WIBROAKUSTYCZNEJ OBIEKTÓW BUDOWLANYCH
4. ZASTOSOWANIE SVD W ANALIZIE WIBROAKUSTYCZNEJ OBIEKTÓW BUDOWLANYCH NA PRZYKŁADZIE OBIEKTÓW SAKRALNYCH
Szczególne wartości A są nieujemnymi kwadratowymi pierwiastkami wartości wła-snych ATA. Lewe szczególne wektory ui są wektorami własnymi ATA , natomiast prawe szczególne wektory vi wektorami własnymi AAT . Z tego wynika, że lewe szczególne
4. ZASTOSOWANIE SVD W ANALIZIE WIBROAKUSTYCZNEJ OBIEKTÓW BUDOWLANYCH NA PRZYKŁADZIE OBIEKTÓW SAKRALNYCH
Do oceny globalnej w metodzie wskaźnikowej posłużono się pewną zależnością uwzględniającą wagi poszczególnych wskaźników cząstkowych [5, 6]. W celu dokładniej-szego zbadania związków między wskaźnikami cząstkowymi zastosowano technikę SVD.
Założeniem metody wskaźnikowej było sporządzenie pewnych zależności pomiędzy parametrami akustycznymi uzyskanymi z pomiarów na obiekcie rzeczywistym oraz warto-ściami preferowanymi. Opracowane zależności, w postaci wskaźników cząstkowych, przyjmują wartości od 0 od 1. Wskaźniki te wyznaczone dla sześciu badanych kościołów posłużyły do utworzenia macierzy obserwacji A. Kolumny macierzy A są to wartości wskaźników cząstkowych kolejno: Wp, Wb, Wzm, Wzz, Wrn, natomiast wiersze stanowią obiekty sakralne, w których dokonywano badań akustycznych. Rozkład macierzy obser-wacji A względem wartości szczególnych przeprowadzono w środowisku Matlab. Otrzy-mano następujący model obliczeniowy:
(5)
Za pomocą rozkładu macierzy A na wartości szczególne można dokonać redukcji modelu obliczeniowego wybierając najbardziej informacyjne składowe szczególne (wartości szcze-gólne), opisujące stan analizowanego obiektu.
Udziały procentowego wyjaśnienia informacji o niezależnych wskaźnikach poprzez ko-lejne składowe szczególne pokazano na Rys 2.
64.7
Rysunek 2: Zawartość informacji o niezależnych wskaźnikach w macierzy A Z Rys. 2 wynika, że najbardziej informacyjna jest pierwsza składowa szczególna σ1. Zawiera ona 65% ogółu informacji (wyjaśnienia zjawiska) w macierzy obserwacji A. Dru-ga składowa szczególna oraz trzecia stanowią odpowiednio 20% i 10% ogółu informacji.
Dwie ostatnie składowe mają bardzo małe wartości w stosunku do pozostałych i zawierają się w przedziale szumu informacyjnego. Można je więc przy dalszej analizie odrzucić.
Reszta składowych po zsumowaniu wynosi ok. 95 % wyjaśnienia zjawiska, zatem można taki model obliczeniowy zredukować wykorzystując aproksymację rzędu r=3. Wówczas możemy zapisać zależność:
3
Odrzucając dwa ostatnie wskaźniki cząstkowe (zakłóceń zewnętrznych oraz równo-mierności nagłośnienia) odpowiadające najmniej informacyjnym składowym szczególnym,
⎥⎥
utworzono model obliczeniowy zwierający trzy wskaźniki: pogłosowy, brzmienia muzyki oraz zrozumiałości mowy [9, 10].
Po dokonaniu w programie Matlab rozkładu SVD takiej macierzy – udziały procento-wego wyjaśnienia informacji przez składowe szczególne wyglądają następująco (Rys. 3):
87,6
Rysunek 3: Zawartość informacji o niezależnych wskaźnikach w macierzy A1
Pierwsza wartość szczególna jest najbardziej informacyjna. Zawiera ona 88% ogółu in-formacji w macierzy A. Druga wartość szczególna zawiera 10% a trzecia – 2%.
Pierwsza składowa szczególna jest duża w porównaniu z pozostałymi, zatem można model obliczeniowy zredukować wykorzystując aproksymację pierwszego rzędu. Otrzy-many model przybliżony będzie obarczony pewnym błędem, opisanym normą Frobeniusa [10].
Przybliżony model empiryczny uzyskany z aproksymacji pierwszego rzędu (R=1) można przedstawić jako:
vT
Przy doskonałej korelacji wskaźników w macierzy
A
*(współczynniki korelacji r=1) istnieją pewne liczby (pokazane w równaniu (8) i uzyskane z rozkładu SVD – składniki wektorów u1 i v1), przy pomocy których możemy uzyskać macierzA
*. Zawarta jest w nich ta sama informacja, co w macierzyA
*, jednak uzyskujemy ją poprzez ortogonalne wekto-ry u1 i v1. Zauważając, że składniki wektora v1 są przy tym stopniu aproksymacji (R=1), jednakowe dla wszystkich obiektów sakralnych dla poszczególnych wskaźników – może-my je tym wskaźnikom przypisać traktując je jako wagi, które wykorzystane będą przy ocenie globalnej.obiekty sakralne
v1T (wagi) u1
σ1
A*
W tabeli 1 pokazano porównanie badanych kościołów według globalnej oceny: wskaź-nikiem jakości akustycznej obiektów sakralnych
W
JAS* (z wagami tradycyjnymi, opisany-mi w [5]) oraz wskaźnikiem globalnymW
JAS** (z wagami otrzymanymi przy pomocy roz-kładu SVD) opisanego zależnością:62
Wyniki, jakie uzyskano przy pomocy wzoru (9) z nowymi wartościami wag są prawie identyczne jak przy pomocy wzoru tradycyjnego na
W
JAS* .Tabela 1. Porównanie oceny globalnej jakości akustycznej badanych kościołów przy po-mocy wskaźników
W
JAS* iW
JAS** [9]Lp Obiekty sakralne
Wskaźniki Wartości wag
JAS*
W **
WJAS tradycyjne uzyskane z SVD
p*
W Wzm Wb
η1 η2 η3 η1' η2' η3'
1 Św. Sebastiana, Strzelce Wielkie 0,89 0,49 0,67
1 0,5 0,2 0,82 0,32 0,48
0,75 0,75
2 Najśw. Serca Pana Jezusa, Kraków 0,98 0,34 0,6 0,75 0,74
3 Św. Klemensa,
Wieliczka 1 0,34 0,49 0,75 0,72
4 O.O. Jezuitów, Kraków 0,91 0,23 0,42 0,65 0,63
5 O.O. Reformatów, Wieliczka 0,86 0,33 0,48 0,66 0,64
6 Św. Pawła Apostoła, Bochnia 0,11 0,21 0,21 0,15 0,16
Składniki wektora u1 (zależność (8)) zmieniają się w zależności od obiektu sakralnego.
Pomiędzy wektorem u1 a wektorem ai1 (pierwsza kolumna wskaźnikowej macierzy obser-wacji A utworzona przez wskaźnik pogłosowy Wp*) zachodzi zależność [9]:
* 1 0,058 0,416 Wp
u = + ⋅ (10)
Wstawiając zależność (10) do równania (7), po przekształceniach otrzymano zależności na składniki macierzy A* (wartości wskaźników przybliżonych z pierwszej aproksymacji) uzależnione tylko od jednej danej (parametru wejściowego) - wskaźnika pogłosowego Wp*
określone wzorami (11), (12), (13):
*
Po wstawieniu zależności (11), (12), (13) do wzoru na wskaźnik globalny
W
JAS** (zależ-ność (9)) otrzymano wzór na globalny wskaźnik jakości akustycznej przy niepełnej informa-cji, będący w funkcji wskaźnika pogłosowego:1462
Wzór ten wydaje się być bardzo użyteczny, gdy mamy do czynienia z niepełną infor-macją. Należy zaznaczyć, iż ocena globalna przy pomocy wzoru (14) jest oceną przybliżo-ną, zależną od przyjętego rzędu aproksymacji macierzy A, w tym wypadku – pierwszego (r=1). Mając informację o czasie pogłosu, obliczamy tylko wskaźnik pogłosowy Wp* i na podstawie wzoru (14) wyznaczamy wskaźnik globalny, czyli szacujemy na podstawie jed-nego parametru - warunki akustyczne wnętrza sakraljed-nego. Dodatkowo mając tą samą nie-pełną informację – wskaźnik Wp*, jesteśmy w stanie na podstawie wyznaczonych wzorów (12), (13) określić przybliżone wartości pozostałych wskaźników takich jak: wskaźnik brzmienia muzyki oraz wskaźnika zrozumiałości mowy danego obiektu.
W tabeli 2. pokazano zastosowanie wzoru (14) do oceny jakości akustycznej dysponując tylko jednym parametrem – wskaźnikiem pogłosowym.
Wartości otrzymanych wyników porównano z innymi wcześniej opracowanymi wzo-rami na wskaźnik globalny. Z danych zgromadzonych w tabeli 2. można zauważyć, że wzór (14) sprawdza się i daje małe błędy w porównaniu do pozostałych wzorów.
Tabela.2. Porównanie globalnej oceny akustycznej obiektów sakralnych przy użyciu opra-cowanych zależności [64]
Lp.
1 Św. Sebastiana, Strzelce Wielkie 1102 0,89 0,75 0,75 0,73 2 Najśw. Serca Pana Jezusa, Kraków 2750 0,98 0,75 0,74 0,78
3 Św. Klemensa Wieliczka 6380 1 0,75 0,72 0,80
4 Serca Jezusowego, O.O. Jezuitów,
Kraków 9120 0,91 0,65 0,63 0,74
5 O.O. Reformatów, Wieliczka 4455 0,86 0,66 0,64 0,71 6 Św. Pawła Apostoła, Bochnia 22000 0,11 0,15 0,16 0,22