CIĘGNO NOŚNE PODDANE RUCHOMEMU OBCIĄŻENIU UŻYTKOWEMU 1. Model cięgna nośnego

W pracy rozważamy płaski model wieloprzelotowego cięgna nośnego napowietrznej kolei dwulinowej o ruchu okrężnym. Przyjęto na podstawie [1], że praca liny napędowej nie ma znaczącego wpływu na zachowanie się liny nośnej. Cięgno rozpatrywane jest jako ciągłe, doskonale wiotkie i jednorodne. Właściwości materiału podlegają prawu Hooke’a a zależność pomiędzy odkształceniami i przemieszczeniami jest zdefiniowana wzorem Green’a -Lagrange’a postaci

) 2 / 2 / ( cos ) (

cos ) ,

( _i ² _{0i i i i} ² _{0i i}² _i²

i x t = α u′+z′w′ + α u′ +w′

ε . (1)

W analizie dynamicznej brane są pod uwagę tylko sprężyste odkształcenia cięgna (nie uwzględnia się wpływów niemechanicznych). Cięgno jest zakotwione na jednym końcu trasy (w stacji górnej) i napięte przeciwwagą o masie T na jej drugim końcu (w stacji dolnej). Sposób podparcia cięgna na podporach pośrednich umożliwia przesuw po-ziomy z pominięciem tarcia. Trasa cięgna składa się z kilku przelotów oznaczonych nume-rami i = 1...k oraz odcinka napinającego oznaczonego numerem i = k+1 (Rys. 1).

Krzywe wstępnego (statycznego) zwisu cięgna zi (xi) są funkcjami lokalnej współrzędnej geometrycznej xi, gdzie 0 ≤ xi ≤ li, i kształtowane są przez obciążenie stałe w postaci ciężaru własnego cięgna. Stan przemieszczenia cięgna względem krzywej zi (xi) w i-tym przelocie opisują w płaszczyźnie zwisu dwie składowe: pionowa wi (xi, t) i pozioma ui (xi, t), będące ciągłymi funkcjami lokalnej współrzędnej geometrycznej xi oraz czasu t.

Cząstkowe równania różniczkowe opisujące ruch cięgna w i-tym przelocie zostały szczegółowo wyprowadzone w pracy [3], a ich końcowa postać jest następująca

xi i i i

i

i H u m u p

H +Δ + ′ ′+ =

−[( 0 )(1 )] (cosα0)⁻¹&& , (2)

zi i i i

i i

i H z w m w p

H +Δ ′+ ′ ′+ =

−[( ₀ )( )] (cosα₀)⁻¹&& , (3)

gdzie m – masa jednostkowa cięgna, α_0i – kąt kierunkowy w stanie odniesienia, H0i = N0i cosα0i – wstępny naciąg cięgna (składowa pozioma siły osiowej N0i), ΔH_i = ΔN_i cosα_0i – dynamiczny przyrost naciągu obliczony względem konfiguracji cięgna w stanie odniesienia, pxi, pzi – składowe rozłożonego obciążenia użytkowego, (&)=∂()/∂t. 2.2. Obciążenie użytkowe – model gondoli pasażerskiej w postaci wahadła

Obciążenie użytkowe cięgna stanowią gondole pasażerskie, które poruszają się po jego trasie w stałych odstępach d i przy założeniu stałej poziomej prędkości operacyjnej v (Rys. 1). Schemat pojedynczego wagonika pasażerskiego z wyróżnieniem jego części składowych przedstawiono na Rys. 2.

Rysunek 2: Model gondoli pasażerskiej w postaci wahadła i schemat obciążenia cięgna

W celu sformułowania dyskretnego modelu pojazdu, rozłożone masy: wózka, wieszaka wraz z pustą kabiną pasażerską oraz załadunku zostały zastąpione przez masy skupione oznaczone odpowiednio jako Mc, Mch i Mlj. Wykorzystując to uproszczenie, wagonik zastąpiono wahadłem fizycznym o jednym stopniu swobody θ_j(t), który jest kątem obrotu wagonika w płaszczyźnie xz. Indeks j = 1...N oznacza numer wagonika (wahadła).

Przemieszczenie pionowe Wij(t) j-tego wahadła poruszającego się wzdłuż i-tego przelotu cięgna wynika ze wstępnie zakrzywionej trasy cięgna, opisanej funkcją zi(xi), oraz pionowego przemieszczenia cięgna wi(xi, t). Położenie wahadła względem początku przelotu określa funkcja xi = xij (t) = xj (t) – Li-1, gdzie Li-1 = l1 +...+ li-1. Funkcja xj = a +ρv(t – t_j) definiuje ruch poziomy wahadła, które w chwili tj = (j – 1) d/v znajduje się na początku trasy.

Wtedy W_ij(t) = z_ij (t) + w_ij(t), gdzie z_ij(t) = z_i [xij (t), t] i w_ij(t) = w_i [xij (t), t]. Jeśli gondole startują ze stacji górnej, czyli kierunek ruchu strumienia wahadeł jest zgodny ze zwrotem osi x, to przyjmujemy a = 0 i ρ = 1. W przeciwnym przypadku należy przyjąć a = L = l1 +...+ lk i ρ = –1. Poziomy ruch wahadła x_ij(t) oraz poziome przemieszczenie cięgna ui(xi, t) są traktowane jako niezależne, ponieważ ruch wagonika po linie nośnej ma charakter toczny z pominięciem tarcia, zaś nachylenie trasy cięgna jest traktowane jako niewielkie.

W trakcie działania kolei linowej cięgno nośne w i-tym przelocie jest obciążone następującymi siłami: reakcją wieszaka gondoli Rj, ciężarem wózka Mcg oraz siłą bezwładności −M_cW&&_ij. Ponieważ każdy wieszak jest wychylony o kąt θ_j, reakcja Rj ma dwie składowe: pionową Rjz i poziomą Rjx (Rys. 2). Po wprowadzeniu oznaczenia Mj = Mch + Mlj i założeniu małego kąta wychylenia θ_j (z uwagi na stosowane w pojazdach urządzenia tłumiące) składowe reakcji wieszaka można zdefiniować następująco:

), ( _ij

j z

j M g w

R = − && R^x_j=R^z_jtgθ_j≅R^z_jθ_j=gM _jθ_j−M_jw_&&ijθ_j, przy czym uwzględniono, że 0

/ ₀

2 ≈

−

= mgv H

z&&_ij , ponieważ prędkość pojazdów v oraz masa cięgna m są dużo mniejsze od wstępnego naciągu cięgna H0. Pozioma składowa reakcji wieszaka jest efektem drugiego rzędu, zatem nieliniowy składnik M_jw&&_ijθ_j tej siły można pominąć. Wówczas mamy R^x_j =gM_jθ_j . Składowe rozłożonego obciążenia cięgna w równaniach (2) i (3), zapisane z wykorzystaniem funkcji delta Diraca, są niezerowe gdy 0 < xij (t) ≤ li i wynoszą odpowiednio:p_xi,j(x_i,t)=−gM_jθ_jδ(x_i−x_ij) oraz p_zi,j(x_i,t)=(M_j+M_c)(g−w_&&ij)δ(x_i−x_ij).

Podczas startu wagonika ze stacji początkowej pojawia się dodatkowe krótkotrwałe obciążenie, które ma charakter impulsowy. Jest ono spowodowane poziomymi siłami bezwładności ρMchg0, ρMljg0 działającymi na masy Mch i Mlj przez krótki okres czasu Δt w chwili tj, kiedy wagonik opuszcza stację, zostaje wprzęgnięty do liny napędowej i zaczyna poruszać się po trasie z prędkością operacyjną v. Siły te są efektem stałego przyspieszenia o wartości g0 w punkcie startu wagonika tj = (j – 1) d/v. Z podobną sytuacją mamy do czynienia w trakcie nagłego zatrzymania systemu operacyjnego, gdy strumień pojazdów zostaje zatrzymany w chwili Tp, w dowolnym miejscu trasy. W tym przypadku również występuje dodatkowe krótkotrwałe obciążenie wagonika siłami bezwładności, z tą różnicą, że przyspieszenie g0 ma wartość ujemną. Oba przypadki dodatkowego obciążenia impulsowego można opisać łącznie oznaczając ogólnie symbolem t0 chwilę pojawienia się krótkotrwałych sił bezwładności. Wówczas, w momencie startu wagonika należy podstawić

= t, a w chwili zatrzymania t = T ,wtedy w miejsce g należy wstawić –g.

Równanie ruchu wahadła, wyprowadzone na podstawie warunku równowagi momentów wszystkich sił działających na wagonik, ma postać

+ uwzględniając reakcję tłumika −c_jθ^&_jmożna zapisać równanie (4) w następującej postaci

). równania (4) pominięto w dalszych rozważaniach, ze względu na założenie dotyczące małego kąta obrotu wahadła θ_j. Przyjęto także, korzystając z definicji funkcji impulsowej, że jeśli Δt→0, to Δtδ (t – t0) = Ij(t), gdzie Ij(t) = 1 dla t0 < t < t0 + Δt oraz I_j(t) = 0 dla t < t0 lub t > t0 + Δt. Ostatecznie równanie ruchu pojedynczego wahadła jest wyrażone wzorem

2.3. Równanie ruchu cięgna pod wpływem ruchomego obciążenia w postaci strumienia wahadeł

Ustrój złożony z cięgna i poruszających się po nim gondoli stanowi układ o zmiennej w czasie konfiguracji masy. Do opisu drgań układu wprowadzono dwa zbiory współrzędnych uogólnionych: wektor q współrzędnych opisujących przemieszczenia cięgna oraz wektor θ, który stanowi zbiór współrzędnych θ_j odpowiadających kątom wychylenia wahadeł. Rozważając strumień wagoników poruszających się wzdłuż wieloprzelotowej trasy cięgna nośnego można sformułować podobnie jak w pracy [3] macierzowe równanie ruchu całego układu

K t stanowią zależne od czasu składniki macierzy bezwładności, tłumienia i sztywności, które są wynikiem zmiany konfiguracji masy układu w czasie.

)

~ (

θ t

K jest macierzą sprzęgającą równania ruchu cięgna i poruszających się po nim wahadeł.

R^N(q) jest wektorem uogólnionych nieliniowych reakcji sprężystych, Fq i Fθ stanowią wektory uogólnionych sił wzbudzających. Macierze diagonalne {J}, {c}, {S} są zbiorami parametrów Jj, cj, Sj poszczególnych wahadeł, przy czym j = 1...N. Wszystkie bloki równania (6) zostały szczegółowo zdefiniowane w pracy [3], poza wektorem sił wzbudzających Fθ = ρg₀{S}I(t), który opisuje krótkotrwałe obciążenie impulsowe działające w chwili startu oraz zatrzymania wagoników, I(t) = col (I1(t)...IN(t)).