został wykorzystany do modelowania ultra-precyzyjnego skrawania. Dzięki uzyskanym w niniejszej pracy wynikom uzasadnione było rozbudowanie programu nanoMD o moduły umożliwiająca przeprowadza-nie obliczeń metodami elementów skończonych. Prace nad rozbudową programu są w toku.
Dodanie modułu umożliwiającego wykonywanie obliczeń metodami elementów skończonych pozwoli na wykonywanie pełnych symulacje trójskalowych dla układów znacznie większych niż te, które do tej pory były modelowane.
nanorurek
W poszczególnych kolumnach umieszczono: R0, L0 – promień i długość początkowa nanorurki w ˚A, Ys i Yr – moduł Younga dla ściskania i rozciągania w TPa, νs i νr – współczynnik Poissone’a dla ściskania i rozciągania, G – moduł Kirchhoffa w GPa oraz ilorazy badanych wielkości.
110
Tabela 10.1. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne nanorurek węglowych chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(5,0) 2.1 164.5 1.020 0.963 0.053 0.116 – 1.06 0.46 (0,5) 2.1 161.9 1.019 0.953 0.089 0.116 – 1.07 0.77 (6,0) 2.4 165.8 1.129 0.982 0.095 0.110 – 1.15 0.87 (0,6) 2.4 165.1 0.994 0.979 0.088 0.121 6.03 1.02 0.72 (7,0) 2.8 168.4 1.023 1.016 0.085 0.136 – 1.01 0.62 (0,7) 2.8 165.6 1.067 1.008 0.091 0.142 6.05 1.06 0.65 (8,0) 3.2 168.7 1.049 1.030 0.104 0.167 – 1.02 0.62 (0,8) 3.2 168.0 0.999 1.023 0.101 0.162 6.05 0.98 0.62 (9,0) 3.5 168.9 1.176 1.036 0.113 0.182 – 1.14 0.62 (0,9) 3.5 168.2 1.041 1.031 0.107 0.173 6.01 1.01 0.62 (10,0) 3.9 169.0 1.062 1.041 0.104 0.183 – 1.02 0.57 (0,10) 3.9 168.2 0.987 1.038 0.167 0.201 5.98 0.95 0.83 (11,0) 4.3 169.0 1.135 1.044 0.143 0.198 – 1.09 0.72 (0,11) 4.3 168.3 1.080 1.038 0.138 0.202 5.88 1.04 0.68 (12,0) 4.7 169.1 1.118 1.043 0.161 0.193 – 1.07 0.83 (0,12) 4.7 168.4 1.025 1.039 0.134 0.189 5.82 0.99 0.71 (13,0) 5.0 169.1 1.103 1.045 0.175 0.208 – 1.05 0.84 (0,13) 5.0 168.4 0.979 1.042 0.128 0.211 5.78 0.94 0.61 (14,0) 5.4 169.1 0.951 1.049 0.120 0.227 – 0.91 0.53 (0,14) 5.4 168.4 1.030 1.038 0.123 0.236 5.73 0.99 0.52 (15,0) 5.8 169.1 1.133 1.047 0.104 0.222 – 1.08 0.47 (0,15) 5.8 168.4 1.056 1.041 0.137 0.226 5.63 1.01 0.60 (16,0) 6.2 169.1 1.040 1.048 0.149 0.219 – 0.99 0.68 (0,16) 6.2 168.4 1.029 1.042 0.129 0.225 5.74 0.99 0.57 (17,0) 6.6 171.2 0.943 1.051 0.145 0.224 – 0.90 0.64 (0,17) 6.6 168.4 1.120 1.045 0.145 0.223 5.93 1.07 0.65 (18,0) 7.0 171.2 0.950 1.052 0.133 0.216 – 0.90 0.62 (0,18) 7.0 168.4 1.056 1.043 0.158 0.232 5.96 1.01 0.68 (19,0) 7.3 171.2 0.983 1.050 0.151 0.224 – 0.94 0.67 (0,19) 7.4 168.4 1.030 1.040 0.180 0.225 5.93 0.99 0.80 (20,0) 7.7 171.2 1.002 1.049 0.062 0.212 – 0.96 0.29 (0,20) 7.7 168.4 1.060 1.042 0.187 0.233 5.99 1.02 0.80 (0,25) 9.6 168.4 0.963 1.043 0.182 0.235 – 0.92 0.77 (0,30) 11.6 168.4 1.059 1.044 0.181 0.247 – 1.01 0.73 (0,35) 13.5 168.4 1.016 1.040 0.201 0.225 – 0.98 0.89 (0,40) 15.4 168.4 0.952 1.042 0.218 0.225 – 0.91 0.97 (3,3) 2.1 168.9 1.111 0.854 0.128 0.085 6.58 1.30 1.51 (4,4) 2.7 169.6 1.130 0.879 0.236 0.145 6.93 1.29 1.62 (5,5) 3.4 170.5 1.029 0.887 0.178 0.162 6.74 1.16 1.10 (6,6) 4.0 170.3 1.096 0.889 0.167 0.188 6.58 1.23 0.89 (7,7) 4.7 170.1 1.104 0.894 0.191 0.175 6.48 1.23 1.09 (8,8) 5.4 171.2 1.174 0.889 0.268 0.191 6.35 1.32 1.40 (9,9) 6.0 171.1 1.018 0.894 0.219 0.184 6.41 1.14 1.19 (10,10) 6.7 171.1 0.962 0.892 0.225 0.187 6.44 1.08 1.20 (11,11) 7.4 171.0 1.067 0.890 0.290 0.195 6.49 1.20 1.49 (12,12) 8.0 171.0 1.060 0.892 0.183 0.198 6.37 1.19 0.92 (13,13) 8.7 170.9 1.057 0.892 0.197 0.193 6.53 1.18 1.02 (14,14) 9.3 170.9 1.048 0.891 0.233 0.186 6.45 1.18 1.25 (15,15) 10.0 170.9 1.059 0.887 0.236 0.202 6.50 1.19 1.17 (16,16) 10.7 170.9 0.946 0.890 0.240 0.193 6.51 1.06 1.24 (17,17) 11.3 170.9 1.091 0.894 0.190 0.187 6.40 1.22 1.02 (18,18) 12.0 170.8 1.017 0.891 0.214 0.191 6.39 1.14 1.12
chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(19,19) 12.7 170.8 0.975 0.891 0.242 0.190 6.54 1.09 1.28 (20,20) 13.3 170.8 1.013 0.892 0.221 0.167 6.51 1.13 1.32 (25,25) 16.7 170.8 1.020 0.892 0.244 0.176 – 1.14 1.38 (1,4) 1.9 163.9 0.340 0.950 0.078 0.142 – 0.36 0.55 (1,5) 2.2 166.4 0.950 0.968 0.049 0.097 – 0.98 0.50 (1,6) 2.6 167.5 1.186 0.999 0.094 0.132 6.34 1.19 0.71 (1,7) 3.0 168.5 1.053 1.017 0.078 0.116 6.41 1.04 0.67 (1,8) 3.3 169.0 1.061 1.026 0.109 0.142 6.36 1.03 0.77 (1,9) 3.7 169.3 0.996 1.037 0.119 0.150 6.23 0.96 0.79 (1,10) 4.1 169.7 1.177 1.039 0.130 0.156 6.09 1.13 0.83 (1,11) 4.5 169.8 1.071 1.041 0.096 0.197 6.04 1.03 0.49 (1,12) 4.9 170.0 0.948 1.046 0.171 0.199 5.96 0.91 0.86 (1,13) 5.2 170.0 1.027 1.049 0.140 0.194 5.87 0.98 0.72 (1,14) 5.6 170.2 1.076 1.048 0.149 0.199 5.78 1.03 0.75 (1,15) 6.0 170.3 1.058 1.049 0.102 0.222 5.90 1.01 0.46 (1,16) 6.4 170.3 0.976 1.049 0.142 0.203 6.03 0.93 0.70 (1,17) 6.8 170.3 1.006 1.049 0.097 0.225 5.99 0.96 0.43 (1,18) 7.1 170.3 0.997 1.050 0.147 0.215 6.04 0.95 0.68 (1,19) 7.5 170.4 1.034 1.049 0.170 0.234 6.07 0.99 0.73 (1,20) 7.9 170.4 1.066 1.049 0.148 0.221 6.07 1.02 0.67 (2,3) 1.8 166.4 0.570 0.843 0.135 0.105 – 0.68 1.29 (2,4) 2.1 167.3 1.126 0.901 0.093 0.081 – 1.25 1.15 (2,5) 2.5 168.5 1.150 0.946 0.101 0.106 – 1.22 0.95 (2,6) 2.8 168.6 1.170 0.970 0.112 0.128 6.56 1.21 0.87 (2,7) 3.2 169.4 1.180 0.988 0.148 0.150 6.52 1.19 0.98 (2,8) 3.6 169.4 1.033 1.003 0.145 0.163 6.41 1.03 0.89 (2,9) 4.0 169.8 1.126 1.013 0.133 0.159 6.37 1.11 0.84 (2,10) 4.3 170.0 1.063 1.022 0.161 0.181 6.14 1.04 0.89 (2,11) 4.7 170.1 0.990 1.025 0.133 0.203 6.07 0.97 0.66 (2,12) 5.1 170.0 0.979 1.030 0.140 0.195 6.01 0.95 0.72 (2,13) 5.5 170.3 0.992 1.031 0.120 0.208 5.91 0.96 0.58 (2,14) 5.9 170.0 1.018 1.036 0.182 0.218 5.78 0.98 0.84 (2,15) 6.2 170.4 0.980 1.037 0.147 0.210 5.96 0.95 0.70 (2,16) 6.6 170.4 1.017 1.039 0.163 0.228 6.05 0.98 0.72 (2,17) 7.0 170.5 1.073 1.039 0.165 0.226 6.03 1.03 0.73 (2,18) 7.4 170.3 1.058 1.041 0.161 0.222 6.05 1.02 0.72 (2,19) 7.8 170.6 1.022 1.040 0.123 0.233 6.10 0.98 0.53 (2,20) 8.1 170.4 0.982 1.043 0.152 0.219 6.06 0.94 0.69 (3,3) 2.1 168.9 1.111 0.854 0.128 0.085 6.58 1.30 1.51 (3,4) 2.4 169.8 1.114 0.873 0.115 0.075 7.01 1.28 1.54 (3,5) 2.8 169.8 1.131 0.907 0.144 0.128 7.02 1.25 1.12 (3,6) 3.1 169.7 1.130 0.933 0.162 0.145 6.92 1.21 1.11 (3,7) 3.5 170.2 1.171 0.957 0.177 0.148 6.75 1.22 1.19 (3,8) 3.8 170.2 1.106 0.971 0.177 0.170 6.62 1.14 1.04 (3,9) 4.2 169.9 1.068 0.987 0.177 0.184 6.40 1.08 0.96 (3,10) 4.6 170.3 1.056 0.998 0.163 0.194 6.29 1.06 0.84 (3,11) 5.0 170.4 1.137 1.005 0.184 0.198 6.09 1.13 0.93 (3,12) 5.3 170.3 1.097 1.010 0.116 0.196 5.98 1.09 0.59 (3,13) 5.7 170.5 1.094 1.015 0.191 0.199 6.10 1.08 0.96 (3,14) 6.1 170.6 1.006 1.018 0.120 0.198 6.10 0.99 0.61 (3,15) 6.5 170.4 1.015 1.023 0.194 0.222 6.08 0.99 0.88 (3,16) 6.8 170.6 1.001 1.026 0.163 0.212 6.14 0.98 0.77
chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(3,17) 7.2 170.6 1.076 1.028 0.173 0.217 6.14 1.05 0.80 (3,18) 7.6 170.3 1.005 1.027 0.159 0.212 6.16 0.98 0.75 (3,19) 8.0 170.7 1.056 1.030 0.179 0.236 6.12 1.02 0.76 (3,20) 8.4 170.6 1.056 1.029 0.191 0.210 6.18 1.03 0.91 (4,1) 1.9 164.2 0.513 0.956 0.060 0.229 – 0.54 0.26 (4,2) 2.1 167.5 1.080 0.908 0.091 0.086 – 1.19 1.06 (4,3) 2.4 169.8 1.125 0.877 0.118 0.036 – 1.28 3.33 (4,4) 2.7 169.6 1.130 0.879 0.236 0.145 6.93 1.29 1.62 (4,5) 3.1 170.6 1.144 0.889 0.150 0.128 6.90 1.29 1.17 (4,6) 3.4 170.3 0.976 0.907 0.179 0.164 6.85 1.08 1.09 (4,7) 3.8 170.7 1.127 0.923 0.142 0.182 6.74 1.22 0.78 (4,8) 4.1 170.4 1.046 0.945 0.181 0.179 6.64 1.11 1.01 (4,9) 4.5 170.7 1.141 0.955 0.195 0.179 6.48 1.19 1.09 (4,10) 4.9 170.5 1.089 0.970 0.208 0.191 6.26 1.12 1.09 (4,11) 5.2 170.7 1.049 0.981 0.187 0.206 6.20 1.07 0.91 (4,12) 5.6 170.4 1.000 0.989 0.185 0.199 6.07 1.01 0.93 (4,13) 6.0 170.7 1.060 0.992 0.160 0.211 6.08 1.07 0.76 (4,14) 6.3 170.7 1.139 0.996 0.193 0.204 6.19 1.14 0.95 (4,15) 6.7 170.7 1.070 1.001 0.202 0.225 6.17 1.07 0.90 (4,16) 7.1 170.3 1.082 1.003 0.171 0.198 6.18 1.08 0.86 (4,17) 7.5 170.7 1.077 1.012 0.195 0.212 6.18 1.06 0.92 (4,18) 7.8 170.6 1.006 1.017 0.120 0.224 6.17 0.99 0.54 (4,19) 8.2 170.7 0.995 1.019 0.133 0.222 6.13 0.98 0.60 (4,20) 8.6 170.4 0.990 1.023 0.158 0.224 6.25 0.97 0.71 (5,0) 2.1 164.5 1.020 0.963 0.053 0.116 – 1.06 0.46 (5,1) 2.2 166.8 1.144 0.969 0.046 0.098 – 1.18 0.47 (5,2) 2.5 168.9 1.198 0.948 0.080 0.103 – 1.26 0.78 (5,3) 2.8 170.0 1.192 0.907 0.130 0.119 – 1.31 1.09 (5,4) 3.1 170.7 1.098 0.887 0.129 0.122 – 1.24 1.06 (5,5) 3.4 170.5 1.029 0.887 0.178 0.162 6.74 1.16 1.10 (5,6) 3.7 170.9 1.091 0.894 0.186 0.128 6.73 1.22 1.46 (5,7) 4.1 171.0 1.110 0.903 0.182 0.176 6.63 1.23 1.03 (5,8) 4.4 171.0 1.119 0.920 0.175 0.183 6.50 1.22 0.96 (5,9) 4.8 170.8 1.062 0.931 0.212 0.162 6.41 1.14 1.31 (5,10) 5.1 170.2 1.134 0.943 0.168 0.181 6.32 1.20 0.93 (5,11) 5.5 170.8 1.149 0.949 0.210 0.193 6.18 1.21 1.09 (5,12) 5.9 170.8 1.096 0.965 0.174 0.206 6.25 1.14 0.84 (5,13) 6.2 170.9 1.037 0.978 0.202 0.201 6.28 1.06 1.00 (5,14) 6.6 170.8 0.980 0.986 0.174 0.208 6.34 0.99 0.84 (5,15) 7.0 170.3 1.024 0.986 0.206 0.217 6.21 1.04 0.95 (5,16) 7.3 170.8 0.993 0.992 0.177 0.234 6.28 1.00 0.76 (5,17) 7.7 170.8 1.039 1.001 0.183 0.207 6.24 1.04 0.88 (5,18) 8.1 170.9 1.025 1.001 0.203 0.219 6.17 1.02 0.93 (5,19) 8.5 170.8 0.993 1.006 0.161 0.205 6.24 0.99 0.78 (5,20) 8.8 170.7 1.057 1.010 0.194 0.221 6.25 1.05 0.87 (6,0) 2.4 165.8 1.129 0.982 0.095 0.110 – 1.15 0.87 (6,1) 2.6 168.4 1.142 0.992 0.065 0.118 – 1.15 0.55 (6,2) 2.9 169.6 1.061 0.973 0.126 0.134 – 1.09 0.94 (6,3) 3.1 170.0 1.128 0.933 0.183 0.130 – 1.21 1.40 (6,4) 3.4 170.5 1.104 0.907 0.217 0.159 – 1.22 1.36 (6,5) 3.7 170.9 1.056 0.895 0.173 0.128 – 1.18 1.36
chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(6,6) 4.0 170.3 1.096 0.889 0.167 0.188 6.58 1.23 0.89 (6,7) 4.4 171.2 1.115 0.892 0.194 0.134 6.52 1.25 1.45 (6,8) 4.7 171.0 1.113 0.902 0.172 0.180 6.40 1.23 0.95 (6,9) 5.1 170.9 1.137 0.910 0.216 0.193 6.33 1.25 1.12 (6,10) 5.4 171.1 1.018 0.925 0.201 0.191 6.37 1.10 1.05 (6,11) 5.8 171.0 1.063 0.934 0.154 0.178 6.37 1.14 0.86 (6,12) 6.1 171.0 1.170 0.944 0.163 0.188 6.42 1.24 0.87 (6,13) 6.5 170.9 1.129 0.952 0.168 0.187 6.40 1.19 0.90 (6,14) 6.9 170.8 1.103 0.959 0.188 0.196 6.32 1.15 0.96 (6,15) 7.2 170.7 1.109 0.965 0.189 0.197 6.37 1.15 0.96 (6,16) 7.6 170.9 1.077 0.976 0.197 0.214 6.32 1.10 0.92 (6,17) 8.0 170.9 1.053 0.983 0.197 0.218 6.30 1.07 0.91 (6,18) 8.3 170.9 1.060 0.989 0.233 0.209 6.32 1.07 1.11 (6,19) 8.7 170.9 1.054 0.992 0.201 0.222 6.25 1.06 0.91 (6,20) 9.1 170.9 0.977 0.994 0.216 0.240 6.23 0.98 0.90 (7,0) 2.8 168.4 1.023 1.016 0.085 0.136 – 1.01 0.62 (7,1) 3.0 169.3 1.167 1.015 0.085 0.109 – 1.15 0.78 (7,2) 3.2 170.0 1.141 0.992 0.144 0.151 – 1.15 0.96 (7,3) 3.5 170.5 1.124 0.957 0.157 0.147 – 1.17 1.07 (7,4) 3.8 170.9 1.010 0.927 0.154 0.169 – 1.09 0.91 (7,5) 4.1 171.1 1.140 0.903 0.188 0.165 – 1.26 1.14 (7,6) 4.4 171.3 1.048 0.892 0.151 0.126 – 1.17 1.21 (7,7) 4.7 170.1 1.104 0.894 0.191 0.175 6.48 1.23 1.09 (7,8) 5.0 171.3 0.990 0.890 0.177 0.149 6.34 1.11 1.19 (7,9) 5.4 171.2 1.076 0.897 0.232 0.203 6.34 1.20 1.14 (7,10) 5.7 171.2 1.024 0.905 0.190 0.209 6.40 1.13 0.91 (7,11) 6.1 171.2 0.937 0.914 0.200 0.200 6.38 1.03 1.00 (7,12) 6.4 171.1 1.046 0.925 0.224 0.193 6.38 1.13 1.16 (7,13) 6.8 171.1 1.083 0.936 0.181 0.175 6.39 1.16 1.04 (7,14) 7.2 170.9 1.072 0.943 0.208 0.210 6.47 1.14 0.99 (7,15) 7.5 171.0 1.024 0.950 0.172 0.187 6.35 1.08 0.92 (7,16) 7.9 171.1 1.072 0.956 0.182 0.199 6.28 1.12 0.91 (7,17) 8.2 170.9 0.998 0.970 0.226 0.201 6.39 1.03 1.12 (7,18) 8.6 171.0 1.097 0.973 0.209 0.215 6.34 1.13 0.97 (7,19) 9.0 171.0 0.976 0.984 0.161 0.179 6.45 0.99 0.90 (7,20) 9.4 170.9 0.995 0.983 0.201 0.205 6.41 1.01 0.98 (8,0) 3.2 168.7 1.049 1.030 0.104 0.167 – 1.02 0.62 (8,1) 3.3 169.8 1.135 1.028 0.094 0.141 – 1.10 0.66 (8,2) 3.6 170.3 1.064 1.006 0.149 0.164 – 1.06 0.91 (8,3) 3.8 170.7 1.052 0.973 0.149 0.172 – 1.08 0.87 (8,4) 4.1 170.6 0.997 0.945 0.100 0.174 – 1.05 0.58 (8,5) 4.4 171.1 1.096 0.916 0.232 0.180 – 1.20 1.29 (8,6) 4.7 171.1 1.153 0.898 0.170 0.171 – 1.28 0.99 (8,7) 5.0 171.3 1.076 0.890 0.209 0.142 – 1.21 1.47 (8,8) 5.4 171.2 1.174 0.889 0.268 0.191 6.35 1.32 1.40 (8,9) 5.7 171.3 1.183 0.890 0.199 0.148 6.36 1.33 1.34 (8,10) 6.0 171.2 1.027 0.897 0.237 0.189 6.41 1.14 1.25 (8,11) 6.4 171.2 1.037 0.907 0.215 0.189 6.47 1.14 1.14 (8,12) 6.7 171.2 1.029 0.911 0.221 0.186 6.38 1.13 1.19 (8,13) 7.1 171.1 0.993 0.920 0.206 0.193 6.41 1.08 1.07 (8,14) 7.4 171.1 1.023 0.927 0.190 0.203 6.42 1.10 0.94 (8,15) 7.8 171.1 0.973 0.935 0.184 0.171 6.39 1.04 1.08
chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(8,16) 8.2 170.8 0.937 0.947 0.190 0.193 6.46 0.99 0.98 (8,17) 8.5 171.1 0.942 0.949 0.166 0.200 6.45 0.99 0.83 (8,18) 8.9 171.0 1.064 0.953 0.172 0.209 6.39 1.12 0.82 (8,19) 9.3 171.0 1.033 0.961 0.209 0.203 6.47 1.07 1.03 (8,20) 9.6 171.0 1.069 0.968 0.165 0.197 6.29 1.10 0.84 (9,0) 3.5 168.9 1.176 1.036 0.113 0.182 – 1.14 0.62 (9,1) 3.7 170.3 0.927 1.035 0.145 0.179 – 0.90 0.81 (9,2) 4.0 170.7 1.135 1.012 0.126 0.170 – 1.12 0.74 (9,3) 4.2 170.8 1.044 0.985 0.159 0.185 – 1.06 0.86 (9,4) 4.5 171.0 1.141 0.958 0.176 0.170 – 1.19 1.03 (9,5) 4.8 171.2 1.094 0.933 0.204 0.168 – 1.17 1.22 (9,6) 5.1 171.1 1.093 0.911 0.230 0.187 – 1.20 1.23 (9,7) 5.4 171.4 1.074 0.902 0.212 0.188 – 1.19 1.13 (9,8) 5.7 171.4 1.135 0.888 0.259 0.153 – 1.28 1.70 (9,9) 6.0 171.1 1.018 0.894 0.219 0.184 6.41 1.14 1.19 (9,10) 6.4 171.4 1.122 0.893 0.184 0.141 6.42 1.26 1.30 (9,11) 6.7 171.3 1.058 0.896 0.235 0.199 6.45 1.18 1.18 (9,12) 7.0 171.1 1.035 0.903 0.208 0.200 6.44 1.15 1.04 (9,13) 7.4 171.3 1.056 0.910 0.207 0.191 6.45 1.16 1.09 (9,14) 7.7 171.2 1.075 0.915 0.163 0.200 6.42 1.17 0.82 (9,15) 8.1 171.2 1.055 0.924 0.193 0.191 6.52 1.14 1.01 (9,16) 8.5 171.2 1.004 0.925 0.268 0.202 6.48 1.08 1.33 (9,17) 8.8 171.1 1.016 0.936 0.194 0.209 6.45 1.09 0.93 (9,18) 9.2 170.8 1.058 0.943 0.195 0.207 6.37 1.12 0.94 (9,19) 9.5 171.1 1.025 0.950 0.198 0.195 6.37 1.08 1.02 (9,20) 9.9 171.1 0.988 0.952 0.181 0.207 6.18 1.04 0.88 (10,0) 3.9 169.0 1.062 1.041 0.104 0.183 – 1.02 0.57 (10,1) 4.1 170.5 1.071 1.037 0.130 0.173 – 1.03 0.75 (10,2) 4.3 170.5 1.057 1.018 0.180 0.184 – 1.04 0.98 (10,3) 4.6 171.1 0.995 0.997 0.152 0.205 – 1.00 0.74 (10,4) 4.9 170.9 1.121 0.967 0.191 0.177 – 1.16 1.08 (10,5) 5.1 171.3 0.980 0.948 0.174 0.170 – 1.03 1.02 (10,6) 5.4 171.3 1.056 0.922 0.222 0.193 – 1.15 1.15 (10,7) 5.7 171.3 1.074 0.907 0.207 0.180 – 1.18 1.15 (10,8) 6.0 171.3 1.016 0.900 0.201 0.196 – 1.13 1.02 (10,9) 6.4 171.4 1.102 0.895 0.212 0.139 – 1.23 1.52 (10,10) 6.7 171.1 0.962 0.892 0.225 0.187 6.44 1.08 1.20 (10,11) 7.0 171.3 1.048 0.891 0.194 0.137 6.45 1.18 1.41 (10,12) 7.4 171.2 1.119 0.893 0.220 0.189 6.53 1.25 1.17 (10,13) 7.7 171.3 1.065 0.897 0.206 0.194 6.42 1.19 1.06 (10,14) 8.1 171.3 1.063 0.902 0.187 0.185 6.44 1.18 1.01 (10,15) 8.4 171.1 1.049 0.910 0.256 0.187 6.52 1.15 1.37 (10,16) 8.8 171.2 0.996 0.916 0.204 0.190 6.46 1.09 1.07 (10,17) 9.1 171.2 1.003 0.923 0.204 0.197 6.54 1.09 1.04 (10,18) 9.5 171.2 0.995 0.930 0.225 0.200 6.41 1.07 1.12 (10,19) 9.8 171.2 0.991 0.939 0.169 0.141 6.44 1.06 1.20 (10,20) 10.2 170.8 1.084 0.943 0.217 0.201 6.37 1.15 1.08 (11,0) 4.3 169.0 1.135 1.044 0.143 0.198 – 1.09 0.72 (11,1) 4.5 170.8 1.027 1.040 0.101 0.163 – 0.99 0.62 (11,2) 4.7 170.9 1.005 1.026 0.124 0.196 – 0.98 0.63 (11,3) 5.0 171.0 1.023 1.000 0.152 0.199 – 1.02 0.77
chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(11,4) 5.2 171.2 1.085 0.980 0.179 0.202 – 1.11 0.89 (11,5) 5.5 171.3 1.117 0.952 0.148 0.191 – 1.17 0.78 (11,6) 5.8 171.4 1.042 0.932 0.206 0.186 – 1.12 1.10 (11,7) 6.1 171.4 1.020 0.916 0.168 0.188 – 1.11 0.89 (11,8) 6.4 171.4 1.017 0.905 0.214 0.198 – 1.12 1.08 (11,9) 6.7 171.4 1.061 0.897 0.220 0.208 – 1.18 1.06 (11,10) 7.0 171.5 1.107 0.891 0.188 0.147 – 1.24 1.28 (11,11) 7.4 171.0 1.067 0.890 0.290 0.195 6.49 1.20 1.49 (11,12) 7.7 171.4 1.030 0.891 0.176 0.135 6.49 1.16 1.31 (11,13) 8.0 171.4 1.037 0.891 0.194 0.194 6.35 1.16 1.00 (11,14) 8.4 171.3 1.075 0.898 0.213 0.196 6.37 1.20 1.09 (11,15) 8.7 171.3 1.069 0.903 0.237 0.192 6.52 1.18 1.23 (11,16) 9.1 171.3 1.003 0.907 0.231 0.183 6.43 1.11 1.26 (11,17) 9.4 171.2 1.011 0.912 0.241 0.190 6.37 1.11 1.27 (11,18) 9.8 171.2 1.017 0.919 0.238 0.181 6.51 1.11 1.31 (11,19) 10.1 171.2 1.010 0.928 0.203 0.192 6.47 1.09 1.05 (11,20) 10.5 171.2 1.008 0.932 0.192 0.189 6.44 1.08 1.01 (12,0) 4.7 169.1 1.118 1.043 0.161 0.193 – 1.07 0.83 (12,1) 4.9 170.9 0.993 1.045 0.134 0.179 – 0.95 0.75 (12,2) 5.1 170.9 1.017 1.030 0.144 0.203 – 0.99 0.71 (12,3) 5.3 170.8 1.093 1.009 0.162 0.204 – 1.08 0.80 (12,4) 5.6 170.8 1.030 0.987 0.129 0.191 – 1.04 0.68 (12,5) 5.9 171.3 1.153 0.964 0.232 0.195 – 1.20 1.19 (12,6) 6.1 171.2 1.157 0.941 0.194 0.192 – 1.23 1.01 (12,7) 6.4 171.4 0.971 0.925 0.215 0.188 – 1.05 1.15 (12,8) 6.7 171.5 1.035 0.912 0.223 0.202 – 1.13 1.11 (12,9) 7.0 171.2 1.062 0.901 0.215 0.195 – 1.18 1.10 (12,10) 7.4 171.5 1.063 0.895 0.218 0.183 – 1.19 1.19 (12,11) 7.7 171.4 1.058 0.891 0.210 0.154 – 1.19 1.36 (12,12) 8.0 171.0 1.060 0.892 0.183 0.198 6.37 1.19 0.92 (12,13) 8.3 171.4 1.037 0.891 0.170 0.137 6.50 1.16 1.24 (12,14) 8.7 171.3 1.009 0.892 0.184 0.194 6.47 1.13 0.95 (12,15) 9.0 171.3 1.020 0.894 0.267 0.189 6.53 1.14 1.41 (12,16) 9.4 171.3 1.044 0.900 0.196 0.175 6.53 1.16 1.12 (12,17) 9.7 171.3 0.966 0.906 0.210 0.202 6.55 1.07 1.04 (12,18) 10.1 171.1 0.998 0.908 0.231 0.183 6.44 1.10 1.26 (12,19) 10.4 171.3 0.960 0.917 0.206 0.193 6.41 1.05 1.07 (12,20) 10.8 171.1 1.074 0.921 0.223 0.195 6.38 1.17 1.14 (13,0) 5.0 169.1 1.103 1.045 0.175 0.208 – 1.05 0.84 (13,1) 5.2 170.9 1.083 1.047 0.136 0.204 – 1.03 0.67 (13,2) 5.5 171.1 1.010 1.033 0.156 0.212 – 0.98 0.74 (13,3) 5.7 171.2 1.149 1.014 0.254 0.203 – 1.13 1.25 (13,4) 6.0 171.2 0.979 0.993 0.184 0.198 – 0.99 0.92 (13,5) 6.2 171.3 1.143 0.974 0.202 0.199 – 1.17 1.01 (13,6) 6.5 171.3 1.091 0.948 0.184 0.198 – 1.15 0.93 (13,7) 6.8 171.4 1.083 0.933 0.192 0.182 – 1.16 1.06 (13,8) 7.1 171.4 1.010 0.920 0.219 0.196 – 1.10 1.12 (13,9) 7.4 171.4 1.082 0.910 0.233 0.202 – 1.19 1.16 (13,10) 7.7 171.5 1.053 0.896 0.214 0.190 – 1.17 1.13 (13,11) 8.0 171.4 1.019 0.897 0.211 0.193 – 1.14 1.09 (13,12) 8.3 171.4 1.085 0.892 0.218 0.149 – 1.22 1.46 (13,13) 8.7 170.9 1.057 0.892 0.197 0.193 6.53 1.18 1.02 (13,14) 9.0 171.4 1.025 0.889 0.215 0.147 6.59 1.15 1.47
chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(13,15) 9.4 171.4 1.043 0.891 0.192 0.187 6.38 1.17 1.03 (13,16) 9.7 171.4 1.057 0.896 0.238 0.200 6.50 1.18 1.19 (13,17) 10.0 171.4 0.974 0.900 0.222 0.204 5.12 1.08 1.09 (13,18) 10.4 171.3 1.032 0.903 0.203 0.192 6.01 1.14 1.05 (13,19) 10.7 171.3 0.968 0.909 0.214 0.195 6.39 1.07 1.09 (13,20) 11.1 171.3 0.972 0.912 0.200 0.205 6.41 1.07 0.97 (14,0) 5.4 169.1 0.951 1.049 0.120 0.227 – 0.91 0.53 (14,1) 5.6 171.1 0.962 1.051 0.139 0.204 – 0.92 0.68 (14,2) 5.9 170.9 1.024 1.035 0.105 0.215 – 0.99 0.49 (14,3) 6.1 171.3 1.191 1.016 0.216 0.206 – 1.17 1.05 (14,4) 6.3 171.1 1.040 0.999 0.155 0.206 – 1.04 0.75 (14,5) 6.6 171.4 1.094 0.982 0.217 0.218 – 1.11 1.00 (14,6) 6.9 171.4 1.067 0.958 0.174 0.196 – 1.11 0.89 (14,7) 7.2 171.2 1.105 0.942 0.208 0.199 – 1.17 1.04 (14,8) 7.4 171.4 1.026 0.928 0.209 0.195 – 1.11 1.07 (14,9) 7.7 171.5 1.074 0.913 0.191 0.187 – 1.18 1.02 (14,10) 8.1 171.4 1.093 0.901 0.206 0.189 – 1.21 1.09 (14,11) 8.4 171.4 1.013 0.900 0.227 0.193 – 1.13 1.17 (14,12) 8.7 171.4 0.998 0.890 0.212 0.188 – 1.12 1.13 (14,13) 9.0 171.5 0.986 0.891 0.134 0.153 – 1.11 0.88 (14,14) 9.3 170.9 1.048 0.891 0.233 0.186 6.45 1.18 1.25 (14,15) 9.7 171.4 1.044 0.891 0.203 0.146 6.51 1.17 1.38 (14,16) 10.0 171.4 1.016 0.888 0.247 0.181 6.14 1.14 1.37 (14,17) 10.4 171.4 0.996 0.894 0.235 0.194 6.30 1.11 1.21 (14,18) 10.7 171.3 1.036 0.899 0.211 0.195 6.42 1.15 1.08 (14,19) 11.1 171.3 1.031 0.901 0.211 0.196 6.39 1.14 1.07 (14,20) 11.4 171.3 1.046 0.905 0.236 0.186 6.36 1.16 1.27 (15,0) 5.8 169.1 1.133 1.047 0.104 0.222 – 1.08 0.47 (15,1) 6.0 171.2 1.100 1.047 0.158 0.202 – 1.05 0.78 (15,2) 6.2 171.2 1.034 1.037 0.156 0.211 – 1.00 0.74 (15,3) 6.5 171.3 1.055 1.020 0.170 0.214 – 1.03 0.80 (15,4) 6.7 171.4 0.967 1.010 0.184 0.200 – 0.96 0.92 (15,5) 7.0 171.4 1.078 0.987 0.210 0.201 – 1.09 1.05 (15,6) 7.2 171.4 1.147 0.964 0.182 0.191 – 1.19 0.95 (15,7) 7.5 171.5 1.035 0.952 0.199 0.203 – 1.09 0.98 (15,8) 7.8 171.5 1.036 0.936 0.204 0.195 – 1.11 1.05 (15,9) 8.1 171.4 1.072 0.918 0.289 0.186 – 1.17 1.55 (15,10) 8.4 171.3 0.997 0.913 0.214 0.190 – 1.09 1.12 (15,11) 8.7 171.4 1.100 0.903 0.087 0.183 – 1.22 0.48 (15,12) 9.0 171.4 1.010 0.895 0.207 0.200 – 1.13 1.04 (15,13) 9.4 171.5 1.108 0.889 0.241 0.172 – 1.25 1.40 (15,14) 9.7 171.5 1.095 0.888 0.195 0.163 – 1.23 1.20 (15,15) 10.0 170.9 1.059 0.887 0.236 0.202 6.50 1.19 1.17 (15,16) 10.3 171.4 1.010 0.887 0.203 0.142 6.53 1.14 1.43 (15,17) 10.7 171.4 1.052 0.891 0.222 0.184 6.45 1.18 1.21 (15,18) 11.0 171.3 0.992 0.895 0.223 0.213 6.44 1.11 1.05 (15,19) 11.4 171.3 0.971 0.899 0.201 0.193 6.39 1.08 1.04 (15,20) 11.7 171.2 1.045 0.901 0.203 0.150 6.56 1.16 1.36 (16,0) 6.2 169.1 1.040 1.048 0.149 0.219 – 0.99 0.68 (16,1) 6.4 171.2 1.097 1.043 0.144 0.212 – 1.05 0.68 (16,2) 6.6 171.2 0.909 1.039 0.170 0.229 – 0.88 0.74 (16,3) 6.8 171.3 1.066 1.022 0.149 0.219 – 1.04 0.68 (16,4) 7.1 171.2 1.013 1.009 0.208 0.204 – 1.00 1.02
chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(16,5) 7.3 171.4 1.050 0.994 0.191 0.216 – 1.06 0.88 (16,6) 7.6 171.4 1.138 0.972 0.178 0.203 – 1.17 0.88 (16,7) 7.9 171.4 1.000 0.958 0.183 0.198 – 1.04 0.92 (16,8) 8.2 171.1 1.040 0.944 0.287 0.199 – 1.10 1.45 (16,9) 8.5 171.5 1.107 0.930 0.233 0.191 – 1.19 1.22 (16,10) 8.8 171.5 1.009 0.916 0.212 0.198 – 1.10 1.07 (16,11) 9.1 171.5 1.020 0.909 0.235 0.198 – 1.12 1.18 (16,12) 9.4 171.4 1.015 0.897 0.229 0.214 – 1.13 1.07 (16,13) 9.7 171.5 0.962 0.893 0.252 0.231 – 1.08 1.09 (16,14) 10.0 171.4 1.038 0.892 0.211 0.194 – 1.16 1.08 (16,15) 10.3 171.4 0.946 0.891 0.184 0.144 – 1.06 1.28 (16,16) 10.7 170.9 0.946 0.890 0.240 0.193 6.51 1.06 1.24 (16,17) 11.0 171.4 1.020 0.890 0.185 0.159 6.42 1.15 1.16 (16,18) 11.4 171.3 1.066 0.889 0.223 0.187 6.39 1.20 1.19 (16,19) 11.7 171.4 1.049 0.895 0.217 0.179 6.39 1.17 1.21 (16,20) 12.0 171.3 1.014 0.895 0.228 0.189 6.36 1.13 1.21 (17,0) 6.6 171.2 0.943 1.051 0.145 0.224 – 0.90 0.64 (17,1) 6.8 171.3 1.058 1.045 0.129 0.209 – 1.01 0.61 (17,2) 7.0 171.3 1.022 1.038 0.134 0.233 – 0.98 0.58 (17,3) 7.2 171.4 1.080 1.029 0.164 0.206 – 1.05 0.80 (17,4) 7.5 171.4 1.050 1.013 0.222 0.223 – 1.04 0.99 (17,5) 7.7 171.4 1.105 0.995 0.178 0.210 – 1.11 0.85 (17,6) 8.0 171.4 1.111 0.981 0.146 0.226 – 1.13 0.65 (17,7) 8.3 171.5 1.038 0.964 0.190 0.214 – 1.08 0.89 (17,8) 8.5 171.5 1.007 0.951 0.239 0.191 – 1.06 1.25 (17,9) 8.8 171.5 1.022 0.934 0.126 0.191 – 1.09 0.66 (17,10) 9.1 171.5 0.969 0.925 0.237 0.205 – 1.05 1.16 (17,11) 9.4 171.5 1.057 0.914 0.178 0.192 – 1.16 0.93 (17,12) 9.7 171.5 0.961 0.906 0.214 0.190 – 1.06 1.13 (17,13) 10.0 171.5 0.973 0.898 0.211 0.170 – 1.08 1.24 (17,14) 10.4 171.5 1.015 0.894 0.211 0.189 – 1.13 1.11 (17,15) 10.7 171.5 1.020 0.891 0.218 0.201 – 1.14 1.08 (17,16) 11.0 171.4 1.013 0.889 0.195 0.128 – 1.14 1.52 (17,17) 11.3 170.9 1.091 0.894 0.190 0.187 6.40 1.22 1.02 (17,18) 11.7 171.4 1.041 0.889 0.218 0.134 6.39 1.17 1.63 (17,19) 12.0 171.4 1.023 0.890 0.214 0.174 6.37 1.15 1.23 (17,20) 12.4 171.4 1.065 0.895 0.180 0.146 6.37 1.19 1.23 (18,0) 7.0 171.2 0.950 1.052 0.133 0.216 – 0.90 0.62 (18,1) 7.1 171.4 1.048 1.046 0.134 0.213 – 1.00 0.63 (18,2) 7.4 171.3 0.976 1.040 0.157 0.220 – 0.94 0.71 (18,3) 7.6 171.2 0.998 1.031 0.155 0.221 – 0.97 0.70 (18,4) 7.8 171.3 1.011 1.015 0.173 0.229 – 1.00 0.76 (18,5) 8.1 171.5 1.037 1.001 0.154 0.214 – 1.04 0.72 (18,6) 8.3 171.3 1.162 0.984 0.221 0.185 – 1.18 1.19 (18,7) 8.6 171.4 1.054 0.971 0.238 0.200 – 1.09 1.19 (18,8) 8.9 171.5 1.082 0.954 0.175 0.213 – 1.13 0.82 (18,9) 9.2 171.1 1.021 0.945 0.202 0.207 – 1.08 0.97 (18,10) 9.5 171.4 1.024 0.928 0.254 0.199 – 1.10 1.27 (18,11) 9.8 171.5 0.994 0.919 0.227 0.196 – 1.08 1.16 (18,12) 10.1 171.3 1.007 0.913 0.210 0.192 – 1.10 1.10 (18,13) 10.4 171.5 1.044 0.903 0.228 0.175 – 1.16 1.31
Tabela 10.9. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne nanorurek węglowych chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr
(18,14) 10.7 171.5 1.023 0.897 0.213 0.176 – 1.14 1.21 (18,15) 11.0 171.3 1.076 0.895 0.224 0.196 – 1.20 1.14 (18,16) 11.4 171.5 1.088 0.891 0.217 0.190 – 1.22 1.14 (18,17) 11.7 171.5 1.033 0.888 0.207 0.142 – 1.16 1.45 (18,18) 12.0 170.8 1.017 0.891 0.214 0.191 6.39 1.14 1.12 (18,19) 12.3 171.4 1.058 0.891 0.180 0.136 6.37 1.19 1.33 (18,20) 12.7 171.4 1.008 0.890 0.209 0.194 6.51 1.13 1.08 (19,0) 7.3 171.2 0.983 1.050 0.151 0.224 – 0.94 0.67 (19,1) 7.5 171.3 1.026 1.051 0.124 0.214 – 0.98 0.58 (19,2) 7.8 171.3 0.989 1.041 0.146 0.231 – 0.95 0.63 (19,3) 8.0 171.4 1.028 1.029 0.141 0.222 – 1.00 0.64 (19,4) 8.2 171.5 1.035 1.018 0.235 0.212 – 1.02 1.11 (19,5) 8.5 171.4 1.079 1.006 0.184 0.212 – 1.07 0.86 (19,6) 8.7 171.5 0.993 0.992 0.194 0.218 – 1.00 0.89 (19,7) 9.0 171.5 1.024 0.979 0.181 0.210 – 1.05 0.86 (19,8) 9.3 171.5 1.075 0.964 0.195 0.199 – 1.11 0.98 (19,9) 9.5 171.6 1.032 0.948 0.172 0.192 – 1.09 0.89 (19,10) 9.8 171.5 1.042 0.937 0.194 0.185 – 1.11 1.05 (19,11) 10.1 171.5 1.053 0.927 0.216 0.201 – 1.14 1.08 (19,12) 10.4 171.6 0.992 0.918 0.208 0.197 – 1.08 1.06 (19,13) 10.7 171.5 0.946 0.908 0.239 0.169 – 1.04 1.42 (19,14) 11.1 171.5 1.027 0.902 0.219 0.190 – 1.14 1.16 (19,15) 11.4 171.5 1.049 0.896 0.219 0.193 – 1.17 1.14 (19,16) 11.7 171.5 1.052 0.895 0.221 0.183 – 1.18 1.21 (19,17) 12.0 171.4 1.014 0.889 0.238 0.204 – 1.14 1.17 (19,18) 12.3 171.5 1.054 0.891 0.192 0.129 – 1.18 1.49 (19,19) 12.7 170.8 0.975 0.891 0.242 0.190 6.54 1.09 1.28 (19,20) 13.0 171.4 1.035 0.889 0.228 0.092 6.48 1.16 2.48 (20,0) 7.7 171.2 1.002 1.049 0.062 0.212 – 0.96 0.29 (20,1) 7.9 171.4 0.998 1.049 0.176 0.224 – 0.95 0.78 (20,2) 8.1 171.4 1.052 1.042 0.220 0.236 – 1.01 0.93 (20,3) 8.4 171.4 1.054 1.031 0.177 0.219 – 1.02 0.81 (20,4) 8.6 171.2 0.943 1.021 0.179 0.219 – 0.92 0.82 (20,5) 8.8 171.2 1.024 1.009 0.169 0.210 – 1.01 0.81 (20,6) 9.1 171.5 1.030 0.995 0.187 0.206 – 1.04 0.91 (20,7) 9.4 171.5 1.085 0.982 0.186 0.207 – 1.11 0.90 (20,8) 9.6 171.4 1.035 0.968 0.199 0.200 – 1.07 1.00 (20,9) 9.9 171.5 1.030 0.957 0.192 0.208 – 1.08 0.92 (20,10) 10.2 171.1 1.055 0.945 0.199 0.201 – 1.12 0.99 (20,11) 10.5 171.5 0.976 0.932 0.184 0.179 – 1.05 1.03 (20,12) 10.8 171.3 0.974 0.920 0.221 0.184 – 1.06 1.20 (20,13) 11.1 171.6 1.019 0.914 0.203 0.189 – 1.11 1.07 (20,14) 11.4 171.5 1.061 0.906 0.209 0.194 – 1.17 1.08 (20,15) 11.7 171.4 1.008 0.902 0.200 0.187 – 1.12 1.07 (20,16) 12.0 171.3 1.079 0.898 0.200 0.196 – 1.20 1.02 (20,17) 12.4 171.5 1.045 0.893 0.213 0.194 – 1.17 1.10 (20,18) 12.7 171.4 1.024 0.891 0.248 0.237 – 1.15 1.05 (20,19) 13.0 171.4 1.057 0.889 0.202 0.101 – 1.19 1.99 (20,20) 13.3 170.8 1.013 0.892 0.221 0.167 6.51 1.13 1.32
nanoprętów
W kolumnie „oznaczenie” umieszczono oznakowanie próbek przyjęte w przeprowadzo-nych eksperymentach:
X −(hkl)−R, (11.1)
gdzie:
X – pierwiastek (Au, Ni, Cu, Pt),
(hkl) – płaszczyzna krystalograficzna prostopadła do osi wzdłużnej nanopręta, R – promień nanopręta wyrażony jako krotność stałej sieci krystalograficznej a.
Wyniki przeprowadzonych symulacji zebrane zostały w tablicach 11.1 do 11.4. W poszcze-gólnych kolumnach umieszczono:R0, L0 – promień i długość początkowa w ˚A, ρ0 –gęstość początkowa, Ys i Yr – moduł Younga dla ściskania i rozciągania w GPa, νs i νr – współ-czynnik Poissone’a dla ściskania i rozciągania, σs i σr – granica plastyczności dla ściskania i rozciągania w GPa, G – moduł Kirchhoffa w GPa oraz ilorazy badanych wielkości.
Tabela 11.1. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne niklowych nanoprętów
oznaczenie (hkl) R0 L0 ρ0 Ys Yr νs νr σs σr G Ys/Yr νs/νr σs/σr
Ni-001-2.5 001 8.0 167.9 11 0 57 0.70 0.53 0.4 7.5 - - 1.3 0.0
Ni-001-4 001 13.1 169.9 10 83 80 0.58 0.51 1.1 9.2 - 1.0 1.1 0.1
Ni-001-7 001 24.1 171.9 9 89 124 0.56 0.41 2.5 9.4 125.4 0.7 1.4 0.3
Ni-001-10 001 34.6 172.7 9 93 132 0.57 0.46 3.0 9.1 - 0.7 1.3 0.3
Ni-011-2.5 011 8.5 172.4 11 184 159 0.34 0.32 9.9 6.9 - 1.2 1.1 1.4
Ni-011-4 011 13.0 172.9 10 260 207 0.34 0.33 15.0 7.0 - 1.3 1.0 2.2
Ni-011-7 011 24.0 173.6 9 199 148 0.38 0.39 14.1 5.7 58.2 1.3 1.0 2.5
Ni-011-10 011 34.7 173.9 9 194 136 0.35 0.38 12.9 5.4 - 1.4 0.9 2.4
Ni-111-2.5 111 8.0 173.2 11 249 330 0.37 0.29 8.3 11.9 - 0.8 1.3 0.7
Ni-111-4 111 13.5 173.7 10 285 303 0.36 0.29 14.0 13.8 - 0.9 1.3 1.0
Ni-111-7 111 23.9 174.2 9 261 286 0.35 0.28 16.4 13.1 48.1 0.9 1.3 1.2
Ni-111-10 111 34.6 174.4 9 260 284 0.35 0.27 19.0 13.3 - 0.9 1.3 1.4
120
Tabela 11.2. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne miedzianych nanoprętów
oznaczenie (hkl) R0 L0 ρ0 Ys Yr νs νr σs σr G Ys/Yr νs/νr σs/σr
Cu-001-2.5 001 8.2 172.2 11 0 94 0.76 0.54 2.5 4.6 - - 1.4 0.5
Cu-001-4 001 13.5 174.5 10 64 51 0.58 0.51 0.7 6.1 - 1.3 1.1 0.1
Cu-001-7 001 24.8 176.5 9 67 85 0.57 0.45 1.6 6.4 85.4 0.8 1.3 0.3
Cu-001-10 001 35.5 177.2 9 69 98 0.58 0.44 2.1 6.4 - 0.7 1.3 0.3
Cu-011-2.5 011 8.8 177.0 11 126 98 0.35 0.32 7.7 4.9 - 1.3 1.1 1.6
Cu-011-4 011 13.3 177.5 10 174 115 0.35 0.34 9.4 4.9 - 1.5 1.0 1.9
Cu-011-7 011 24.6 178.2 9 141 95 0.38 0.40 10.4 4.0 39.3 1.5 1.0 2.6
Cu-011-10 011 35.6 178.5 9 139 85 0.36 0.39 9.1 3.9 - 1.6 0.9 2.4
Cu-111-2.5 111 8.2 177.8 11 192 220 0.37 0.26 5.3 9.0 - 0.9 1.4 0.6
Cu-111-4 111 13.9 178.3 10 204 206 0.37 0.29 8.4 9.2 - 1.0 1.3 0.9
Cu-111-7 111 24.6 178.8 9 188 195 0.36 0.28 12.1 9.3 32.4 1.0 1.3 1.3
Cu-111-10 111 35.5 179.0 9 193 196 0.35 0.28 12.0 8.7 - 1.0 1.3 1.4
Tabela 11.3. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne platynowych nanoprętów
oznaczenie (hkl) R0 L0 ρ0 Ys Yr νs νr σs σr G Ys/Yr νs/νr σs/σr
Pt-001-2.5 001 8.8 191.0 28 117 142 0.53 0.42 2.9 12.2 - 0.8 1.3 0.2
Pt-001-4 001 14.5 192.5 25 123 154 0.54 0.43 4.0 12.0 - 0.8 1.2 0.3
Pt-001-7 001 26.8 193.5 23 134 154 0.53 0.44 4.9 11.9 116.4 0.9 1.2 0.4
Pt-001-10 001 38.5 193.7 22 133 157 0.55 0.46 5.0 12.0 - 0.8 1.2 0.4
Pt-011-2.5 011 9.5 192.5 26 384 246 0.38 0.36 22.1 8.8 - 1.6 1.1 2.5
Pt-011-4 011 14.4 193.2 25 336 225 0.38 0.38 27.3 7.9 - 1.5 1.0 3.4
Pt-011-7 011 26.8 194.0 22 285 182 0.42 0.43 21.5 6.8 57.1 1.6 1.0 3.2
Pt-011-10 011 38.7 194.0 22 276 176 0.39 0.40 20.3 6.4 - 1.6 1.0 3.2
Pt-111-2.5 111 8.9 193.6 27 378 365 0.41 0.31 15.0 14.8 - 1.0 1.3 1.0
Pt-111-4 111 15.1 194.3 24 349 323 0.40 0.30 23.4 13.7 - 1.1 1.4 1.7
Pt-111-7 111 26.7 194.6 23 336 308 0.40 0.32 26.2 12.6 64.4 1.1 1.3 2.1
Pt-111-10 111 38.7 194.6 22 330 304 0.40 0.32 24.2 12.6 - 1.1 1.3 1.9
Tabela 11.4. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne złotych nanoprętów
oznaczenie (hkl) R0 L0 ρ0 Ys Yr νs νr σs σr G Ys/Yr νs/νr σs/σr
Au-001-2.5 001 9.1 199.3 25 83 98 0.55 0.40 1.6 4.9 51.8 0.9 1.4 0.3
Au-001-4 001 15.1 200.6 22 76 94 0.54 0.43 2.1 5.2 54.2 0.8 1.2 0.4
Au-001-7 001 27.9 201.3 20 75 89 0.56 0.48 2.5 5.5 53.5 0.8 1.2 0.4
Au-001-10 001 40.1 201.6 20 78 91 0.55 0.48 2.5 5.4 53.6 0.9 1.1 0.5
Au-011-2.5 011 9.2 199.3 24 214 134 0.47 0.43 10.6 4.2 25.4 1.6 1.1 2.5 Au-011-4 011 15.0 200.8 22 174 103 0.42 0.40 12.3 3.8 32.5 1.7 1.0 3.2 Au-011-7 011 27.9 201.3 20 136 86 0.45 0.45 11.7 3.3 29.6 1.6 1.0 3.6 Au-011-10 011 40.1 201.8 20 137 84 0.42 0.44 9.9 3.2 30.1 1.6 0.9 3.1 Au-111-2.5 111 9.2 201.2 24 198 194 0.45 0.34 8.8 6.3 27.6 1.0 1.3 1.4 Au-111-4 111 15.6 202.0 22 188 171 0.44 0.35 11.8 5.6 27.8 1.1 1.2 2.1 Au-111-7 111 27.8 202.2 20 180 159 0.44 0.35 11.9 5.5 27.5 1.1 1.2 2.2 Au-111-10 111 40.0 202.5 20 183 156 0.43 0.35 12.2 5.2 27.9 1.2 1.2 2.3
Younga na zginanie belki
W przypadku zginania występuje jednocześnie ściskanie z jednej strony materiału i rozciągania z drugiej strony. Poniżej przeanalizowano wpływ asymetrii modułu Younga na przesunięcie osi obojętnej zginania (w stronę materiału ściskanego), na linię ugięcia oraz na naprężenia maksymalne. Wpływ asymetrii modułu Younga na sztywność zginania obliczono na przykładzie pręta prostokątnego (wysokość× szerokość)= 2a×b.
Rozpatrując zginanie belki, dla małych ugięć wprowadza się założenie płaskich przekro-jów: przekrój prostopadły do osi wzdłużnej zginanej belki, płaski przed rozpoczęciem zgi-nania, pozostaje płaski po zakończeniu zginania. Rozpatrując zginanie wyłącznie pod wpły-wem momentu gnącego M. Ponieważ nie występuje siła wzdłużna (normalna do przekroju poprzecznego), wobec tego
Z
A
σdA = 0. (12.1)
Z założenia płaskich przekrojów wynika, że zależność
εx= ε(y) (12.2)
jest zależnością liniową. Ponieważ zachodzi również:
σ = Y ε, (12.3)
więc σ też zmienia się liniowo.Ponieważ zachodzi 12.1, więc zarówno ε jak i σ zmieniają znak na przekroju poprzecznym. Tę warstwę w belce zginanej, gdzie naprężenia normalne, a więc i odkształcenia, zmieniają znak nazywamy płaszczyzną (warstwą) obojętną zginania.
Przyjmijmy, że płaszczyzna x0z przechodzi przez warstwę obojętną zginania. Niech ponadto lokalny promień gięcia będzie promieniem gięcia osi 0x. Dla warstwy o współrzędnej y można zapisać:
εx=(̺+y)dϕ−̺dϕ
̺dϕ =y
̺, (12.4)
ponieważ przed odkształceniem odcinek był równy długości linii obojętnej zginania, tj. ̺ϕ.
Podstawiając do 12.1 otrzymujemy:
Z
A
σxdA = Z
A
Y εxdA = Z
A
Yy
̺dA = 0. (12.5)
122
Ponieważ
Moment statyczny jest równy zeru jedynie wówczas, gdy jest liczony względem osi prze-chodzącej środek ciężkości. A zatem płaszczyzna obojętna zginania przez środek ciężkości przekroju.
ponieważ zginanie następuje w płaszczyźnie x0y, więc My= 0, a zatem i Z
A
yzdA = 0 (12.10)
czyli oś 0y jest zarazem osią główną.
dMz= σydA = Y εxydA =Y
gdzie Jz - moment bezwładności przekroju. Z równań (12.3), (12.4), i (12.13) otrzymujemy
̺ = y
Łącząc równanie (12.13) ze wzorem na lokalną krzywiznę (12.16) 1
̺= ± y′′
[1+(y′)2]3/2 (12.16)
i ograniczając się do małych ugięć otrzymujemy równanie linii ugięcia v(x) 1
Dla jednostronnie zamocowanych prętów obciążonych prostopadłą siłą, jak na rysunku, wykres momentów gnących przedstawia sąsiedni rysunek. Rozwiązując równanie dla tego przypadku, tzn dla warunków brzegowych:
M (x) = P L0−P x;y(0) = 0;y′′(0) = 0, (12.20)
Zmienność modułu Younga spowoduje przesunięcie płaszczyzny obojętnej zginania Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości przekroju wynosi dla przy-jętego wcześniej przekroju prostokątnego 2a×b
Jzz0 =2a3b
3 . (12.22)
Jeżeli nowa płaszczyzna obojętna zginania będzie odległa o ξ od płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości, to moment bezwładności przekroju względem tej osi będzie
Jzzξ = Jzz0 h
Przekrój płaski przed odkształceniem pozostaje płaski po odkształceniu, a wówczas można zapisać:
a) dla skrajnej warstwy ściskanej y = a
(̺−a+ξ)dϕ = ̺dϕ(1−εmins ), (12.24)
b) dla skrajnej warstwy rozciąganej y = −a
(̺+a+ξ)dϕ = ̺dϕ(1+εmr ax), (12.25)
Po podzieleniu stronami otrzymujemy zależność εmaxr
εmins =a + ξ
a −ξ. (12.26)
C. Warunki równowagi
Dla najprostszego przypadku, kiedy Y zależy jedynie od kierunku obciążenia (Yz= const,Yr= const,Yz6= Yr) liniowa zmiana odkształcenia powoduje, że również naprężenia zmieniają się liniowo. Ponieważ obciążenie wzdłużne jest równe zeru (12.1), więc
1
2 σmaxr (a+ξ) = 1
2 σsmin(a−ξ), (12.27)
ponieważ (12.3)
Yrεmaxr (a+ξ) = Ysεmins (a−ξ). (12.28) D. Przesunięcie płaszczyzny obojętnej zginania
Przypadek, kiedy Y zależy jedynie od kierunku obciążenia, pozwala oszacować górną granicę wpływu tej zmienności. Do dalszych obliczeń przyjęto
Ys= ΘYr, (12.29)
a wówczas
εmaxr (a+ξ) = Θεmins (a−ξ). (12.30) Z porównania z równaniem (12.28) otrzymujemy równanie kwadratowe
εmaxr
εmins =a + ξ
a −ξ = Θa −ξ
a + ξ, (12.31)
z którego otrzymujemy dla
ξ
Przykładowe wyniki przedstawiono w tabelce:
E. Zginanie belki ciągłej z asymetrycznym modułem Younga
Powtarzając tok rozumowania przedstawiony przy analizie zginania belki ze stałym modułem Younga dochodzimy do zależności
dającej w wyniku równanie linii ugięcia różniące się od (12.21) jedynie zwiększoną sztywno-ścią zginanie o wyrażenie w nawiasach kwadratowych.
F. Naprężenia w warstwach skrajnych
W przypadku stałej wartości modułu Younga maksymalne naprężenia, ze względu na symetrię będą równe co do wielkości, wystąpią w warstwach skrajnych y = ±ai wyniosą
σ = M a
Y Jzz0 , (12.35)
natomiast dla asymetrycznego modułu Younga przy zginaniu identycznym momentem gną-cym M zachodzi równość
- współczynnik uwzględniający zwiększenie sztywności zginania spowodowane asymetrią modułu Younga. Ostatecznie ρ1= χρ0.
Wykorzystując powyższe zależności możemy zapisać
−a+ξ = −ρ1εmins , (12.38)
a + ξ = ρ1εmaxs v, (12.39)
stąd po przemnożeniu przez moduł Younga σs= −a + ξ
W tabeli 12.1 umieszczono współczynniki: asymetrii modułu Younga Θ - wzór (12.29); zmiany położenia linii obojętnej zginania ξ/a - wzór 12.23; zmiany wielkości linii ugięcia χ - wzór 12.37; zmiany naprężeń po stronie ściskanej σsc/σ0- wzór 12.44; zmiany naprężeń po stronie rozciąganej σroz/σ0- wzór 12.43.
Tabela 12.1. Wpływ asymetrii modułu Younga na parametry zginania belki Θ ξ/a χ σsc/σ0 σroz/σ0
0.5 0.172 0.772 0.781 1.105 0.6 0.127 0.813 0.845 1.091 0.7 0.089 0.857 0.897 1.072 0.8 0.056 0.903 0.938 1.049 0.9 0.026 0.951 0.972 1.025
1 0 1 1 1
1.1 0.024 1.051 1.023 0.975 1.2 0.046 1.102 1.041 0.95 1.3 0.065 1.155 1.056 0.927 1.4 0.084 1.208 1.069 0.903 1.5 0.101 1.263 1.079 0.881 1.6 0.117 1.318 1.087 0.859
programu nanoMD
Program ten stworzony został z myślą o nanomechanicznych symulacjach, w odróżnieniu od innych programów do symulacji dynamiczno-molekularnych, posiada bardziej przejrzysty sposób tworzenia (konfiguracji) takich układów. W innych programach zwykle nie jest to nawet możliwe.
Program wydany został na licencji GNU GPL w wersji trzeciej (GNU General Public License http://www.gnu.org/licenses/) pozwalającej na darmową dystrybucję, wykorzy-stanie i modyfikację kodu. Przy czym programy wykorzystujące tak licencjonowany kod źró-dłowy same muszą zostać objęte licencją GPL.
Do poprawnego działania programu niezbędne są trzy pliki z danymi wejściowymi.
Główny plik z parametrami symulacji (nazywany później setup.in), plik z opisem rodza-jów atomów biorących udział w symulacji i oddziaływań między nimi (nazywany później spec.in) oraz plik z pozycjami atomów i informacją o ich rodzaju i typie (nazywany później pos.xyz).
Uruchomienie programu następuje przez podania w linii komend nazwy pliku konfigu-racyjnego (jak np.: setup.in):
> nanoMD setup.in
13.1. Plik wejściowy setup.in
Plik ten zawiera niezbędne parametry do przeprowadzenia symulacji, oraz nazwy po-zostałych plików wejściowych (spec.in i pos.xyz. Został on podzielony na sekcje. Każda sekcja zaczyna się od nagłówka:
section nazwa sekcji i kończy słowem kluczowym end.
W sekcji głównej section main dostępne są następujące pola:
pos=’pos.xyz’
program odczytuje pozycje atomów z pliku o nazwie plik.pos, którego struktura opisana jest poniżej,
127
spec=’spec.in’
program odczytuje specyfikacje układu z pliku o nazwie plik.spec, którego struktura opisana jest poniżej,
out=’nazwa’
zapisywanie wyników do plików:
statystyki – do pliku nazwa.log, pozycje atomów – do pliku nazwa.xyz,
dane potrzebne do kontynuacji symulacji przy ponownym jej uruchomie-niu – do pliku nazwa.coord-N,
zmienne określające sposób startu symulacji (ich ustawinie jest opcjonalnie) restart
program wpierw odczyta ustawienia symulacji z plików konfiguracyjnych, później odczyta stanu układu z pliku ’nazwa.coord’ i nastąpi start symulacji
odtworz
program odczyta stan układu z pliku restore zapisywanego co 100 kroków i nastąpi kontynuacja przerwanej symulacji
overwrite
program wystartuje nowa symulacje, z tym że wszystkie pliki wyjściowe (o ile istnieją) zostaną nadpisane
coord=’start.coord’
program wpierw odczyta ustawienia symulacji z plików konfiguracyjnych, później odczyta stanu układu z pliku start.coord i nastąpi start symulacji zmienne określające parametry układu:
temp=T
temperatura początkowa symulacji [K]
chtemp=n
zmiana temperatury wzorcowej, przeprowadzane w n etapach określonych w n liniach po polu chtemp (n=0 oznacza brak zmian), każda linia składa się z trzech liczb:
Np Nk Tk
które oznaczają, że temperatura wzorcowa zmieniać się będzie liniowo od kroku Np do kroku Nk, uzyskując w korku Nk wartość Tk [K]
termos=typ M
temperatura utrzymywana poprzez działanie termostatu oznaczonego nu-merem typ z parametrem będącym odpowiednikiem masy M.
W programie przewidziane zostały trzy możliwości:
typ rodzaj termostatu 0 brak termostatu
1 termostat Nos´e–Hoovera 2 termostat gaussowski
scale=n
skalowanie prędkości do temperatury, przeprowadzane w n etapach okre-ślonych w n liniach po polu scale (n=0 oznacza brak skalowania), każda linia składa się z trzech liczb:
Np Nk Ns
które oznaczają, że skalowanie odbywać się będzie od kroku Np do kroku Nk, co Ns kroków,
timestep=h
całkowanie równań ruchu, przeprowadzane z krokiem czasowym h poda-nym w [fs],
steps=N
liczba kroków symulacji (całkowania równań ruchu), nstep=N
numer pierwszego kroku, kroki będą numerowane od N store= Nlog,Nxyz,Ncoord
statystyki liczone i zapisywane do pliku nazwa.log co Nlog kroków;
położenia atomów zapisywane do pliku nazwa.xyz co Nxyz kroków; dane potrzebne do kontynuacji symulacji zapisywane do pliku nazwa.coord-N co Ncoord kroków,
cutoff=RC
definiuje promień odcięcia, co oznacza, że najbliżsi sąsiedzi atomu będą szukani w kuli o promieniu RC wokół niego,
types=n
określa liczbę grup atomów, do których przypisane są oddziaływania ze-wnętrzne, grupę te opisywane są w sekcjach section typeN przedsta-wionych poniżej, typy numerowane są od 0, przy czym typ zerowy (type0
zawsze odnosi się do wszystkich atomów układu, np.: jeśli chcemy zdefi-niować jeden własny typ, należy wpisać types=2
stat=Ns Z
Ns określa liczbę kroków branych do obliczenia średnich wartości, Z - co które średnie mają być zapisane do pliku nazwa.stat
stress-stat=Ns
określa liczbę kroków Nsbranych do obliczenia średniej wartości naprężeń stress-grid=dx dy dz
przestrzeń układu zostanie podzielone na kostki o wymiarach dx,dy,dz w ramach których będzie obliczane średnie naprężenie i zapisywane do pliku out.stress w binarnym formacie dat3d
gtemp=dx dy dy dz N
gtemp=dx dy dy dz N