Cele, zakres i struktura pracy

W tytule zawarty jest ogólny cel pracy: określenie właściwości mechanicznych nanostruk-tur. Przegląd wskazanych we wstępie źródeł oraz analiza dostępnych możliwości badawczych pozwoliły zawęzić cele badawcze do nanorurek i nanoprętów, a metody badawcze do symulacji numerycznych.

Celem pracy w odniesieniu do jednościennych nanorurek węglowych było zbadanie wpływu chiralności na ich właściwości mechaniczne. Opublikowane badania obejmowały

zawsze obydwa rodzaje rurek achiralnych i niekiedy kilka rurek o przypadkowo wybranej chiralności. W programie badań umieszczono wszystkie rurki o chiralności od (0,5) do (20,20), o długości 170˚A każda.

Realizacja celu obejmowała następujące zadania:

– wybór potencjału

– określenie modułu Younga dla nanorurek chiralnych i achiralnych, poczynając od średnicy 5˚A, aż do zaniku wpływu średnicy na wartość modułu;

– określenie modułu Kirchhoffa w zakresie takim, jak dla modułu Younga;

– określenie współczynnika Poissona w badanym zakresie;

– zbadanie odmienności zachowania nanorurek przy rozciąganiu i ściskaniu w zakresie sprężystym;

Drugą grupę nanostruktur objętych programem badań stanowiły nanopręty metalowe. Jako cele pracy w odniesieniu do nanoprętów postawiono systematyczne przebadanie zachowa-nia się nanoprętów monokrystalicznych pod wpływem rozciągazachowa-nia i ściskazachowa-nia dla różnych kierunków krystalograficznych.

Realizacja celu obejmowała następujące zadania:

– wybór struktury i kierunków krystalograficznych;

– wybór potencjału i pierwiastków;

– określenie modułu Younga dla ściskania i rozciągania;

– określenie modułu Kirchhoffa w zakresie takim jak dla modułu Younga;

– określenie współczynnika Poissona w badanym zakresie;

Do zrealizowania tak postawionych celów poznawczych potrzebne były odpowiednie narzę-dzia. Celem pracy, wynikającym z tej potrzeby, było stworzenie narzędzia, które pozwoli zrealizować powyższe zadania.

Realizacja tego celu obejmowała następujące zadania:

– wybór sposobu modelowania oddziaływań międzyatomowych;

– wybór sposobu modelowania struktury krystalograficznej;

– stworzenie zasadniczego programu symulacyjnego;

– stworzenie programów towarzyszących, do przetwarzania i wizualizacji wyników.

Struktura niniejszej pracy przedstawia się następująco.

W rozdziale 2 przedstawiano opis właściwości mechanicznych za pomocą teorii conti-nuum w odniesieniu do modelowania nanostruktur.

W rozdziale 3 przedstawiano model fizyczny przeprowadzanego eksperymentu nume-rycznego. Opisano sposób przygotowania próbek, określono rozmiary próbek, oraz wielość

powstających naprężeń powierzchniowych związanych z rozmiarami próbki. W rozdziale tym przedstawiano także zastosowany w przeprowadzonych eksperymentach sposób mocowania i obciążania próbek.

W rozdziale 4 przedstawiono model matematyczny zastosowany do opisu zaproponowa-nego modelu fizyczzaproponowa-nego. W szczególności opisano użyte metody obliczeniowe – dynamikę mo-lekularną, wykorzystane modele oddziaływań międzyatomowych, stworzone do opisu zmian geometrii próbek – metryki strukturalne oraz zastosowane algorytmy numeryczne.

W rozdziale 5 opisano stworzony w ramach niniejszej pracy autorski program nanoMD oraz zestaw programów do służących do przygotowania danych wejściowych i programów do obróbki wyników przeprowadzonych symulacji komputerowych.

W rozdziale 6 przedstawiono sposób wyznaczania wartości opisujących właściwości mechaniczne nanostruktur z wyników przeprowadzonych symulacji komputerowych wraz z oszacowaniem niepewności wyznaczanych wartości.

Analizę wyników symulacji dotyczących jednościennych nanorurek węglowych przedsta-wiono w rozdziale 7. W szczególności opisano wyznaczone moduł Younga, współczynnik Poissona, moduł Kirchhoffa oraz określono granicę plastyczności.

Analizę wyników otrzymanych z symulacji monokrystalicznych nanoprętów metalowych zbudowanych z pierwiastków: Ni, Cu, Au i Pt przedstawiono w rozdziale 8. Opisano wyznaczone moduł Younga, współczynnik Poissona, moduł Kirchhoffa oraz określono granicę plastyczności i defekty strukturalne pojawiające się po jej przekroczeniu.

Rozdział 9 zawiera podsumowanie uwagi końcowe i kierunki dalszych badań.

W pierwszych dwóch dodatkach umieszczono wyznaczone wartości właściwości mecha-nicznych oraz parametry wykorzystanych w symulacjach próbek. W dodatku 3 przedstawiono analizę wpływu asymetrii modułu Younga na krzywiznę ugięcia. W dodatku 4 zamieszczono

„Podręcznik użytkownika” do autorskiego programu nanoMD , natomiast w dodatku 5 za-mieszczono opis wybranych programów do obróbki danych stworzonych w ramach niniejszej pracy.

Jednym z typów właściwości fizycznych ciał są właściwości mechaniczne, które charak-teryzują ich zachowanie pod wpływem przyłożonego obciążenia – zmiany kształtu, struktury lub ciągłości i określane są przez moduł Younga, granicę sprężystości, granicę wytrzymałości na zrywanie, moduł Kirchhoffa, granicę wytrzymałości na skręcanie, moduł Poissona, wy-trzymałość zmęczeniową, kruchość, ciągliwość, twardość. Wartości tych wielkości zależą od materiału, prędkości obciążania, temperatury, czasu, historii, obecności defektów, itd. W ma-teriałach anizotropowych na te wartości wpływa również usytuowanie kierunku działania siły względem płaszczyzn krystalicznych. W materiałach polikrystalicznych istnieje związek po-między tymi wartościami a wielkością ziaren i sposobem ich ułożenia. Ze względu na ciągle zbyt małą moc obliczeniową współczesnych komputerów, określenie właściwości mechanicz-nych ciał polikrystaliczmechanicz-nych jest możliwe jedynie jako wynik serii badań laboratoryjmechanicz-nych, natomiast dla monokryształów możliwe jest wyznaczenie ich w drodze symulacji numerycz-nych i odnosimy je wówczas do struktury idealnej.

Rozwój inżynierii materiałowej, idący między innymi w kierunku wytwarzania materia-łów o założonych z góry właściwościach powoduje, że konieczne jest uprzednie teoretyczne badanie właściwości materiału, a dopiero potem jego wytwarzanie. Przykładów dostarcza rozwój techniki komputerowej, gdzie postęp w miniaturyzacji elementów poprzedzają osią-gnięcia i badania teoretyczne. Również wyznaczenie właściwości mechanicznych materiału na drodze teoretycznej, przez powiązanie ich z budową atomową, z każdym rokiem zyskuje nowe rozwiązania. Opisany i wykorzystany w prezentowanej pracy autorski program nanoMD wpisuje się w ten nurt.

2.1. Sprężystość – opis odkształceń i naprężeń

Przyłożenie sił powoduje zmianę kształtu, wyrażającą się w zmianie odległości pomię-dzy obserwowanymi punktami ciała oraz kątów pomiępomię-dzy łączącymi je liniami. Odwracalne zmiany kształtu nazywamy odkształceniami sprężystymi. Obciążanie może się odbywać po-przez siły skupione, siły powierzchniowe lub masowe (objętościowe). Energia odkształcenia, powodująca zmiany kształtu w skali makro, zmienia energię wiązań międzyatomowych przez

14

zmianę odległości i kątów między atomami. Do lokalnego opisu stanu ośrodka ciągłego wy-korzystuje się pojęcia naprężenia oraz odkształcenia liniowego (wydłużenia) i odkształcenia kątowego. Do ujednolicenia nazw, oznaczeń, określeń i definicji związanych ze stanem od-kształceń i naprężeń wykorzystano notację przyjętą w wykładzie Bonneta [37], w którym istotne dla naszych analiz wielkości ujęto w układzie współrzędnych prostokątnych, pomija-jąc uogólnienia na układ współrzędnych krzywoliniowych.

p

q₁ q₂ dxq₂

dxq₁

P

Q₂

Q₁

X_P

x_p

dXQ₁

dXQ₂

X₁,x₁

'

X₃,x₃

X₂,x₂

Rysunek 2.1. Zmiany położenia bliskich punktów przed i po odkształceniu

2.1.1. Odkształcenia

We wszystkich podanych poniżej definicjach i określeniach przyjęto, że wielkie litery odnoszą się do konfiguracji początkowej - niezdeformowanego układu odniesienia, a małe litery odnoszą się do konfiguracji odkształconej. Wszystkie zależności będą odnoszone do prostokątnego układu współrzędnych (x1,x2,x3) - rysunek 2.1. W ciele wyróżniamy punkt P oraz znajdujące się w jego bliskim otoczeniu punkty Q1 i Q2. Nowe położenie punktów, po zmianie spowodowanej deformacją ciała, opisuje funkcja Φ:

x= Φ(X ), (2.1)

można więc zapisać:

x_p= Φ(XP), (2.2)

x_q1= Φ(X_Q1), (2.3)

x_q2= Φ(X_Q2). (2.4)

Zmiany względnego położenia punktów P , Q1 i Q2 opisują zależności:

dX1 = X_Q1−XP, dX2 = X_Q2−XP, (2.5) dx1 = x_q1−xp= Φ(X_P+dX1)−Φ(XP), (2.6) dx2 = xq2−xp= Φ(XP+dX2)−Φ(X^P). (2.7) Wykorzystując tensor gradientu deformacji:

F= ∂x

∂X = ▽Φ(X ), (2.8)

można przyrosty x wyrazić jako funkcję X :

dx₁= F dX1, (2.9)

dx₂= F dX2. (2.10)

Tensor gradientu deformacji jest tensorem o walencji dwa i umożliwia opis odkształcenia elementu, za wyjątkiem sztywnego obrotu. Powyższe zależności pozwalają wprowadzić pięć różnych miar odkształcenia:

1. tensor deformacji Cauchy-Greena (prawy) G:

dx₁·dx2= dX₁·GdX2, (2.11)

gdzie G wyraża się wzorem:

G= F^TF; (2.12)

2. tensor deformacji Cauchy-Greena (lewy) lub tensor Fingera b:

dX1·dX²= dx1·b⁻¹dx2, (2.13) gdzie b przyjmuje postać:

b= FF^T; (2.14)

3. tensor deformacji Greena-Lagrange’a (Greena-Saint-Venanta) E:

1

2(dx₁dx₂−dX1dX₂) = dX₁·EdX2, (2.15) gdzie:

E=1

2(G −I ); (2.16)

4. tensor deformacji Almansiego e:

1

2(dx1dx₂−dX1dX₂) = dx1·edx2, (2.17) gdzie:

e=1

2(I −b⁻¹). (2.18)

Pomiędzy elementami objętości przed i po transformacji zachodzi związek:

dv = JdV, (2.19)

gdzie J = detF – jakobian tensora gradientu deformacji.

Jeżeli składowe tensora odkształceń wyrazimy przez składowe tensora przemieszczeń u = x−X i pominiemy człony nieliniowe, to otrzymamy:

E_ij=1

wówczas wybór układu odniesienia, zdeformowanego lub niezdeformowanego, nie wpływa na wynik i otrzymujemy

5. infinitenzymalny tensor odkształceń Cauchy’ego ε wyrażony przez przesunięcia:

ε_ij=1

Oprócz opisu tensorowego, (2.12) do (2.18), lub zapisu we współrzędnych, (2.20) do (2.23), znane jest rozwiązanie zaproponowane przez Hilla, w którym przyjmując jako miarę wydłużenia stosunek długości odkształconego elementu do jego długości początkowej, ζ = l/l0, rozwijając funkcję ε = f(ζ) w szereg Taylora w otoczeniu punktu ζ = 1 otrzymuje się:

f (ζ) = f (1) +ζ −1

1! f^′(1)+(ζ −1)²

2! f^′′(1)+··· (2.24)

Uwzględniając to, że f(1) = 0, f(1) = 1, f(ζ) jest funkcją monotonicznie rosnącą, a ζ jest małe w porównaniu z jednością, w pierwszych członach rozwinięcia wyróżnia się składnik:

ε(n) =ζ²ⁿ−1

2n , (2.25)

z którego otrzymuje się dla różnych wartości n:

dla n=-1 ε =^ζ−2₋₂⁻¹=¹₂^l2−l_l2²⁰,

Wydłużenie właściwe logarytmiczne można również otrzymać z ogólnej definicji wydłużenia:

ε =

z którego po rozwinięciu w szereg otrzymujemy:

ε = ln

Odrzucając człony nieliniowe otrzymujemy infinitenzymalny tensor Cauchy’ego:

ε =∆l l0

. (2.28)

W niniejszej pracy wykorzystano pełną postać wydłużenia właściwego logarytmicznego, ponieważ dla nanostruktur możliwe są duże odkształcenia, kiedy nie jest spełniony warunek

∆l ≪ l⁰.

2.1.2. Naprężenia

Siły wewnętrzne wyraża wektor naprężenia, definiowany w układzie ciała odkształconego jako:

t(n) = lim

∆a→0

∆p

∆a, (2.29)

gdzie n jest wersorem normalnym do elementu powierzchni ∆a. W układzie współrzędnych wyznaczonym wersorami (e1,e2,e3) możemy wyznaczyć składowe tensora naprężeń [σ_ij], gdzie i jest kierunkiem normalnym do powierzchni, a j - kierunkiem rzutowania siły przyłożonej do tej powierzchni.

Dla dowolnej powierzchni określonej wersorem n zachodzi związek:

t(n) = σn, (2.30)

gdzie tensor naprężeń Cauchy’ego:

σ=

3

X

i,j=1

σ_ije_i⊗ej (2.31)

określa stan naprężeń odniesiony do konfiguracji odkształconej (⊗ – symbol iloczynu dia-dycznego).

Stan naprężeń w konfiguracji początkowej opisują tensory Pioli-Kirchhoffa. Ponieważ element powierzchni dA w układzie nieodkształconym przekształca się w da w układzie odkształconym, to siłę dp działającą na element da = nda możemy zapisać jako:

dp = tda = σda. (2.32)

Ponieważ da = JF^−TdA, więc:

dp = JσF^−TdA = K1dA. (2.33)

Pierwszy tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa:

K₁= JσF^−T (2.34)

nazywany jest też tensorem naprężeń Lagrange’a.

Wprowadza się również symetryczny tensor naprężeń w układzie nieodkształconym -drugi tensor Pioli-Kirchhoffa K2:

K₂= F⁻¹K₁, (2.35)

K₂= JF⁻¹σF^−T. (2.36)

Tensor naprężeń σ można wyrazić się przez tensory Pioli-Kirchhoffa:

σ= J⁻¹K1F^−T, (2.37)

σ= J⁻¹FK2F^T. (2.38)

Tensory Pioli-Kirchhoffa łączą w sobie pole odkształceń z polem naprężeń i są wyko-rzystywane do analizy zależności pomiędzy tymi polami, w tym również do analizy równań

konstytutywnych, p. rozdz. 2.3. W zależności od wielkości odkształceń oraz od przedmiotu analizy stosowane są różne miary deformacji i różne sposoby ich zapisu.

2.2. Równania konstytutywne

Powiązanie pola naprężeń z polem odkształceń następuje poprzez równania konstytu-tywne. Historycznie pierwszym takim równaniem było prawo Hooka w postaci:

∆l = Y F l

A. (2.39)

Energia właściwa odkształcenia sprężystego dla tego przypadku ma postać:

Λ =L_e V =1

2 F ∆l

Al =1

2σε, (2.40)

gdzie:

L_e – praca odkształcenia sprężystego,

A – powierzchnia przekroju rozciąganego elementu, F – przyłożona siła rozciągająca,

l – długość początkowa,

∆l – przyrost długości.

W zapisie tensorowym dla przypadku ogólnego prawo Hooka przybiera postać:

K2= C_GE, (2.41)

gdzie:

K₂ – tensor naprężeń - drugi tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa, E – tensor deformacji Greena,

C_G – tensor sztywności.

Pomiędzy energią właściwą odkształcenia sprężystego W , a tensorem sztywności zachodzi związek:

C_G= ∂² W

∂E ∂E. (2.42)

W klasycznej teorii sprężystości przyjmuje się izotermiczny przebieg procesu odkształcenia, a praca własna odkształcenia równa się przyrostowi energii potencjalnej sił sprężystości.

Ponadto w przybliżeniu liniowym, dla małych odkształceń, ∆l ≪ l, odrzucamy wszystkie wyrazy wyższego rzędu niż pierwszy, a wówczas prawo Hooka sprowadza się do postaci:

σ= C ε, (2.43)

gdzie:

σ – tensor naprężeń Cauchy’ego,

ε– infinitenzymalny tensor naprężeń Lagrange’a,

C – tensor sztywności odniesiony do infinitenzymalnego tensora naprężeń:

C=∂² W

∂ε∂ε. (2.44)

W dalszym ciągu będzie wykorzystywana ta właśnie forma prawa Hooka, gdyż umoż-liwia częściowe uproszczenie zapisu, bez utraty potrzebnej ogólności. Obecnie najczęściej stosowane sposoby zapisu to zapis tensorowy oraz zapis w składowych z wykorzystaniem umowy sumacyjnej. Obydwa sposoby pozwalają na zwartą postać zapisu i są wykorzysty-wane w rozważaniach ogólnych. Zastosowania wymagają rozpisania tych wzorów w formie rozwiniętej. Złożoność wzorów spowodowała powstanie wielu różnych uproszczeń i specjal-nych sposobów zapisu. Podobnie jak w poprzednim paragrafie, zebrano poniżej potrzebne definicje, wzory i określenia dla ujednolicenia zapisów i nazw.

W ustalonym ortonormalnym układzie współrzędnych x_i (i = 1,2,3) możemy zapisać relacje pomiędzy naprężeniami i odkształceniami jako:

σ_ij= c_ijklε_kl, (2.45)

gdzie c_ijkl - składowe tensora sztywności sprężystej materiału spełniające równanie:

c_ijkl= ∂² W

∂ε_ij∂ε_kl, (2.46)

gdzie ε_ij - składowe tensora odkształceń (2.23).

Wyrażając odkształcenia przez naprężenia, z równania (2.45) otrzymujemy:

ε_ij= sijklσ_kl, (2.47)

gdzie s_ijkl - składowe tensora podatności sprężystej.

Wszystkie omawiane tensory są tensorami symetrycznymi, co zmniejsza liczbę niezależ-nych składowych. Pomiędzy składowymi tensora podatności sprężystej istnieje wiele związ-ków, wynikających z symetrii struktur, do których się odnoszą. W przypadku ciała izotro-powego tensor podatności sprężystej ma jedynie dwie niezależne składowe.

Symetria tensorów naprężeń i odkształceń powoduje zmniejszenie liczby niezależnych składowych do sześciu, a to umożliwia uproszczenie zapisu. Najczęściej stosowany jest uprosz-czony jednowskaźnikowy sposób zapisu zaproponowany przez Voighta: ε11 → ε¹,...ε23 → ε4,... i podobnie dla σ_ij. Wspomniana redukcja liczby niezależnych składowych tensorów podatności i sztywności sprężystej umożliwia zapisanie ich w postaci macierzy 6×6, z zasto-sowaniem identycznych zamian wskaźników przy przechodzeniu z jednego sposobu zapisu na drugi: s1111→ s¹¹...s2323→ s⁴⁴... według zasady zamiany wskaźników:

11 → 1; 22 → 2; 33 → 3; 23 = 32 → 4; 13 = 31 → 5; 12 = 21 → 6. (2.48)

Zapisanie tych zależności w postaci macierzowej jest w wielu zastosowaniach wygodniejsze i czytelniejsze od zapisu wyłącznie wskaźnikowego. Należy jednak pamiętać, że nie są to tensory i przechodząc do innego układu odniesienia należy powrócić do zapisu tensorowego.

Związki istniejące pomiędzy elementami macierzy odkształceń: ε_m= ε_ij dla i = j oraz ε_m= 2ε_ij dla i 6= j, powodują, że w zapisie εi= s_ijσ_j, macierz [s_ij] wyraża się przez elementy

4s2323 4s2331 4s2312

4s3131 4s3112 Dla omawianych w pracy kryształów o sieci regularnej pomiędzy składowymi tensora S zachodzą związki:

lub w zapisie zredukowanym (Voighta):

s11= s22= s33, s12= s13= s23, s66= s55= s44, pozostałe s_ij= 0.

(2.50)

Ciała o strukturze krystalicznej regularnej mają jedynie trzy niezależne składowe macierzy sztywności sprężystej. W układzie współrzędnych związanym z krawędziami komórki elemen-tarnej, macierze podatności wyrażone przez stałe Y , G oraz ν, przedstawiające odpowiednio moduł Younga, moduł Kirchhoffa oraz współczynnik Poissona, mają postać:

S =

Elementy macierzy sztywności sprężystej C wyrażają się przez elementy macierzy podatności związkami:

W ciałach izotropowych dodatkowo zachodzi związek:

s44= s55= s66= 2(s11−s¹²), (2.53) dający zależność pomiędzy stałymi Y , ν i G postaci:

G = Y

2(1+ν). (2.54)

Dla kierunków krystalograficznych h001i moduł Younga ma tę samą wartość dla każ-dego z kierunków leżących w płaszczyźnie podstawowej i wyznaczamy ją w warunkach jedno-osiowego, jednorodnego stanu naprężeń. Wyrażając moduł Younga przez elementy macierzy podatności sprężystej s_ij otrzymujemy dla badanych kierunków krystalograficznych poniższe wzory [38]:

– dla kierunków h001i:

Y⁽⁰⁰¹⁾= 1 s11

, (2.55)

– dla kierunków h011i:

Y⁽⁰¹¹⁾= 4

2s11+2s12+s44

, (2.56)

– dla kierunków h111i:

Y⁽¹¹¹⁾= 3

s11+2s12+s44

. (2.57)

Wyznaczania stałych materiałowych na drodze teoretycznej początkowo nie miało na celu zastosowań praktycznych, a jedynie sprawdzenie poprawności analizowanego modelu oddziaływań międzyatomowych. Dzisiaj, gdy możliwości badawcze i techniczne pozwalają na wytwarzanie materiałów o ustalonych wcześniej właściwościach, ma ono również cel prak-tyczny. Nie zmienia to faktu, że większość wykorzystywanych w technice materiałów to metale polikrystaliczne, a dla nich, z powodu dużej ilości zmiennych powiązanych w sposób nieli-niowy, jedyną możliwością wyznaczenia stałych materiałowych jest sposób eksperymentalny.

2.3. Nanostruktury jako ośrodek ciągły

Od momentu sformułowania teorii atomowej budowy materii podejmowano wiele prób wyjaśnienia sposobu, w jaki siły międzyatomowe przekładają się na właściwości ciała stałego oraz w jaki sposób obciążenie zewnętrzne wpływa na siły wewnętrzne i na położenie atomów.

Pierwsze prace dotyczące tych zagadnień, to prace Fresnela (1820) i Naviera (1821). Przed-stawione w nich sposoby rozwiązania nie przyczyniły się do dalszego rozwoju nauki. Ale już w 1822 r. Cauchy publikuje pracę, w której do opisu odkształcenia ciała stałego wykorzy-stuje tensory i wprowadza równania konstytutywne. Opis Cauchy’ego obejmował niewielki wycinek tego, co stanowi obecnie przedmiot zainteresowania mechaniki ośrodków ciągłych i posługiwał się tylko jednym równaniem konstytutywnym. Publikacja ta zapoczątkowała

jednak metodę opisu ośrodka ciągłego stosowaną i rozwijaną do naszych czasów. Cauchy sformułował wówczas tezę, że ruch atomów jest zgodny z ogólną deformacją ośrodka. Temat ten podejmowali również na przełomie XIX i XX w. Voight i Poincar´e. W drugiej połowie XX w. badania substancji tworzących struktury krystaliczne dotyczyły głównie właściwości ciał polikrystalicznych, powstawania i rozwoju dyslokacji, właściwości warstwy powierzchnio-wej i przebudowy struktury krystalicznej. Na postęp prac dotyczących nanostruktur wpły-nął wzrost możliwości badawczych i pomiarowych. Rozwój nanotechnologii oraz badania nad fullerenami i nanorurkami wpłynęły na intensyfikację badań dążących do połączenia opisu świata atomów z opisem ośrodka ciągłego, na wyjaśnienie związku pomiędzy tym, co się dzieje w skali makro, a tym, co zachodzi na poziomie atomowym.

2.3.1. Hipoteza Cauchy-Borna

Wspomniana wcześniej hipoteza Cauchy’ego mówi ogólnie o zgodności odkształcenia lokalnego z odkształceniem całkowitym. W 1919 roku Born zawęża zagadnienie do ciał kry-stalicznych, formułując hipotezę o odwzorowaniu odkształcenia ciała jako ośrodka ciągłego na deformację elementarnych komórek krystalicznych, a w roku 1954 wraz z Huangiem nadają tej teorii formę uogólnienia matematycznego. Hipoteza ta zakłada wspomniane odwzoro-wanie odkształcenia globalnego na odkształcenie lokalne oraz równość energii odkształcenia sprężystego i zmiany energii wiązań atomowych. Odkształcenie lokalne odnosi się do defor-macji komórki elementarnej Bravaisa, do ruchu jej krawędzi, a więc atomów w narożach lub na krawędziach komórki. Ruch atomów sieci krystalicznej związanych ze ścianami (fcc) lub z wnętrzem komórki (bcc) wynika z ruchu krawędzi komórki. Przyjęło się nazywać ją hipotezą (lub prawem) Cauchy-Borna. Pięćdziesiąt lat po jej sformułowaniu zauważono przydatność tej hipotezy przy badaniach nanostruktur metodami dynamiki molekularnej, najlepiej spraw-dzającej się metody symulacji nanostruktur. Hipoteza Cauchy-Borna jest wykorzystywana jako uzasadnienie bezpośredniego przejścia od energii oddziaływań międzyatomowych do energii odkształcenia sprężystego.

Nanostrukturze złożonej z M atomów przypisujemy energię Uc zgromadzoną w wiązaniach atomowych:

U_c= U(x1,x2,x3,...,x_M), (2.58) gdzie x_k jest wektorem wodzącym atomu k. Jeżeli V (R_ij;R_jk,k 6= i,j) jest potencjałem sił, który jest zarazem energią wiązania, pomiędzy atomami i oraz j, a ponadto zależy od długości

pozostałych wiązań, to całkowitą energię potencjalną rozpatrywanej nanostruktury możemy zapisać jako:

U_c=

M

X

i<j

V (R_ij;R_jk,k 6= i,j). (2.59) Wektor r_ij, będący obrazem wiązania pomiędzy atomami i oraz j przed odkształceniem nanostruktury, po odkształceniu przechodzi w wektor:

R_ij= Fr_ij, (2.60)

gdzie F jest tensorem gradientu deformacji (2.8).

Powyższa zależność jest silnym ograniczeniem dla możliwości stosowania hipotezy Cauchy-Borna, ponieważ dla ośrodka ciągłego jest to zależność różniczkowa:

dx = F dX (2.61)

i jedynymi jej ograniczeniami są ciągłość i istnienie pierwszej pochodnej, natomiast w ukła-dzie dyskretnym zależność (2.60) jest słuszna jedynie wówczas, gdy gradient deformacji jest stały.

Wyrażając długość wektora R_ij w postaci zależnej od tensora odkształceń Greena (2.11):

R_ij= pR_ij·Rij= r_ijpI+2N_ijE·Nij, (2.62) gdzie:

r_ij= √r_ij·rij, N_ij= r_ij/r_ij,

można wyrazić potencjał V jako zależny od tensora odkształceń Greena E:

V (E ) = V [R_ij(E);R_jk(E),k 6= i,j]. (2.63) Korzystając z hipotezy Cauchy-Borna można gęstość energii odkształcenia sprężystego dla ośrodka ciągłego wyrazić przez gęstość energii wiązań atomowych:

W (E ) =1 2

P

1≤i≤nV (R_ij(E);R_jk(E),k 6= i,j)

Ω , (2.64)

gdzie:

Ω – średnia objętość przypadająca na jeden atom, n – liczba atomów jakie tworzą wiązanie z atomem i.

W wyniku otrzymujemy średnią energię potencjalną na atom.

Pochodna energii odkształcenia daje w wyniku drugi tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa K2: K₂=∂W

∂E. (2.65)

Pochodna drugiego tensora naprężeń Pioli Kirchhoffa daje tensor sprężystości:

C= ∂² W

∂E ∂E. (2.66)

Dla E = 0 otrzymujemy dla przybliżenia liniowego tensor sprężystości czwartego rzędu.

W tym przypadku zachodzą następujące zależności między stanem odkształcenia i naprę-żenia:

σ_ij= c_ijklε_kl. (2.67)

Hipoteza Cauchy-Borna i wynikające z niej, przedstawione powyżej, zależności, odnoszą się do monokryształów zbudowanych z komórek centrosymetrycznych, oddalonych od po-wierzchni na tyle, że jej wpływ może być pominięty. Ponieważ badania nanostruktur objęły

Hipoteza Cauchy-Borna i wynikające z niej, przedstawione powyżej, zależności, odnoszą się do monokryształów zbudowanych z komórek centrosymetrycznych, oddalonych od po-wierzchni na tyle, że jej wpływ może być pominięty. Ponieważ badania nanostruktur objęły

W dokumencie Właściwości mechaniczne wybranych nanostruktur (Stron 14-0)