Optymalizacja programu nanoMD

Możliwości obliczeniowe posiadanego sprzętu oraz założone terminy wykonania wymu-szają przyjęcie odpowiedniej strategii realizacyjnej. Podstawowym elementem takiej strategii jest ustalenie pożądanej dokładności wyników. Następnym elementem strategii jest mak-symalizacja szybkości obliczeń. Pozostałe elementy, jak wygoda użytkowania, elastyczność, uniwersalność itd. maja znaczenie drugorzędne w porównaniu z pierwszymi dwoma.

Dokładność obliczeń wynika głównie z dobranych parametrów symulacji takich, jak długość kroku czasowego całkowania równań ruchu, czy też promień odcięcia potencjału.

Promień odcięcia dla nanorurek wynika z postaci samego potencjału i wynosi 2˚A dla oddziaływań wiążących i 7˚A dla niewiążących. Dla nanoprętów metalicznych należało uwzględnić znacznie większe sąsiedztwo otaczających atomów. Dla wszystkich próbek został ustalony promień odcięcia równy czterem stałym sieciowym budulca. Dla sieci fcc otoczenie to zwiera około 900 atomów.

Szybkość obliczeń rozumiana w sensie liczby obliczonych kroków symulacji w czasie można zwiększyć stosując odpowiednie metody i algorytmy numeryczne lub odpowiednio zaplanowanie zadań.

Z uwagi na różnice wielkości i złożoności numerycznej obliczeń, przeprowadzane ekspe-rymenty podzielono na dwie grupy. Jedną stanowiły nanorurki węglowe – 432 obiekty złożone z 700 do 7000 atomów. Pomimo rozbudowanego i złożonego modelu oddziaływań dla węgla, kowalentny charakter wiązania i mała liczba sąsiednich atomów uwzględnianych przy wyli-czaniu energii i sił powodują, że nie są to obliczenia czasochłonne. Zrównoleglenie obliczeń dla tak mało intensywnych obliczeniowo układów nie jest zazwyczaj opłacalne. Dla tej grupy eksperymentów odpowiednim podejściem do optymalizacji jest zrównoleglenie pracy nad ca-łym zadaniem (wszystkimi obiektami na raz). Plan wykonywania obliczeń i przygotowanie danych wejściowych zostały wykonane tak, aby można było uruchamiać wszystkie obliczenia i analizę wyników na raz – optymalnie wykorzystując dostępne zasoby.

Drugą grupę stanowią nanopręty metaliczne – 72 obiekty zawierające od 1500 do 64000 atomów. Wykorzystany model oddziaływania dla metali jest prosty matematycznie, lecz z uwagi na charakter wiązań metalicznych zachodzi potrzeba uwzględnienia do 800 sąsied-nich atomów. Bardzo duże układy, dużą złożoność numeryczna obliczeń i mała, w porówna-niu z nanorurkami węglowymi, liczba obiektów zaplanowanych do przebadania, wymagały

zmiany strategii optymalizacji obliczeń i skupienia się na pojedynczych obiektach. Dobre zrównoleglenie programu umożliwiło prowadzenie obliczeń, dla największych obiektów, na 100 procesorach jednocześnie. Z powodu czasu niezbędnego do komunikacji między proce-sami zrównoleglenie obliczeń ma sens jedynie dla większych nanostruktur, złożonych z więcej niż 1000 atomów.

Przy obliczeniach równoległych istotne są dwie miary odnoszące się do liczby wykorzy-stanych procesorów. Podstawową miarą jest przyspieszenie definiowane jako stosunek czasu potrzebnego na wykonanie obliczeń na jednym procesor do czasu obliczeń na wielu proce-sorach. Wynik badań dla programu nanoMD przedstawia wykres 5.2. Jak można zauważyć, nie opłaca się wykorzystywać więcej niż 100 procesorów.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 20 40 60 80 100 120 140 160

przyspieszenie obliczeń

liczba procesorów

Rysunek 5.2. Zależność przyspieszenia obliczeń od liczby procesorów.

Drugą miarą jest efektywność zrównoleglenia. Definiowana jest jako stosunek przyspie-szenia do liczby wykorzystanych procesorów. Dla idealnego przypadku efektywność wynosi 1.

Wyniki badań dla programu nanoMD przedstawiono na wykresie 5.3

Dla 100 procesorów efektywność zrównoleglenia wynosi zaledwie 50%, lecz z uwagi na liczbę dostępnych procesorów i skrócenie czasu obliczeń, uruchamianie programu na takiej liczbie procesorów daje oszczędność czasu.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

0 20 40 60 80 100 120 140 160

efektywność zrównoleglenia obliczeń

liczba procesorów

Rysunek 5.3. Wpływ liczby procesorów na efektywność zrównoleglenia.

numerycznych

Podczas symulacji wielkości fizyczne są bardzo gęsto próbkowane (wartości chwilowe), a wartości makroskopowe właściwości mechanicznych wynikają z uśrednienia w określonym przedziale czasu. Dla ich wyznaczenia wymagane jest uśrednianie mierzonych wartości w określonych odcinkach czasu lub w dostatecznie dużym obszarze.

6.1. Wyznaczanie modułu Younga

Podstawową wielkością charakteryzującą właściwości mechaniczne materiału w zakresie odkształceń sprężystych jest moduł Younga Y , określający podatność materiału na zmianę odległości międzyatomowych pod wpływem przyłożonego obciążenia.

Każde odkształcenie badanej próbki wiąże się ze zmianami odległości międzyatomowych, zarówno podczas rozciągania, gdy zmieniają się długości boków komórek elementarnych, jak i podczas ścinania, gdy długości boków komórki nie zmieniają się, lecz zmieniają się długości przekątnych. Zależność modułu ścinania od modułu Younga jest bezpośrednio widoczna dla ciał izotropowych, (2.54).

Moduł Younga oraz granicę plastyczności wyznaczano z przebiegu rozciągania i ściska-nia próbki. Próbki wycięte z idealnego kryształu wzdłuż odpowiednich płaszczyzn krysta-lograficznych poddawano relaksacji, w czasie której atomy w warstwach powierzchniowych przybierały nowe położenie wynikające z minimum energetycznego. Rozciągając i ściskając tak przygotowane próbki wyznaczono moduł Younga.

Obciążanie próbek odbywało się przez nadanie końcom próbki (uchwytom) stałej pręd-kości o kierunku równoległym do osi pręta. Stała prędkość uchwytów daje w wyniku stałą prędkość odkształcania, co jest równoznaczne z siłą narastającą ze stałą prędkością. Ob-ciążając próbkę w taki sposób nie wprowadza się obciążenia udarowego, prowadzącego do niepożądanych skutków, jak drgania lub pękanie. Bliższe omówienie mocowania i obciążania zawiera rozdział 3.3.

64

Do opisu właściwości mechanicznych ciał krystalicznych zbudowanych z komórek regu-larnych, centrowanych na ściankach lub centralnie, należy wyznaczyć trzy niezależne stałe materiałowe, na przykład moduł Younga, moduł Kirchhoffa i współczynnik Poissona.

Metody pomiarowe służące badaniu właściwości mechanicznych nanoprętów są iden-tyczne jak dla nanorurek - drgania swobodne [88], ugięcie pręta zamocowanego jednostronnie lub dwustronnie [89, 90]. Znane metody wytwarzania nanoprętów nie pozwalają na otrzy-mywanie nanoprętów o zadanych parametrach [88, 89, 91, 92]. Trudności te spowodowały, że przeważają prace, w których badanie odbywa się przy pomocy eksperymentów numerycznych [93–96, 78].

Najprostszą postacią zależności pomiędzy odkształceniami a naprężeniami jest prawo Hooka dla jednorodnego, jednoosiowego pola naprężeń:

σ_x= Y ε_x, (6.1)

gdzie σ – naprężenie, ε – wydłużenie. Ten właśnie sposób wyznaczania modułu Younga Y został przyjęty w pracy: z przebiegu rozciągania i ściskania próbki wyznaczano moduł Younga oraz granicę plastyczności. Symulacje prowadzono aż do momentu zerwania materiału.

Szczegółową analizę wyników prowadzono do momentu pojawienia się dyslokacji i spadku energii właściwej próbki.

Moduł Younga można wyznaczyć korzystając bezpośrednio z jego definicji, mierząc podczas obciążania naprężenia powstające w próbce,

Y =σ

ε, (6.2)

definiując naprężenie jako

σ =F_k

A , (6.3)

gdzie F_k – siła reakcji próbki mierzona na uchwycie, A – powierzchnia przekroju uchwytu.

Dla zakresu w którym zjawisko jest liniowe, w celu porównania z makroskopowymi odpo-wiednikami modułu Younga, należy dopasować parametry prostej do wyników eksperymentu:

σ(ε) = Y ε (6.4)

tak jak przedstawiono to na rysunku 6.1. Wyznaczony w ten sposób został moduł Younga dla ściskania próbki (Y_sci) oraz dla rozciągania (Y_roz).

Drugim sposobem wyznaczenia wartości modułu Younga jest użycie zależności energii wewnętrznej E od odkształcania:

Y = 1 V0

∂²E

∂ε². (6.5)

W metodzie tej wyznaczany jest moduł Younga z zależność całkowitej energii wewnętrznej układu od odkształcenia E(ε). Metoda ta jest jednak obarczona błędem powodowanym przez

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

naprężenie σ

odkształcenie ε σ(ε) zmierzone

σ(ε)=Y_rozε σ(ε)=Y_sciε

Rysunek 6.1. Wyznaczanie modułu Younga z zależności σ(ε).

wpływ uchwytów manipulujących. Nie mniej z uwagi na gładki przebieg zależności E(ε) jest często stosowana do wyznaczania modułu Younga.

6.2. Wyznaczanie współczynnika Poissona

Współczynnik Poissona, ν, charakteryzuje przewężenie w kierunku prostopadłym do kierunku rozciągania i dla ciał izotropowych oraz dla nanorurek ma miejsce związek:

ν = −ε_y ε_z = −ε_x

ε_z, (6.6)

gdzie: ε_z - wydłużenie w kierunku działania siły, ε_x, ε_y - wydłużenie w kierunkach prostopa-dłych do kierunku działania siły,

W ciałach anizotropowych ma miejsce zależność współczynnika Poissona od kierunków krystalograficznych [97, 38, 98, 99]. W kryształach fcc, gdy rozciąganie następuje w kierunku {110} wówczas εx6= εy. W tym przypadku wyznaczona wartość jest uśrednionym współczyn-nikiem Poissona.

We wszystkich przypadkach wartość odkształcenia poprzecznego obliczano ze zmiany uśrednionego promienia pręta R obliczonego według wzoru (4.56):

ν =ε_r

ε_z, (6.7)

gdzie:

ε_r= ln(R −R⁰ R0

) (6.8)

Przedstawiony sposób liczenia ν będzie identyczny dla pręta i dla rurki, pomimo odmienności interpretacyjnej mającej miejsce dla nanorurek, omówionej w rozdziale 7.2

Współczynnik Poissona wyznaczono korzystając bezpośrednio z jego definicji, z zależno-ści odkształcenia poprzecznego od odkształcenia wzdłużnego. W obszarze liniowej zależnozależno-ści odkształceń współczynnik Poissona równy jest wartości współczynnika nachylenia prostej.

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

odkształcenie poprzeczne εr

odkształcenie wzdłużne ε_t

ε_r zmierzone ε_r = ν_- ε_t ε_r = ν₊ ε_t

Rysunek 6.2. Wyznaczanie współczynnika Poissona z zależności ε_t(εr).

Wyznaczana w ten sposób wartość współczynnika Poissona jest zależna od zakresu liniowości przebiegu ε_t(ε_r).

6.3. Wyznaczanie modułu Kirchhoffa

Podczas skręcania pręta występuje ścinanie, bez naprężeń gnących i rozciągających. Do określenia siły z jaką materiał przeciwstawia się takiemu odkształceniu służy moduł ścinania G, nazywany również modułem Kirchhoffa. Moduł Kirchhoffa dla ciał anizotropowych określamy podając płaszczyznę wzdłuż której następuje ścinanie oraz kierunek działania siły lub momentu skręcającego.

Zgodnie z hipotezą Cauchy-Borna, odwzorowanie odkształcenia całego kryształu ma miejsce na krawędziach komórek elementarnych, natomiast przesunięcie atomów związanych ze środkami ścianek wynika z odkształcenia całej ścianki w wyniku ruchu krawędzi. W wa-runkach laboratoryjnych dla ciał masywnych moduł Kirchhoffa jest wyznaczany ze skręcania

pręta Jest to próba statyczna, podczas której możliwe jest osiągnięcie dużej dokładności pomiaru.

Podczas symulacji numerycznych wykorzystano inny sposób wyznaczenia modułu ścina-nia — z częstości drgań skrętnych pręta. Po skręceniu pręta puszczano jeden z jego końców i badano częstość powstałych drgań skrętnych. Do obliczenia modułu Kirchhoffa wykorzy-stano wzór na częstość podstawową swobodnych drgań skrętnych pręta:

f = 1 4L

s G

̺, (6.9)

z którego otrzymujemy wyrażenie na moduł Kirchhoffa:

G = 16L²f²̺. (6.10)

Doświadczenie polegało no skręceniu próbki o kąt, przy którym widoczne jest wzrost energii wewnętrznej, a następnie swobodnym puszczeniu jednego z uchwytów. Częstotliwość drgań skrętnych wyznaczana jest z okresu oscylacji energii wewnętrznej.

-3.725 -3.724 -3.723 -3.722 -3.721 -3.72 -3.719

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Energia kohezji [eV/atom]

czas [ps]

Rysunek 6.3. Wykres zmian energii wewnętrznej układu podczas drgań skrętnych.

Przykład dla pręta Au-001-7.

6.4. Walidacja i weryfikacja

Ocena poprawności i dokładności uzyskanych rezultatów w świetle tego co wiemy o sys-temie fizycznym i modelu używanym do jego opisu, jest ważnym zagadnieniem związanym ze stosowaniem symulacji komputerowych.

Wyznaczanie i kwantyfikowanie rzetelności i pewności symulacji komputerowych jest znane jako weryfikacja i walidacja (W&W). Walidacja, to wyznaczanie dokładności, z jaką dany model matematyczny opisuje modelowane zjawisko. Weryfikacja, to wyznaczanie do-kładności, z jaką dany model obliczeniowy reprezentuje model matematyczny. Walidacja od-powiada na pytanie: czy dobre równania są rozwiązywane, podczas gdy weryfikacja dotyczy odpowiedzi na pytanie czy równania są poprawnie rozwiązywane[100].

Proces W&W można podzielić na część odnoszącą się do modelu i odnoszącą się do danych. Walidacja modelu, to ocena założeń i sposobu reprezentacji problemu oraz badanie modelu w trakcie jego eksploatacji, weryfikacja zaś, to badanie poprawności implementacji.

Celem walidacji danych jest upewnienie się, że dane wykorzystane w modelu są poprawne.

W przypadku nanostruktur nie jest możliwe przeprowadzenie W&W w pełnym zakresie, wynikającym z ogólnych zasad, ponieważ dane doświadczalne są obarczone dużym błędem, na przykład w nanorurkach jest on oceniany na 50%. Porównanie z wynikami innych obliczeń, również nie zweryfikowanych fizycznie, nie jest ani walidacją, ani weryfikacją.

Na wielkość niepewności wyników otrzymanych symulacji komputerowych mają wpływ takie czynniki, jak:

– stworzony model fizyczny,

– zastosowany model matematyczny,

– dokładność zastosowanych metod numerycznych, – błąd statystyczny,

– powtarzalność symulacji.

Zastosowane do wyznaczania właściwości mechanicznych modele fizyczny i matematyczny i ich aktualność w stosunku do problemu omówiono w rozdziałach 3 oraz 4. Krok całkowania równań pozwalał na uzyskanie stabilnych rozwiązań, natomiast zastosowane potencjały wy-starczająco dobrze opisują siły międzyatomowe. Błąd statystyczny uzyskiwanych rezultatów jest wynikiem:

– niepewności pomiaru geometrii, – drgań termicznych struktury.

Drgania termiczne struktury są rzeczą naturalną i wiążą się z nimi fluktuacje mierzonych wartości sił, prędkości i pozycji atomów. Niepewność wyznaczonej wartości wynika z błędu statystycznego popełnianego przy uśrednianiu mierzonych parametrów układu lub przy dopasowaniu funkcji do przebiegu zmienności tych parametrów.

Maksymalny błąd statystyczny zaobserwowany przy wyznaczaniu modułu Younga, wynikający z dopasowania funkcji do przebiegu zmienności energii od odkształcenia, wynosi:

U (Y ) = 10%, (6.11)

natomiast dla współczynnika Poissona:

U (ν) = 6%. (6.12)

Na niepewność pomiaru geometrii oprócz drgań termicznych wpływa również odchylenie kształtu próbki od przyjętego, w badanych próbkach – cylindra. O ile długość struktury mo-żemy określić ściśle, gdyż mierzymy ją jako odległość pomiędzy niepodlegającymi drganiom termicznym uchwytom, o tyle średnica przekroju struktury nie jest taka sama w każdym kierunku, co jest widoczne na rysunku 3.4. Maksymalny błąd pomiaru promienia przekroju poprzecznego wynosi:

∆R

R = 2% (6.13)

Z uwagi na fakt, iż mierzone właściwości zależne są także od promienia, wpływ tej niepewności także należy uwzględnić:

Niepewność pomiaru ν jest odwrotnie proporcjonalna do różnicy R − R⁰, powoduje to dużą niepewność pomiaru dla małych odkształceń. Dla odkształcenia ε_t= 0.02 niepewność pomiaru ν wynosi:

Niepewność pomiaru współczynnika Kirchhoffa G związana jest z dokładnością wyzna-czenia okresu drgań skrętnych oraz wyznawyzna-czenia gęstości próbki. Okres drgań skrętnych wy-znaczany był z 8 okresów z dokładnością do 1/4 okresu. Daje to dokładność wyznaczenie okresu drgań równą 1/32, czyli ∼ 3%, dodając do tego błąd wyznaczenia gęstości związany z niepewnością określenia średnicy próbki wynoszący 4%, otrzymujemy:

∆G

G = 7% (6.17).

Powtarzalność uzyskiwanych wyników została sprawdzona porównując wyniki kilku wybra-nych symulacji różniących się prędkościami początkowymi atomów. Różnice wartości wy-znaczanych własności mechanicznych mieściły się poniżej granicy błędu. Jedyną wartością wykraczającą poza błąd statystyczny pojedynczego pomiaru jest wartość granicznego na-prężenia σ_kr i granicznego odkształcenia ε_kr nanostruktury. Rozrzut uzyskanych rezultatów wyniósł 20%:

U (ε_kr) = 20% (6.18)

i jest on spowodowany zależnością momentu powstania poślizgu od fluktuacji termicznych atomów.

W tabeli 6.1 umieszczono górne oszacowanie niepewności wyznaczanych właściwości mechanicznych nanostruktur.

Tabela 6.1. Niepewności wyznaczanych wartości opisujących właściwości mechaniczne.

parametr niepewność

Y 16%

ν 20%

ε_kr 20%

G 7%

jednościennych nanorurek węglowych

Struktura atomowa nanorurek węglowych jest dobrze znana i opisana. Współrzędne wektora chiralnego określają sposób ułożenia pierścieni węglowych na powierzchni rurki i po-zwalają obliczyć średnicę nanorurki. Długość rurki jest dowolna. Opanowanie na skalę prze-mysłową metod otrzymywania nanorurek węglowych, wykorzystywanych następnie do wy-twarzania wysokowytrzymałych nanokompozytów, zwiększyło zainteresowanie ich właściwo-ściami mechanicznymi [101–103]. Pewne trudności sprawia jeszcze wytwarzanie nanorurek o zadanej chiralności i średnicy, ponieważ nie w pełni poznano mechanizmy nukleacji homo-genicznej, wzrostu i zakończenia ich wzrostu, a znajomość tych mechanizmów jest potrzebna do opracowania metod nukleacji heterogenicznej indukowanej.

Bez względu na rodzaj zastosowanego sposobu syntezy nanorurek, w otrzymanym produkcie średnica większości nanorurek jednościennych zawiera się w granicach od 12 do 20˚A, podczas gdy średnica nanorurek wielościennych może przekraczać 250˚A[7].

Przyjęto oznaczenie ZZ dla nanorurek o chiralnościach (0,n) i (n,0) (tzw. zygzakowa-tych) oraz AC dla nanorurek o chiralnościach (n,n) (tzw. krzesełkowych, z ang. armchair).

7.1. Moduł Younga

7.1.1. Metody doświadczalne wyznaczania modułu Younga

Pierwszą pracą dotyczącą pomiaru modułu Younga nanorurek węglowych był pomiar częstości drgań metodą spektroskopii ramanowskiej [25] omówiony w rozdziale 1.2. W prze-ciwieństwie do powyższej metody, wszystkie pozostałe metody pomiarowe były metodami pośrednimi, gdyż do obliczenia modułu Younga należało przyjąć jakąś grubość ścianki na-norurki. Po początkowym okresie wahań, czy ma to być przestrzenna rozciągłość orbitali π, czy odległość pomiędzy płaszczyznami grafenowymi 3.4˚A, przyjęło się stosować tę drugą wartość. Umowa ta umożliwia jedynie porównywanie otrzymywanych wyników.

Kriszna [104] wyznaczył moduł Younga metodą analizy drgań termicznych końca jedno-stronnie zamocowanej nanorurki. Następnie przyjmując grubość ścianki δ = 3.4˚A otrzymał

72

w wyniku Y = 1.3 TPa z możliwym błędem +0.6/−0.4 TPa. Pomiary wykonano na rurkach o długości 7÷50˚A i przeciętnej średnicy 14˚A. Podobnie, wyznaczono moduł Younga w pra-cach [93, 105–107].

W innych badaniach moduł Younga obliczano na podstawie pomiaru ugięcia swobodnego końca nanorurki [108–111] lub ugięcia na środku długości nanorurek obustronnie zamocowa-nych [112–114, 22]. Metody te opierają się na założeniu, że linię ugięcia nanorurki opisuje ten sam wzór, co linię ugięcia rury w skali makro, a do obliczenia momentu bezwładności wykorzystuje się wzory z wytrzymałości materiałów, przyjmując grubość ścianki równą 3.4˚A.

Znaczny błąd pomiaru, wynoszący do 50% [114, 115, 93] oraz arbitralne przyjęcie grubości ścianki, powodują niepewność interpretacji. Większość publikacji wskazywała na wartość mo-dułu Younga wynoszącą 1±0.5 TPa. Obszerne przeglądy uzyskiwanych wyników zawarte są w pracach [116, 12, 117].

7.1.2. Metody obliczeniowe wyznaczania modułu Younga

Wśród symulacji numerycznych prowadzących do określenia właściwości mechanicznych nanorurek, w literaturze przedmiotu można wyróżnić:

— metody oparte na modelu powłokowym [28, 118, 119],

— metody oparte na modelu membranowym [39, 23, 24],

— metody wykorzystujące dynamikę molekularną – większość prac, np. [116],

— metody stosujące mechanikę kwantową –[120–122].

Dla małych ugięć płaska płyta grafenowa posiada znikomą sztywność. Zwinięcie płyty grafenowej w rurkę wymaga wykonania pracy zależnej od średnicy rurki i składowych wektora chiralnego. Oprócz wzrostu energii wiązań, wynikającego z krzywizny [11], wzrasta sztywność kształtu, mierzona sztywnością na zginanie, D = Y J, gdzie J - moment bezwładności prze-kroju. W rozdziale 1.2 omówiono metodę powłokową obliczania właściwości mechanicznych nanorurek. Otrzymana w jej wyniku grubość ścianki jednościennych nanorurek węglowych równą 0.6˚A, co jest wartością zbliżoną do przestrzennej rozciągłości orbitali π.

Odnośnie wpływu chiralności na właściwości nanorurek, w tym na moduł Younga, po-między autorami opublikowanych prac zauważa się istotne różnice [123]. Brak rozstrzygnięcia eksperymentalnego tych kontrowersji wynika z braku dostatecznie precyzyjnych metod po-miarowych. Natomiast dla eksperymentu numerycznego istotny jest rodzaj przyjętego poten-cjału i wartości jego parametrów. Większość opublikowanych wyników uzyskano wykorzystu-jąc potencjał Tersoffa-Brennera. Potencjał ten nie uwzględnia wpływu kątów przestrzennych pomiędzy wiązaniami na energię wiązania, przez co w wyniku obliczeń uzyskanych z

wyko-rzystaniem zawsze otrzymuje się wartość modułu Younga niezależną od chiralności. W przed-kładanej pracy do obliczeń wykorzystano potencjał AIREBO, uwzględniający zmiany kątów przestrzennych powstające pomiędzy wiązaniami w wyniku zwijania płyty grafenowej.

Na obecnym etapie rozwoju możliwości pomiarowych jedynym możliwym sposobem określenia zależności modułu Younga od budowy nanorurki jest zatem eksperyment nume-ryczny, a jego wyniki będą mogły być zweryfikowane w przyszłości, kiedy to powstaną od-powiednio dostatecznie dokładne metody eksperymentalne. Podejmowane próby określenia właściwości mechanicznych na podstawie modeli prętowych mają ograniczony zakres stoso-wania, ponieważ podczas odkształcania następują jednoczesne zmiany kątów oraz długości wiązań, wpływ zmiany kąta pomiędzy wiązaniami na energię układu nie jest symetryczny względem położenia równowagi, a otrzymywane układy prętów są statycznie niewyznaczalne.

7.1.3. Moduł Younga – wyniki

Wyniki przeprowadzonych symulacji przedstawiono w tabeli 10.1 umieszczonej w Uzu-pełnieniu 1 oraz syntetyczny sposób na rysunkach 7.1 do 7.4.

Na rysunku 7.1a przedstawiającym zależność naprężenia od odkształcenia, widoczna jest zmiana kąta nachylenia stycznej, co oznacza zmienność modułu Younga w funkcji wydłużenia ε. W miarę wzrostu wydłużenia maleje wartość modułu Younga i tym samym zwiększa się podatność materiału na wydłużenie. Niemniej w granicach −0.02 < ε < 0.0 oraz 0 < ε < 0.02 można przyjąć nachylenie jako stałe, czyli moduł Younga jako stałą materiałową. Z takiego przedziału zostały wyznaczone prezentowane poniżej wartości modułu Younga. Na rysunkach 7.1 widoczna jest także zależność modułu Younga od typu nanorurki.

W celu zbadania wpływu indeksu chiralności na moduł Younga wyodrębniono nano-rurki, dla których pierwsza współrzędna ma wartość n, a druga ze współrzędnych wektora chiralnego zmienia się w zakresie od 0 do n. Na rysunkach 7.2 pokazano zmianę wartości Y

W celu zbadania wpływu indeksu chiralności na moduł Younga wyodrębniono nano-rurki, dla których pierwsza współrzędna ma wartość n, a druga ze współrzędnych wektora chiralnego zmienia się w zakresie od 0 do n. Na rysunkach 7.2 pokazano zmianę wartości Y

W dokumencie Właściwości mechaniczne wybranych nanostruktur (Stron 64-0)