ZASTOSOWANIE METODY APROKSYMACJI POŁĄCZONYCH DO WYZNACZANIA CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH
3. METODA CA W REANALIZIE CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH ŚCIAN PO MODERNIZACJI
W celu poprawy stabilności metody, w niniejszej pracy zastosowano również normali-zację i ortogonalinormali-zację metodą Grama- Schmidta [2].
3. METODA CA W REANALIZIE CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH ŚCIAN PO MODERNIZACJI
Analizie poddano typowe ściany konstrukcyjne 5-cio kondygnacyjnych budynków prefa-brykowanych o szerokościach: 2.7m, 5.4m i 11.7m. Przyjęto grubość ścian 14cm oraz wyso-kość kondygnacji 2.8m (wysowyso-kość ściany: 5 x 2.8m
=
14m) jako typowe w rzeczywistych budynkach rozważanego rodzaju. Modelując rzeczywiste ściany, przyjęto ich zamocowanie w poziomie stropu piwnicy ze względu na dużo większą sztywność ścian piwnicy w stosun-ku do sztywności kondygnacji nadziemnych [5]. Są to ściany żelbetowe o gęstości=2500
ρ kg/m3, module Younga E = 29GPa i współczynniku Poissona ν =0.17. W po-ziomach stropów uwzględniono dodatkowo masę stropu z pasa o szerokości 3 metrów oraz masę wynikającą z 40% obciążenia zmiennego, a w poziomie stropu ostatniej kondygnacji – również od stropodachu (płyty panwiowe).
Przyjęto tarczowy model ściany pełnej (bez otworów). Problemy własne trzech rozważa-nych ścian bez otworów rozwiązywano z użyciem metody elementów skończorozważa-nych (MES) w programie Ansys [6]. Wykorzystano 4-węzłowy element tarczowy „plate 42” o dwóch stopniach swobody w węźle oraz konsystentne macierze sztywności i mas.
Następnie analizowano drgania własne ścian po modernizacji. W pierwszym przypadku zmiana polega na pojawieniu się w każdej z rozważanych ścian pojedynczego nowego otwo-ru drzwiowego o wymiarach 90cm x 200cm na najniższej kondygnacji w odległości 30cm od krawędzi ściany (Rys. 1).
Kolejna zmiana geometrii ścian jaką analizowano, polega na pojawieniu się serii nowych otworów usytuowanych jeden nad drugim na wszystkich kondygnacjach. Położenie i szero-kości otworów w tak zmodyfikowanych ścianach pokazano na Rys. 2.
Podobnie jak w przypadku ścian bez otworów, częstotliwości i postacie drgań własnych oraz macierze sztywności i mas analizowanych ścian z otworami otrzymano z wykorzysta-niem programu Ansys [6]. Sztywność elementów w miejscach otworów przyjęto bliską zeru.
Rysunek 1: Modernizacja poprzez nowy pojedynczy otwór drzwiowy (90 x 200 cm) na najniższej kondygnacji w odległości 30cm od krawędzi ściany o szerokości: a) 2.7 m;
b) 5.4 m; c) 11.7 m
Rysunek 2: Geometria analizowanych ścian 2.7 m (a), 5.4 m (b), 11.7 m (c) z serią nowych otworów usytuowanych jeden nad drugim na wszystkich kondygnacjach o szerokości otworów i odległości od krawędzi ściany odpowiednio: a) 90 cm, 30 cm, b)180 cm, 90 cm, c) 390 cm, 240 cm
Nowy pojedynczy otwór (90 x 200 cm) w ścianie powoduje małe zmiany w odpowied-nich macierzach sztywności i mas. Zajmuje on w ścianach 2.7 m, 5.4 m, 11.7 m odpowiednio 4.8%, 2.4%, 1% ich powierzchni. Z kolei wprowadzenie serii otworów usytuowanych jeden nad drugim na wszystkich kondygnacjach (Rys. 2) skutkuje dużymi zmianami w macierzach sztywności i mas modyfikowanych ścian z uwagi na ubytek ok. 24% całkowitej powierzchni.
Przykładowo na Rys. 3a graficznie pokazano położenie elementów niezerowych konsystent-nej macierzy sztywności, a na Rys. 3b – konsystentkonsystent-nej macierzy mas ściany 2.7 m (300 stop-ni swobody) bez otworów. Rys. 3c i 3e przedstawiają zmiany w macierzy sztywności ΔK, a Rys. 3d i Rys. 3f zmiany w macierzy mas ΔM wywołane wprowadzeniem do tej ściany odpowiednio pojedynczego otworu oraz serii otworów.
a) b) c)
a) b) c)
Rysunek 3: Graficzne przedstawienie położenia elementów niezerowych macierzy sztyw-ności (a) i macierzy mas (b) ściany 2.7 m bez otworów oraz zmian w macierzy sztywsztyw-ności
ΔK (c,e), oraz zmian w macierzy mas ΔM (d,f) wywołanych wprowadzeniem do tej ściany odpowiednio pojedynczego otworu (c,d) oraz serii otworów (e,f)
Każda zmiana w geometrii ściany, a tym samym w jej sztywności i masie, powoduje zmianę właściwości dynamicznych, w tym częstotliwości drgań własnych. Wyznaczenie ich metodą elementów skończonych (MES) w przypadku „nowej”, zmodyfikowanej ściany wy-maga ponownego rozwiązania zagadnienia własnego z „nowymi” macierzami sztywności i mas, a więc konieczna jest reanaliza zagadnienia. Przy analizie pełnych układów o wielu stopniach swobody wiąże się to ze znacznym czasem obliczeń. Stąd propozycja zredukowa-nia „wysiłku numerycznego” poprzez zastosowanie aproksymacji połączonych CA. Wyko-rzystując algorytm CA [2, 3], opracowano własny program w środowisku Matlab [7] do wyliczania częstotliwości drgań własnych modernizowanych ścian – tarcz. Częstotliwości drgań własnych i wektory własne układu zredukowanego wyznaczano metodą odwrotnej iteracji wektorowej [8]. Dokładność uzyskiwanych rezultatów oceniano zgodnie z (18) po-przez porównywanie wartości częstotliwości wyznaczonych metodą CA (fiCA) z
odpowied-e) a)
c)
b)
d)
f)
zagadnienia własnego, a więc z pełnymi macierzami mas MM i macierzy sztywności KM
zmodyfikowanej ściany (wyliczanie ułamka ri):
E CA i i i
f
r
=
f , (18)gdzie: fiCA – wartość i-tej częstotliwości drgań wyliczona metodą CA, fiE – wartość i-tej czę-stotliwości drgań wyliczona z użyciem pełnej macierzy mas MM i macierzy sztywności KM
zmodyfikowanej ściany (traktowana jako wyznaczona dokładnie).
Dodatkowo, według wzoru (19) określano błąd względny rozwiązania CA:
% 100 Err
E CA
E
− ⋅
=
i i i
i f
f
f f , (19)
gdzie: Errfi – błąd względny wartości i-tej częstotliwości drgań własnych ściany wyznaczo-nej za pomocą CA; fiCA, fiE – jak we wzorze (18).
Na rys. 4 przedstawiono zależność wartości ułamka ri (a więc stosunku częstotliwości drgań własnych obliczonych metodą CA do odpowiednich częstotliwości drgań własnych otrzymanych z rozwiązania pełnego układu, por. wzór (18)) od liczby wektorów bazowych dla trzech pierwszych (i = 1, 2, 3) częstotliwości drgań własnych ściany o szerokości 2.7 m (300 stopni swobody). Rys. 4a dotyczy ściany z pojedynczym otworem drzwiowym (ściana z Rys. 1a), natomiast Rys. 4b – ściany z serią otworów usytuowanych jeden nad drugim na wszystkich kondygnacjach (ściana z Rys. 2a). W analizie skupiono się tylko na trzech pierw-szych częstotliwościach drgań własnych (dwie kolejne dla drgań poziomych i jedna dla drgań pionowych) ze względu na to, że praktycznie takie drgania występują w rzeczywistych budynkach z rozważanymi ścianami [9].
Rysunek 4: Zależność stosunku ri od liczby wektorów bazowych dla trzech pierwszych czę-stotliwości drgań własnych ściany 2.7 m: a) z pojedynczym otworem drzwiowym; b) z serią otworów usytuowanych jeden nad drugim na wszystkich kondygnacjach
a) b)
Rys. 5 i 6 przedstawiają analogiczne zależności odpowiednio w przypadku ścian o szerokościach 5.4 m (570 stopni swobody) i 11.7 m (1200 stopni swobody).
Rysunek 5: Zależność stosunku ri od liczby wektorów bazowych dla trzech pierwszych częstotliwości drgań własnych ściany 5.4 m: a) z pojedynczym otworem drzwiowym (z Rys. 1b); b) z serią otworów usytuowanych jeden nad drugim na wszystkich kondygna-cjach (z Rys. 2b)
Rysunek 6: Zależność stosunku ri od liczby wektorów bazowych dla trzech pierwszych czę-stotliwości drgań własnych ściany 11.7 m: a) z pojedynczym otworem drzwiowym (z Rys. 1c); b) z serią otworów usytuowanych jeden nad drugim na wszystkich kondygna-cjach (z Rys. 2c)
Przykładowo w Tabeli 1 zestawiono wartości ri oraz Errfi (i = 1, 2, 3) wyliczone w zależ-ności od liczby wektorów bazowych (rB) uwzględnionych w metodzie CA w przypadku ściany o szerokości 11.7 m z pojedynczym otworem drzwiowym.
a) b)
a) b)
Tabela 1: Wartości ri oraz Errfi (i = 1, 2, 3) wyliczone w przypadku ściany 11.7m z poje-dynczym otworem
Liczba wektorów
bazowych r1 r2 r3 Err f1 [%] Err f2 [%] Err f3 [%]
1 1,0203 1,0068 1,0055 2,0336 0,6752 0,5472 2 1,0015 1,0158 0,9968 0,1461 1,5827 0,3182 3 1,0001 1,0149 1,0008 0,0140 1,4930 0,0845 4 1,0001 1,0149 1,0008 0,0052 1,4915 0,0841 5 1,0000 1,0149 1,0004 0,0035 1,4913 0,0368 10 1,0000 1,0109 1,0004 0,0032 1,0949 0,0352 15 1,0000 1,0149 1,0004 0,0032 1,0935 0,0351 20 1,0000 1,0149 1,0003 0,0032 1,0865 0,0348 Z przeprowadzonych analiz wynika, że metoda połączonych aproksymacji CA daje bard-zo dobre wyniki zarówno w przypadku małych, jak i dużych zmian w reanalibard-zowanych układach. Na uwagę zasługuje przede wszystkim dokładność i dobra zbieżność obliczeń pierwszej częstotliwości drgań własnych, która dominuje w budynkach z rozpatrywanymi ścianami [9]. We wszystkich rozważanych przypadkach ścian już zastosowanie tylko dwóch wektorów bazowych pozwala na otrzymanie wartości pierwszej częstotliwości z błędem Errf1 mniejszym niż 3%. Zaś użycie pięciu wektorów bazowych powoduje, że błąd Errf1 jest mniejszy od 0,01%.
W przypadku pojedynczego otworu (mała zmiana sztywności) obserwuje się nieco lepszą zbieżność trzeciej częstotliwości drgań własnych niż drugiej. Przy 10-ciu wektorach bazo-wych Errf3 wynosi w przypadku ściany 2.7 m – 1.135%, ściany 5.4 m – 0.330% i ściany 11.7 m – 0.035%, podczas gdy Errf2 w przypadku ściany 2.7 m – 1.425%, ściany 5.4 m – 2.161%, ściany 11.7 m – 1.09%.
Przy serii nowych otworów usytuowanych jeden nad drugim na wszystkich kondygna-cjach (duża zmiana sztywności) potrzeba większej liczby wektorów bazowych, aby osiągnąć wartości ułamka r2 i r3 bliskie jeden. Tutaj nieco lepsze wyniki otrzymuje się w przypadku drugiej częstotliwości drgań.
Generalnie, błędy z jakimi metodą CA wyznacza się wartości drugiej i trzeciej częstotli-wości drgań własnych modernizowanych ścian również są bardzo małe.
Dokładność wyznaczania postaci drgań własnych z użyciem metody CA ilustruje przy-kładowo Rys. 7. Na Rys. 7a pokazano pierwszą postać drgań własnych ściany 5.4 m z poje-dynczym otworem drzwiowym. Przerywaną linią narysowano postać drgań otrzymaną z analizy pełnego układu (dla czytelności rysunku uwzględniono tylko niektóre linie siatki MES). Na tę postać drgań „nałożono” rezultat uzyskany drogą połączonych aproksymacji CA z użyciem pięciu wektorów bazowych (linia ciągła). Postacie drgań wyznaczone na te dwa sposoby praktycznie idealnie się pokrywają, co dodatkowo potwierdza Rys. 7b, na któ-rym zamieszczono w powiększeniu fragment postaci drgań z Rys. 7a.
W przeprowadzonych analizach numerycznych w celu poprawy stabilności rozwiązania, podstawowy algorytm połączonych aproksymacji CA wzbogacono o normalizację i ortogo-nalizację Grama-Schmidta wektorów bazowych, a przy wyznaczaniu wyższych częstotliwo-ści drgań własnych – o przesunięcie widma wartoczęstotliwo-ści własnych [2].
a) b)
Rysunek 7: a) Porównanie pierwszej postaci drgań własnych ściany o szerokości 5.4 m z pojedynczym otworem drzwiowym wyliczonej z użyciem pełnych macierzy sztywności i mas (- - -) oraz metodą CA z pięcioma wektorami bazowymi (—), b) Zaznaczony frag-ment z Rys. 7a w powiększeniu
Zastosowana normalizacja i ortogonalizacja Grama-Schmidta wektorów bazowych miała za zadanie wyeliminowanie zależności liniowej tych wektorów, powodującej złe uwarunko-wanie zredukowanych macierzy sztywności KR i mas MR, a tym samym niestabilność układu równań problemu własnego i duże błędy numeryczne.
Na potwierdzenie tego, na Rys. 8 przedstawiono przykładowe wyniki obliczeń z zasto-sowaną w opracowanym programie normalizacją i ortogonalizacją Grama-Schmida oraz gdyby ją pominięto. Stwierdzono, że gdyby zrezygnowano z normalizacji i ortogonalizacji, to od pewnej liczby wektorów bazowych (np. 12-tu dla przypadku z Rys. 8a i 8-miu dla przypadku z Rys. 8b) następuje pogorszenie dokładności wyników, a przy dalszym zwięk-szaniu liczby wektorów bazowych – niestabilność układu uniemożliwia uzyskanie rozwiąza-nia.
Rysunek 8: Wpływ normalizacji i ortogonalizacji Grama-Schmidta wektorów bazowych na dokładność obliczeń: a) pierwszej częstotliwość drgań własnych dla ściany 2.7m z serią otworów; b) drugiej częstotliwość drgań własnych ściany 5.4 m z pojedynczym otworem
a) b)
Jak wspomniano, przy wyznaczaniu wyższych wartości własnych układu zredukowanego zastosowano przesuniecie widma wartości własnych wg (17). Powoduje to zbieżność od-wrotnej iteracji wektorowej do wartości najbliższej przesunięciu (przesunięcie zera na osi wartości własnych). Wartość przesunięcia nie jest znana a priori, gdyż nie znane są wartości własne. Można ją jednak oszacować wykorzystując np. ciągi Sturma [8]. W niniejszej pracy wystartowano z μ=0. Następnie w kolejnej iteracji przyjmowano przesunięcie równe od-powiedniej częstotliwości drgań otrzymanej w poprzednim kroku. We wszystkich dalszych iteracjach ustalono jako przesunięcie wartości częstotliwości obliczonej przy dwóch wekto-rach bazowych.
Na Rys. 9 przedstawiono przykładowe wyniki przeprowadzonych obliczeń z uwzględnieniem przesunięcia i dla porównania odpowiednie rezultaty uzyskane gdyby tego przesunięcia nie dokonano.
Rysunek 9: Wpływ zastosowania przesunięcia widma wartości własnych na dokładność wyznaczania: a) pierwszej częstotliwość drgań własnych ściany 2.7m z serią otworów;
b) drugiej częstotliwości drgań własnych ściany 5.4m z serią otworów
4. WNIOSKI
Zastosowanie metody połączonych aproksymacji CA do reanalizy zagadnienia własnego modernizowanych ścian budynków pozwala na znaczną redukcję wielkości zagadnienia.
Główną zaletą tego podejścia jest zatem znaczne skrócenie czasu obliczeń, co ma szczególne znaczenie w przypadku problemów z dużą liczbą stopni swobody, wtedy gdy analizuje się różne warianty zmian. Zmniejszenie „wysiłku numerycznego” i zwiększenie szybkości wy-znaczania właściwości dynamicznych ścian (częstotliwości i postaci drgań własnych) nie powoduje zmniejszenia dokładności uzyskiwanych wyników. Błędy aproksymacji CA moż-na uzmoż-nać za pomijalnie małe.
a) b)
LITERATURA
[1] A. Cholewicki, T. Chyży, J. Szulc, Nowe otwory w ścianach konstrukcyjnych budyn-ków wielkopłytowych, Instrukcja 385/2003, ITB, Warszawa 2003.
[2] U. Kirsch, M. Bogomolni, I. Sheinman, Efficient Dynamic Reanalysis of Structures.
Journal of Structural Engineering, ASCE, 133, 3, 440–448, 2007.
[3] U. Kirsch, P. Y. Papalambros, Exact and Accurate Reanalysis of Structures for Geo-metrical Changes, Engineering with Computers, 17, 363-372, 2001.
[4] S. H. Chen, X. W. Yang, H. D. Lian, Comparison of several eigenvalue reanalysis methods for modified structures, Structural Multidisciplinary Optimization, 20, 4, 253–259, 2000.
[5] Bobola K., Tatara T., Drgania budynków prefabrykowanych podlegających działa-niom parasejsmicznym, Inżynieria i Budownictwo, 5, 1983, 198-202.
[6] Release 11.0 Documentation for Ansys, 2007.
[7] Manual Matlab 7.6.0.324, 2008
[8] Lewandowski R., Dynamika konstrukcji budowlanych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej 2006.
[9] Ciesielski R., Kuźniar K., Maciąg E., Tatara T., Empirical formulae for fundamental natural periods of buildings with load bearing walls, Archives of Civil Engineering, 38, 4, 1992, 291-299.
Obliczenia wykonano programem Ansys na komputerze Jowisz, nr grantu: MNISW/HP_I_SD/
AP/007/208 oraz Matlab na komputerze Saturn, nr grantu: MNISW/S_F_6800/AP/007/208 w ACK CYFRONET AGH.
Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej 258, Mechanika 74 Rzeszów-Bystre, 25-27 września 2008