Rozważmy przedsiębiorstwo, którego właścicielami są osoby/podmioty: A, B i C z udzia-łami odpowiednio: 40%, 30% i 30%. Jeżeli decyzje podejmowane są zwykłą większością głosów (51%) i nie istnieją żadne przeszkody we współpracy pomiędzy poszczególnymi właścicielami, można zauważyć, że możliwe jest stworzenie sześciu koalicji (z zachowa-niem odpowiedniego porządku przystępowania do danej koalicji): ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, gdzie A, B i C są poszczególnymi właścicielami. Z punktu widzenia zapewnie-nia sobie realnego wpływu na podejmowane decyzje (zwykła większość – 51%) w każdej z powyższych koalicji ostatni współwłaściciel jest zbędny, natomiast drugi jest krytyczny, ponieważ jego przystąpienie do koalicji przekształca ją z mniejszościowej w większościo-wą. Stąd, ponieważ każdy z właścicieli występuje w roli krytycznego koalicjanta dokład-nie dwa razy, a wszystkich możliwych koalicji jest 6 (3!), dlatego mają oni taki sam poziom siły decyzyjnej (tzn. 2/6, czyli 1/3). Sytuacja jest taka sama, gdy udziały własności będą rozłożone następująco: 2%, 49% i 49%. Pomimo faktu, że właściciel A ma znacząco mniej udziałów w przedsiębiorstwie, jego efektywna siła głosu jest równa pozostałym dwóm. Dla porównania, jeżeli A posiadałby 51% udziałów, wówczas jego siła wynosiłaby 100%. Co się dzieje, gdy A miałby 50% udziałów, a B i C w sumie pozostałe 50% (niezależnie od proporcji)? W takiej sytuacji A nie miałby większości, ale również B i C, zakładając koalicję, nie osiągnęliby większości. Aby móc mieć realny wpływ na działania firmy, tych ostatnich dwóch musiałoby zacząć współpracować z A. Zatem A byłby krytyczny w czterech koali-cjach (BAC, BCA, CAB, CBA), czyli jego siła wynosiłaby 4/6 = 2/3. Podczas gdy B i C byliby krytyczni tylko w jednej koalicji (B w ABC, C w ACB). Stąd ich siła wynosiłaby po 1/6. Wy-liczona w ten sposób wartość nazywana jest indeksem siły Shapleya–Shubika [Shapley, Shubik 1954].
Pewna rada nadzorcza składa się z 5 osób. Jeżeli przewodniczący tej rady będzie miał taką samą liczbę głosów, co pozostali członkowie rady, to czy będzie on miał taką samą siłę, jak w przypadku, gdyby jego stosunek głosów do pozostałych członków rady wynosi 2:1, np. przewodniczący 2 głosy, podczas gdy pozostali członkowie – po jednym głosie?
76
Jeżeli strukturę decyzji grupowej zapisano by w postaci {d; u1, u2, …un}, gdzie d – reguła decyzyjna (np. zwykła większość, czyli 51%), a u1, u2, … un – liczba głosów po-szczególnych decydentów, to formalnie występują tu dwie różne struktury decyzji gru-powych:
1. {51%; 1, 1, 1, 1, 1}, przy czym zwykła większość przy 5 głosach wynosi 3 głosy 2. {51%; 2, 1, 1, 1, 1}, przy czym zwykła większość przy 6 głosach wynosi 4 głosy W każdej z powyższych sytuacji istnieje 5! = 120 różnych koalicji. Zarówno w pierw-szym, jak i w drugim przypadku koalicje wygrywające składają się z minimum 3 członków rady nadzorczej. Przy czym w pierwszym przypadku mogą to być dowolni członkowie, natomiast w drugim – aby koalicja mogła być większościowa, musi w niej uczestniczyć przewodniczący. W przeciwnym wypadku konieczne jest zawarcie koalicji między czte-rema członkami rady. Zatem przydzielenie przewodniczącemu jednego głosu więcej spowodowało, że o ile jego nominalny stosunek głosów został ustalony na 2:1, o tyle rzeczywista siła mierzona za pomocą indeksu Shapleya–Shubika wynosi 2,67:1. Jest więc znacznie większa. Podstawowy wniosek płynący z tych rozważań jest taki, że każda zmiana w strukturze ciała decyzyjnego (w tym przypadku rady nadzorczej) powinna być starannie przemyślana wraz z oszacowaniem jej skutków i skonfrontowaniem z zamie-rzonym celem.
Innym miernikiem siły jest opracowany przez Johna Banzhalfa i Johna Colemana, indeks nazwany ich nazwiskami (indeks Banzhalfa–Colemana) [Turnovec, Motylska-Kuź-ma 2002; Bertini, Stach 2011]. Jego twórcy zastosowali nieco inną logikę. Rozważane są zgodnie z nią wszystkie możliwe koalicje wygrywające. Każda z nich jest analizowana w celu znalezienia uczestników krytycznych wobec takiej koalicji, tzn. tych, którzy po-przez zmianę swojego głosu z „tak” na „nie” mogą zmienić pozycję koalicji z wygrywa-jącej na przegrywającą.
Wracając do przykładu przedsiębiorstwa i jego trzech właścicieli: A, B i C, jeżeli regu-ła decyzyjna wygląda następująco: {51%; 50%, 20%, 30%}, to można zauważyć, że wy-stępują trzy koalicje wygrywające: ABC, AB = BA, AC = CA. W koalicjach tych właściciel A występuje w roli krytycznego uczestnika 3 razy, B – 1 raz i właściciel C również 1 raz. Daje to 5 wystąpień, a więc zgodnie z indeksem Banzhalfa–Colemana, siła A = 3/5, B = 1/5 i C = 1/5. Zatem również tutaj siła właściciela A jest znacząco wyższa od siły pozosta-łych właścicieli.
Ukazanie faktycznej siły decyzyjnej danego uczestnika grupy, koalicjanta czy właści-ciela jest jedną z największych zalet indeksów siły. To, co na pierwszy rzut oka wydaje się właściwym podziałem władzy czy kontroli, po przeliczeniu może okazać się zupełnie błędnym podejściem. Jednak każde narzędzie ma również swoje wady. W przypadku indeksów siły są to pewne paradoksy, o których warto pamiętać. Do najczęściej wymie-nianych należą: paradoks wielkości, kłótni i ilości [Mercik 1999].
Paradoks wielkości związany jest z łączeniem decydentów w koalicje. Wbrew oczeki-waniom w niektórych przypadkach wejście do koalicji powoduje, że dany decydent traci na swojej sile. Wydawałoby się, że siła koalicji powinna być sumą siły poszczególnych ko-alicjantów. Tak jednak nie jest. Można to przeanalizować na przykładzie pewnego zarzą-du przedsiębiorstwa z regułą decyzyjną zapisaną w następujący sposób {4; 2, 2, 1, 1, 1}.
W tabeli 1 zebrano siłę decyzyjną poszczególnych decydentów, stosując indeks Sha-pleya–Shubika (ze szczególną uwagą zwróconą na tych posiadających po jednym gło-sie), gdy działają oni osobno i gdy zawierają koalicję.
Można zauważyć, że decydenci a, b i c, działając osobno, zgodnie z indeksem Sha-pleya–Shubika, mają większą siłę decyzyjną (0,133∙3 = 0,399) niż w sytuacji, gdy zawiązali koalicję, czyli działają wspólnie (0,333). Jest to sprzeczne z powszechnym oczekiwaniem, że zawarcie koalicji powinno wzmocnić ich siłę. Zatem, tutaj: większy może mniej. Tabela 1. Wartość indeksu siły Shapleya–Shubika dla przykładu z paradoksem wielkości
Głosujący Liczba głosów Indeks siły Shapleya –Shubika {c}, {d}, {e}
Indeks siły Shapleya–Shubika działanie łączne {c, d, e} a 2 0,300 0,333 b 2 0,300 0,333 c 1 0,133 0,333 d 1 0,133 e 1 0,133 Źródło: Mercik 1999, s. 28.
Paradoks wielkości występuje bardzo często. Jedyna pewna sytuacja, w której do niego nie dojdzie, to koalicja, która będzie miała więcej głosów niż wymagana w danej regule decyzyjnej. Zgodnie z indeksem Shapleya–Shubika koalicja taka ma wartość siły 1, a ponieważ jest to najwyższa z możliwych wartości, jeżeli nawet suma wartości siły poszczególnych członków takiej koalicji byłaby większa od jedności, to i tak rzeczywiste oddziaływanie byłoby określone na poziomie 1.
Kolejnym paradoksem jest paradoks kłótni. Wydawałoby się, że jeżeli ograniczymy możliwość zawierania koalicji, np. z powodu konfliktów pomiędzy decydentami, które uniemożliwiają współpracę, wówczas decydenci skonfliktowani będą mieli mniejszą wartość indeksu siły. Okazuje się jednak, że tak nie jest.
Niech rada nadzorcza pewnego przedsiębiorstwa składa się z czterech członków: przewodniczącego z 4 głosami, zastępcy przewodniczącego z 2 głosami oraz dwóch członków zwykłych, każdy z jednym głosem. Jeżeli decyzje zapadają zwykłą większo-ścią (51%), struktura decyzyjna będzie wyglądała następująco: {5; 4, 2, 1, 1}. Zakładając, że
78
między zwykłymi członkami rady (tymi z jednym głosem) występuje konflikt uniemoż-liwiający im wejście do jednej koalicji, wyniki wyliczeń indeksu Shapleya–Shubika będą wyglądały tak, jak w tabeli 2.
Tabela 2. Wartość indeksu siły Shapleya–Shubika dla przykładu z paradoksem kłótni Głosujący głosówLiczba
Indeks siły Shapleya–Shubika
bez kłótni z kłótnią pomiędzy c i d z kłótnią pomiędzy b, c i d
a 4 0,7500 0,6250 0,5000 b 2 0,0833 0,1250 0,1666 c 1 0,0833 0,1250 0,1666 d 1 0,0833 0,1250 0,1666 RAZEM 8 0,9999 1,0000 0,9998 Źródło: Mercik 1999, s. 30.
Sytuacja konfliktowa przyniosła w tym przypadku wszystkim decydentom, oprócz pierwszego (nieskonfliktowanego), same korzyści. Ich możliwość wpływu na końcowy wynik decyzji jest większy niż w przypadku braku konfliktu. Paradoksalnie „kłótnia” wzmacnia wpływy decyzyjne osób skonfliktowanych.
Ostatnim z wymienionych powyżej paradoksów jest paradoks ilości. Jest on zwią-zany z dołączeniem do danej grupy decyzyjnej kolejnego lub kolejnych decydentów. Zgodnie z oczekiwaniami takie rozszerzenie grupy decyzyjnej powinno spowodować, że nowi jej członkowie otrzymają możliwość decydowania kosztem proporcjonalnego pomniejszenia indeksów wszystkich pozostałych decydentów. I tu ponownie okazuje się, że nie zawsze tak jest.
Do zarządu pewnego przedsiębiorstwa, który składał się do tej pory z czterech członków (prezesa – 8 głosów, dyrektora – 5 głosów oraz dwóch członków zwyczajnych – każdy po 2 głosy), dołączono kolejną osobę, przydzielając jej 1 głos. Konsekwencją takiego działania jest zmiana wartości zwykłej większości. Jeżeli wcześniej do podjęcia decyzji wystarczyło 9 głosów (51% z 17 głosów = 8,67, czyli 9 głosów), to po zmianie konieczne jest już zebranie 10 głosów (51% z 18 głosów = 9,18, czyli 10 głosów). Wyniki obliczeń indeksu siły zebrano w tabeli 3.
Tabela 3. Wartość indeksu siły Shapleya–Shubika dla przykładu z paradoksem ilości Głosujący
Przed rozszerzeniem zarządu Po rozszerzeniu zarządu liczba głosów Indeks siły Shapleya–Shubika liczba głosów Indeks siły Shapleya–Shubika
a 8 0,5000 8 0,5500 b 5 0,1666 5 0,1333 c 2 0,1666 2 0,1333 d 2 0,1666 2 0,1333 e - - 1 0,0500 RAZEM 17 0,9998 18 0,9999 Źródło: Mercik 1999, s. 32.
Z tabeli 3 wynika, że dołączenie do zarządu kolejnego decydenta znacząco zwięk-szyło wartość wpływu prezesa, choć nowy członek zarządu posiada tylko jeden głos, tj. mniej niż 6% wszystkich głosów. Można by się było spodziewać, że podniesienie wyma-ganej minimalnej liczby głosów do podjęcia decyzji raczej przysporzy kłopotów „sta-rym” jej członkom, ale z powyższych wyliczeń wynika, że tak nie jest.
Podejmowanie decyzji na podstawie zwykłej większości może podlegać manipula-cjom. Wprowadzenie nowego członka do grupy decyzyjnej, takiej jak rada nadzorcza czy zarząd, może być bagatelizowane przez pozostałych jej członków i uważane za mało istotne, podczas gdy w rzeczywistości znacząco zmienia układ sił i wpływ na wynik koń-cowy decyzji [Bertini, Gambarelli, Stach 2015].