Plastyczność

Od pewnej wielkości naprężeń odkształcenia nie są już całkowicie odwracalne. Zakres naprężeń i odkształceń, w którym to następuje nazywamy obszarem odkształceń plastycz-nych. Z obszarem plastycznym wiąże się inna właściwość niektórych metali: ciągliwość, czyli właściwość umożliwiająca uzyskiwanie dużych odkształceń plastycznych bez utraty ciągłości.

Powstawanie odkształceń plastycznych jest powodowane przez wzrost i przebudowę układu dyslokacji, poślizgi i zbliźniaczenia. Poślizgi następują pomiędzy płaszczyznami o najgęst-szym upakowaniu, w kierunkach o najgęstnajgęst-szym wypełnieniu atomami. Płaszczyzna poślizgu i leżący na niej kierunek poślizgu tworzą system poślizgu. W strukturze fcc najgęstsze wy-pełnienie atomami występuje na płaszczyznach {111}. Kierunkami, wzdłuż których są najgę-ściej ułożone atomy, są kierunki h110i. Na każdej z płaszczyzn {111} są trzy ułożenia atomów o kierunku h110i [42, 43].

Do prezentacji zachowania się materiału pod wpływem przyłożonej siły stosuje się wykres rozciągania, na którym w układzie odkształcenie–naprężenie można wyróżnić kilka charakterystycznych punktów [44]:

– granicę proporcjonalności wyznaczającą zakres, w którym zależność siła–wydłużenie jest liniowa,

– granicę sprężystości, przy której odkształcenia trwałe ε = 0.02%,

– granicę plastyczności techniczną, przy której odkształcenia trwałe ε = 0.2%,

– granicę plastyczności fizyczną, albo przystanek plastyczności, po którym następuje spadek naprężenia przy rosnącym wydłużeniu.

W dalszym ciągu niniejszej pracy, gdy będzie mowa o granicy plastyczności, zawsze będzie przez to rozumiana fizyczna granica plastyczności i odpowiadający jej punkt na wykresie — przystanek plastyczności [44].

Zróżnicowanie właściwości w zależności od materiału powoduje, że wykresy rozciągania mają różny przebieg i nie dla każdego z nich wszystkie wymienione punkty są wyraźnie widoczne.

Kruche pękanie, czyli utrata ciągłości nie poprzedzona płynięciem materiału, ma miej-sce wówczas, gdy zakres odkształceń, w którym powstają i rozrastają się dyslokacje lub inne zaburzenia sieci, jest bardzo mały. Symulacje numeryczne jednoosiowego rozciągania nano-rurek dały w wyniku bardzo duży zakres odkształceń sprężystych – do 12% – i następujące po nich kruche pęknięcie.

Eksperymentalnie stwierdzono, że dla nanorurek zakres odkształceń sprężystych wynosi ok 4%. Przy większych odkształceniach pojawia się lokalna przebudowa struktury heksago-nalnej na pięciokąty i siedmiokąty - tzw. defekty Stone-Walesa lub „5 − 7 − 7 − 5” [45–47], pokazane na rysunku 2.2.

Rysunek 2.2. Mechanizm powstawania defektów Stone-Walesa

W modelach matematycznych, budowanych w oparciu o dynamikę molekularną, takiej przebudowy struktury sieci nie uzyskano i w literaturze nie udało się znaleźć informacji o ist-nieniu rozwiązania numerycznego dla tego problemu. Jest to skomplikowane programistyczne zadanie minimalizacji określonych funkcjonałów i przeniesienia uzyskanych wyników (lub nie)

na strukturę początkową. W pracy [45] badane są skutki przypadkowo wprowadzonej okre-ślonej ilości takich defektów.

Wszystkie symulacje nanoprętów metalowych obejmowały zakres odkształceń plastycz-nych. Procesy zachodzące w obszarze odkształceń plastycznych zostały szczegółowo prze-analizowane przez śledzenie przemieszczeń atomów względem ich początkowego położenia w sieci krystalicznej, jak i względem atomów sąsiednich. Dzięki temu możliwa była obser-wacja powstawania i rozwoju poślizgów w rozciąganych i ściskanych nanoprętach. Uzyskane wyniki potwierdziły poprawność modelu przez sprawdzenie kierunku poślizgów. Zgodnie z oczekiwaniami, poślizgi powinny następować w płaszczyznach największego poślizgu. Sposób analizy poślizgów omówiono w rozdziale 4.5, natomiast wyniki w rozdziale 8.4.2.

numerycznych

Metodyka podejścia do budowy modeli rzeczywistości fizycznej zaprzątała uczonych od dawna. W 1838 r. w pracy On the Laws of Reflexion and Refraction of Light at the common Surface of two non-crystallized Media George Green (1793-1841), rozpatrując możliwości wy-prowadzenia równań teorii sprężystości, wskazał, że budując model rzeczywistości nie należy zaczynać od naszego wyobrażenia o oddziaływaniach jakie mają miejsce, gdyż „końcowy efekt może się znacznie różnić od tego, którym posługuje się przyroda”, lecz od wybrania ogólnej zasady fizycznej [48]. W wielu badaniach właściwości mechanicznych nanostruktur tą zasadą jest hipoteza Cauchy-Borna. Następne kroki to wybór warunków przeprowadza-nia eksperymentu, przygotowanie próbek i dobór aparatury pomiarowej. W eksperymentach numerycznych, podobnie jak przy eksperymentach fizycznych, niewłaściwe przygotowanie próbek spowoduje otrzymanie błędnych wyników.

Uzyskanie nanokryształu lub nanopręta o określonych z góry wymiarach i ułożeniu płasz-czyzn krystalograficznych oraz strukturze bez defektów jest bardzo trudne, a wszystkie te czynniki mają wpływ na wyniki badań właściwości mechanicznych. Stworzenie idealnych warunków do przeprowadzenia eksperymentów, spełniających wszystkie te wymagania, jest możliwe jedynie w symulacjach komputerowych. Symulacje numeryczne umożliwiają stwo-rzenie wirtualnej, idealnej, jednorodnej struktury krystalicznej o zadanej wielkości i dowol-nie ułożonych kierunkach krystalograficznych. Na raz stworzonej wirtualnej próbce można sprawdzać różne warianty sposobu obciążania, zadając, na przykład, różne prędkości wzro-stu siły, zmiany wielkości oscylacji, różne sposoby przyłożenia siły i zamocowania lub pod-parcia próbki. Odczytanie wyników z dużą dokładnością ułatwia analizę i zmniejsza liczbę wątpliwości. Ponadto możliwa jest również analiza zachowania atomów we wnętrzu badanej próbki. Zważywszy ponadto na nieograniczone możliwości wizualizacji wyników, symulacje numeryczne są potężnym narzędziem badawczym. Jednak ostateczną weryfikacją wyników symulacji numerycznych jest eksperyment fizyczny, ponieważ modele są uproszczone w sto-sunku do poznanej już rzeczywistości, a wiedza nasza jest niepełna.

Pomiary właściwości sprężystych przeprowadza się dla małych odkształceń i jednorod-nego stanu naprężeń, a uzyskanie takiego stanu jest możliwe jedynie w dwóch przypadkach

30

- podczas jednoosiowego rozciągania pręta cylindrycznego wzdłuż osi oraz podczas czystego ścinania. Ścinaniu towarzyszy zginanie, a podczas skręcania, gdy wektor momentu skręca-jącego pokrywa się z osią pręta, w każdym przekroju poprzecznym na całej długości pręta będzie identyczny, lecz niejednorodny, rozkład naprężeń ścinających. Dla ciał anizotropowych należy dodatkowo wskazać kierunek działania siły względem osi krystalograficznych.

3.1. Przygotowanie próbek do symulacji

Prezentowane w literaturze wyniki symulacji były w większości przeprowadzane w tem-peraturze 300 K. Jedynie w nielicznych publikacjach są to inne temperatury, np. w pracy [49], badając zależność modułu Younga od temperatury, brano pod uwagę zakres od 50 do 1000K.

W niniejszej pracy przyjęto zasadę, że wszystkie eksperymenty będą przeprowadzone w tem-peraturze 300K, w warunkach izotermicznych, co osiągnięto stosując termostat Nos´e-Hoovera [50, 51].

Nanorurki i nanopręty poddawane eksperymentom numerycznym były prostoliniowe i pozbawione defektów. Ich długość w większości przypadków była znacznie większa od średnicy. Dla osiągnięcia postawionych celów należało między innymi:

– dobrać potencjał oddziaływań międzyatomowych, odpowiedni do struktury krystalicznej i pierwiastka,

– wytworzyć pożądana strukturę atomową,

– zadać sposób obciążania i jego wartość końcową, – ustalić sposób i częstość rejestracji obserwabli.

Zasady doboru potencjału i omówienie dokonanego wyboru zostaną opisane w rozdziale 4.

Kolejne kroki prowadzące do utworzenie wybranej struktury atomowej obejmowały:

– wygenerowanie idealnej geometrycznie (teoretycznej) struktury krystalicznej, – przeprowadzenie relaksacji swobodnego układu (bez uchwytów),

– odczytanie nowych wielkości stałych sieci,

– utworzenie idealnej geometrycznie struktury z nowymi stałymi sieciowymi,

– przeprowadzenie relaksacji układu razem z uchwytami (unieruchomionymi końcami).

Relaksacja jest prowadzona do czasu ustalenia się energii układu na stałym poziomie.

Przykładowy przebieg relaksacji układu pokazuje rysunek 3.1.

Tak przygotowana próbka nie posiada defektów strukturalnych, a naprężenia powstałe wskutek zmiany odległości międzyatomowych nanostruktury w stosunku do kryształu zostają zrelaksowane.

-3.7495 -3.749 -3.7485 -3.748 -3.7475 -3.747 -3.7465 -3.746 -3.7455 -3.745 -3.7445

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

energia kohezji [eV/atom]

czas [ps]

Rysunek 3.1. Przykładowy przebieg relaksacji nanopręta.

3.1.1. Przygotowanie nanorurek węglowych

Badaniom poddano wybrane nanorurki węglowe – jeden z najbardziej obiecujących ma-teriałów powstałych w ostatnich czasach. Symulacje przeprowadzono na rurkach jednościen-nych. Wartości charakteryzujące nanorurki poddane symulacjom zebrano w tabeli 10.1 w Do-datku 1. Średnica nanorurki i położenie pierścieni węglowych na jej powierzchni są określone przez współrzędne wektora chiralnego. Spośród możliwych sposobów budowania struktury nanorurki węglowej jednościennej wybrano ten, w którym wszystkie atomy węgla leżą na po-wierzchni walca kołowego, odległości między sąsiadującymi atomami pozostają takie, jakie były w nieodkształconym pierścieniu węglowym, wszystkie pierścienie węglowe są jednakowo odkształcone w porównaniu z wyjściowym, płaskim pierścieniem węglowym. Sposób defor-macji powierzchni pierścieni węglowych będzie zależeć od współrzędnych wektora chiralnego:

dla pierścieni węglowych tworzących nanorurkę o współrzędnych (0,n) będzie to zgięcie sze-ściokąta wzdłuż długiej, pionowej osi pokrywającej się z tworzącą walca. Po zgięciu powstają dwa trapezy równoramienne tworzące ze sobą kąt α = π − π/n. Natomiast na rurce (n,n) każdy pierścień węglowy składa się ze środkowego prostokąta i dwóch trójkątów leżących na innych płaszczyznach. W tym przypadku linie zagięcia pierścienia węglowego pomiędzy środkowym prostokątem i bocznymi trójkątami również pokrywają się z tworzącymi walca.

Sposób odkształcenia pierścieni węglowych jest uwidoczniony na rysunku 3.2.

Spełnienie powyższych warunków, to znaczy umiejscowienie wszystkich atomów węgla na jednej powierzchni walcowej oraz zachowanie długości wiązań międzyatomowych, dla rurek o chiralności (n,m), n 6= m spowoduje, że na każdym sześciokącie pierścienia węglowego

(0,6)

(4,4)

Rysunek 3.2. Przekrój poprzeczny nanorurek (0,6) i (4,4).

Pogrubioną linią zaznaczono jeden pierścień węglowy.

pojawią się dodatkowe linie gięcia, nie leżące na tworzącej walca. Ponadto sąsiadujące wzdłuż rurki powierzchnie będą do niej nachylone pod różnymi kątami.

W pracach [47, 52], omówiono identyczny z wyżej wskazanym, analityczny sposób two-rzenia wyjściowej struktury nanorurki o dowolnym wektorze chiralnym oraz wyprowadzono wzory na kąty i odległości pomiędzy sąsiadującymi atomami przed procesem relaksacji.

Tak zbudowana nanorurka zostaje poddana procesowi relaksacji, w czasie którego następują zmiany odległości międzyatomowych i wszystkie atomy przyjmują położenie optymalne pod względem energetycznym. Im ułożenie początkowe będzie bliższe optymalnego energetycznie, tym czas relaksacji będzie krótszy.

3.1.2. Przygotowanie nanoprętów metalowych

Eksperymenty numeryczne przeprowadzono na nanoprętach o strukturze fcc, wolnych od dyslokacji. Największy możliwy stopień upakowania – 74% – powoduje, że pod wpływem obciążenia nie następuje jej przebudowa w inne, gęściej upakowane, struktury. Badaniom poddano nanopręty o przekroju kołowym, wykonane ze złota, miedzi, platyny i niklu.

Eksperymenty numeryczne przeprowadzono dla płaszczyzn krystalograficznych związanych z kierunkami najłatwiejszego poślizgu, {011} i {111} (rozdział 2.4) oraz dla kierunków podstawowych {001}.

Dla zmniejszenia wpływu płaszczyzn tworzących powierzchnię nanostruktury na wy-niki eksperymentów, przeprowadzono je na nanoprętach o przekroju kołowym. Dla takiego przekroju powierzchnię nanostruktury tworzy wiele różnych płaszczyzn krystalograficznych równoległych do osi nanopręta. Umożliwia to porównywanie różnych prętów, bez potrzeby oddzielnej analizy wpływu kierunków krystalograficznych na powierzchnie tworzące ściany

boczne [53]. Wybór przekroju kołowego wynikał również z widocznego na wszystkich zdję-ciach kołowego przekroju [54, 55] otrzymywanych nanoprętów. Również warunek minimum energii powierzchniowej [56] wskazuje na przekrój kołowy.

Charakterystyki geometryczne oraz uzyskane wyniki nanoprętów poddanych ekspery-mentom numerycznym zebrano w tablicach 11.1 do 11.4.

3.2. Wielkość próbek

3.2.1. Jednorodny, jednoosiowy stan naprężeń

Przyłożenie obciążenia lub zamocowanie próbki wpływa na rozkład naprężeń w próbce.

W odległości porównywalnej z rozmiarem obszaru przyłożenia siły pole naprężeń jest niejednorodne. W przypadku współosiowego obciążenia przyłożonego na końcach nanopręta, zakłócenia pola naprężeń przestają być zauważalne w odległości większej niż średnica próbki. Jeżeli przez V0 oznaczymy całkowitą objętość nanostruktury, a przez V_z – objętość nanostruktury, w której widoczne jest zakłócenie pola naprężeń, to spełnienie zależności

V_z

V0≪ 1 (3.1),

pokazuje, że w pręcie panuje jednorodny stan naprężeń.

Powyższe warunki sformułowane zostały dla dużych elementów. W celu sprawdzenia poprawności tak sformułowanych ograniczeń w odniesieniu do nanoprętów, poddano analizie rozciągany pręt, wyróżniając w nim plastry o grubości równej jednej stałej sieci. Następnie w każdym plastrze obliczano średnie naprężenie przypadające na atom. Wyniki przedstawia rysunek 3.3, charakterystyki strukturalne omówione zostały w rozdziale 4.5.

W odległościach od końców większych od średnicy próbki rozkład naprężeń staje się jednorodny. Fluktuacje widoczne w części środkowej pręta na rysunku 3.3 są spowodowane ruchami termicznymi atomów. Dłuższy okres uśredniania wartości naprężeń, rzędu 50ps, powoduje wygładzenie rozkładu.

Utrudnieniem w stosowaniu wzorów z zakresu wytrzymałości materiałów jest wpływ odchylenia obrysu przekroju poprzecznego nanostruktury od kształtu kołowego i zmiany charakterystyki geometrycznej przekroju. Do symulacji przyjęto, że nanopręty będą budo-wane z komórek elementarnych sieci krystalicznej, a to spowodowało, że powierzchnia prętów

„okrągłych” o średnicy 6÷10a nie jest gładka i widoczne są na niej również fragmenty płaskie.

Przekroje poprzeczne badanych nanoprętów pokazano na rysunku 3.4.

Kontur przekroju przez nanostrukturę składa się z punktów, które można połączyć odcinkami prostej. Na przekroju poprzecznym nanostruktury, złożonym z punktów-atomów,

8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5

-50 0 50 100 150 200 250

σzz [GPa]

z

Rysunek 3.3. Przykładowy rozkład naprężeń w nanopręcie obciążonym wzdłuż osi.

utwórzmy teoretyczny obrys zewnętrzny, jakim może być na przykład przekrój kołowy. Na odcinku o długości r_i, łączącym środek ciężkości przekroju z leżącym na obrysie atomem i, przez r^sc_i oznaczymy odległość teoretycznego obrysu od środka ciężkości przekroju. Kryterium geometryczne stosowalności wzorów wytrzymałościowych do nanostruktur ma postać:

v u u t 1

N

N

X

i=1

r_i−r_i^sc r^sc_i

²

≪ 1. (3.2)

Pierwszy warunek (3.1) służy do sprawdzenia wielkości niezakłóconego pola naprężeń, gdy jedynym źródłem zakłóceń jest obszar przyłożenia sił zewnętrznych. Drugi warunek (3.2) pozwala sprawdzić zgodność przekroju rzeczywistego z przyjętym teoretycznym przekrojem.

3.2.2. Wpływ napięcia powierzchniowego

Zmniejszenie liczby sąsiadujących atomów w warstwie zewnętrznej powoduje zmianę oddziaływań międzyatomowych. Powstaje warstwa powierzchniowa, w której działanie zmie-nionych sił międzyatomowych nazywamy napięciem powierzchniowym. W modelach wyko-rzystywanych do opisu zjawisk powierzchniowych, gdy grubość warstwy powierzchniowej jest znacznie mniejsza od wielkości elementu, pomija się ich wpływ. Do opisu sił występujących w tej warstwie wprowadza się napięcie powierzchniowe o wymiarze N/m.

-40 -20 0 20

40 (001)

-40 -20 0 20

40 (011)

-40 -20 0 20

40 (111)

Rysunek 3.4. Rzut pozycji atomów na przekrój poprzeczny prętów dla średnic prętów: 5a,8a,14a,20a oraz dla orientacji płaszczyzny przekroju poprzecznego: (001),(011),(111).

Analiza zasięgu oddziaływań międzyatomowych w ciałach stałych pozwala stwierdzić, że zmiana liczby sąsiadujących atomów w warstwie zewnętrznej wpływa w sposób zauważalny na zachowanie się atomów w następnych dwóch warstwach [40]. Energię powierzchniową ciała stałego określa się jako odwracalną pracę, odniesioną do jednostki powierzchni, potrzebną do rozdzielenia ciała na dwie części. Zmiana gęstości energii warstwy powierzchniowej w miarę oddalania się od powierzchni oraz trudna do określenia granica tej warstwy spowodowały,

że do opisu warstwy powierzchniowej stosuje się pojęcie energii powierzchniowej o wymiarze J/m².

Właściwości mechaniczne nanopręta jako całości zależą od stosunku liczby atomów ob-jętych oddziaływaniami powierzchniowymi do całkowitej liczby atomów. Oddziaływanie war-stwy powierzchniowej bardzo cienkich nanoprętów, poniżej 5˚A, powoduje zmiany struktury krystalograficznej w całej objętości [57, 58].

Rozwój nanotechnologii zwiększył zainteresowanie wyznaczeniem napięcia powierzchnio-wego ciał stałych. Przegląd metod obliczeniowych wyznaczania napięcia powierzchniopowierzchnio-wego zawierają prace [59, 60, 58, 61, 62]. Wpływ napięcia powierzchniowego przejawia się w skró-ceniu próbki poddanej relaksacji [63]. Wpływ napięcia powierzchniowego jest widoczny dla średnic mniejszych od 7a. Andriewski [64] określa jako krytyczny obszar, poniżej którego należy uwzględnić naprężenia powierzchniowe, zakres 20 ÷ 100˚A, z zastrzeżeniem, że są to wyniki obliczeń, często ze sobą sprzecznych, natomiast w pracy [34] ta granica wynosi 4˚A.

Obszerną analizę dotychczasowych badań, związanych z wpływem wielkości nanostruktury na jej właściwości mechaniczne i temperaturę topnienia, wykonał Andriewski [64], pokazując zarazem paradoksy i sprzeczne wyniki badań. Z obliczeń przeprowadzonych przez Lianga [63] wynika, że wpływ średnicy pręta na moduł Younga jest pomijalny od średnicy około 7 ÷ 8a. Jedną z przyczyn różnic w otrzymywanych wynikach jest stosowanie odmiennych modeli oddziaływań (potencjałów). Duży rozrzut wartości dotyczy również wartości napięcia powierzchniowego. W tabeli 3.1 umieszczono wartości napięcia powierzchniowego wyliczone modelem powłokowym oraz zebrano wartości spotykane w literaturze.

Punktem wyjściowym w budowie modelu powłokowego było spostrzeżenie, że w żadnej z przeprowadzonych symulacji nie stwierdza się przesunięcia warstw zewnętrznych wzglę-dem części rdzeniowej nanopręta. Gdyby takie przesunięcie następowało, to, na przykład, dla wartości odkształcenia ε = 0.03 po piętnastu odstępach sieci atom warstwy zewnętrznej byłby przesunięty o pół odstępu względem atomów z wnętrza pręta, a na końcach nano-pręta tworzyłyby się uskoki na kolejnych warstwach atomów powierzchniowych. Skrócenie próbki wskutek naprężeń powierzchniowych odbywa się z zachowaniem płaskości przekrojów poprzecznych, a zatem nanopręt utworzony z regularnej sieci krystalicznej, po relaksacji jest krótszy i ma mniejszą średnicę, lecz rodzaj sieci, w naszym przypadku fcc, zostaje zacho-wany w całej objętości. Zachowanie płaskości przekrojów poprzecznych przez atomy warstwy zewnętrznej nanopręta spowodowane jest oddziaływaniem na nie atomów znajdujących się w części wewnętrznej — atomy zewnętrzne są źródłem sił ściskających pręt wzdłuż jego osi, a regularna struktura wnętrza powoduje zachowanie jednakowych odległości pomiędzy

wszystkimi prostopadłymi do osi warstwami komórek sieci; siła obwodowa, wywołana naprę-żeniami w warstwie powierzchniowej, powoduje powstanie naprężeń radialnych.

Prowadząc obliczenia wykorzystano zasadę superpozycji obciążeń wzdłużnych i radial-nych oraz omówioną w rozdziale 1.2 zamienność metod obliczeniowych dla ośrodków dyskret-nych i ciągłych. Wpływ i wielkość naprężeń powierzchniowych zostały policzone metodami ośrodka ciągłego, jak dla pręta obciśniętego stygnącą rurą. Część zewnętrzną, „rurę”, tworzą warstwy atomów powierzchniowych i to one są źródłem sił działających na rdzeń nanopręta.

Do dalszej analizy zostanie przyjęty pręt okrągły, w którym warstwa powierzchniowa ma grubości δ = ka oraz wnętrze o średnicy D_w= na, gdzie a jest stałą sieci krystalicznej.

Powierzchnia przekroju poprzecznego wnętrza nanopręta, F_w, wynosi:

F_w= 0.25π(na)². (3.3)

Powierzchnia przekroju poprzecznego warstwy zewnętrznej, F_p, wynosi:

F_p= 0.25π[(na+2ka)²−(na)²]. (3.4) Suma sił wewnętrznych na przekroju poprzecznym pręta znajdującego się w równowadze wynosi zero:

σ_pF_p+σ_wF_w= 0, (3.5)

gdzie σ_p oznacza naprężenie w warstwie powierzchniowej, a σ_i naprężenie we wnętrzu pręta.

A zatem:

σ_p= −σw

F_w

F_p. (3.6)

Podstawiając (3.4) i (3.3) do (3.6) otrzymamy:

σ_p= −σw

Korzystając z prawa Hooka, σ_w= Y_wε, przekształcamy (3.7) do postaci:

σ_p= − n²

4k(n+k)Y_wε. (3.8)

Wykorzystując zależność γ_p= σδ otrzymujemy:

γ_p= − n²

4k(n+k)Y_waε. (3.9)

Wielkość naprężeń radialnych określa wzór Laplace’a dla powłok kołowo-symetrycznych, w omawianym przypadku sprowadzający się do postaci

σ_θ R_i=σ_r

δ , (3.10)

gdzie σ_θ – naprężenia styczne, σ_r – naprężenia normalne, R_i = D_i/2 – promień części wewnętrznej pręta, δ – grubość warstwy powierzchniowej. Wykorzystując zależność σ_θ= γ_p/δ otrzymujemy

σ_r= σ_θ δ

R_i= γ_p 1

R_i. (3.11)

Ponieważ naprężenia styczne są stałe, niezależne od średnicy nanopręta, naprężenia radialne na powierzchni r = Rw maleją w stosunku do naprężeń wzdłużnych jak 1/Rw, a wartość stosunku σ_w/σ_r jest stała i wynosi 4.

Uprzedzając uzyskane wyniki badań, w tabeli 3.1 zestawiono wartości napięcia po-wierzchniowego dostępne w literaturze oraz wyliczone według modelu powłokowego. Szcze-góły obliczeń zostaną przedstawione w rozdziale 8.5

Tabela 3.1. Wartości naprężeń powierzchniowych dla pierwiastków badanych w nanoprętach, wh

N m

i. Pierwiastek model wg [65] wg [59] wg [66] eksperyment eksperyment

powłokowy za [66] za [67]

Ni 2.698 1.530 0.82-2.5 1.58 2.38

Cu 1.723 1.325 1.11-2.05 1.28 1.79

Pt 3.633 1.408 2.8-5.6 1.65 2.49 2.574±0.4

Au 1.118 0.797 1.71-2.77 0.92 1.50 1.175±0.2

Zaproponowany model i sposób obliczania wartości napięcia powierzchniowego oraz uzyskane wyniki pokazują, że i w tym przypadku można zastosować metody i wzory z wytrzymałości materiałów do obliczeń odnoszących się do nanostruktur.

3.2.3. Liczba atomów w próbkach

W literaturze podjęto również temat termodynamiki nanostruktur, łączący się z okre-ślaniem granic stosowalności termodynamiki klasycznej. W pracy [68] posługując się me-todami mechaniki statystycznej, autorzy otrzymali wzór na minimalną liczbę atomów, od której można wprowadzać pojęcie temperatury ciała. Dla T < Θ, gdzie Θ jest temperaturą Debye’a:

n_min≈ 1.52Θ T

³

. (3.12)

Dla węgla Θ = 2230K, stąd dla T = 300K minimalna liczba atomów w próbce wynosi n_min≈ 620.

Inne badania [69–73], również prowadzą do wniosku, że minimalna wielkość próbki to 10³÷ 10⁴ atomów. Przyjęto, że liczebność próbki dla nanorurek węglowych będzie większa

Inne badania [69–73], również prowadzą do wniosku, że minimalna wielkość próbki to 10³÷ 10⁴ atomów. Przyjęto, że liczebność próbki dla nanorurek węglowych będzie większa

W dokumencie Właściwości mechaniczne wybranych nanostruktur (Stron 30-0)