Modele wektorowej autoregresji (VAR)

W latach 70. XX wieku brakowao alternatywy modelowania wielorów-naniowego, pomimo e metody modelowania szeregów czasowych rozwijay si

dynamicznie. Dopiero w 1980 roku opublikowano prac C. Simsa, w której au-tor zaproponowa podstawy nowej metodologii modelowania wielorównanio-wego, tj. model wektorowej autoregresji – VAR (ang. Vector AutoRe-gressive)¹²⁶.

C. Sims twierdzi, e model Komisji Cowlesa, skadajcy si z duej

ilo-ci równa, wymaga nieprawdopodobnych zaoe identyfikujcych. Dlatego jego alternatywnym podejciem jest szacowanie niewielkich ukadów równa, w których kada zmienna jest modelowana jako funkcja opónie wszystkich zmiennych w ukadzie¹²⁷.

Do podstawowych rónic pomidzy metodologi modelowania C. Simsa a klasycznym modelem strukturalnym, sformuowanym przez Komisj Cowlesa, zalicza si¹²⁸:

1) brak podziau a prori na zmienne endogeniczne i egzogeniczne;

2) brak zerowych ogranicze;

3) brak cisej (priorytetowej w stosunku do modelowania) teorii ekonomicznej, na której oparty jest model.

Pierwsza zasada metody modelowania ekonometrycznego, któr zapropo-nowa C. Sims, wynika z zaoenia, e kada zmienna zastosowana w badaniu, tworzy osobne równanie modelu. Zatem nie ma takiej koniecznoci, aby dzieli zmienne na zmienne endogeniczne i egzogeniczne. Nie jest równie potrzebne nakadanie restrykcji zerowych, w celu osignicia identyfikacji systemu, po-niewa rol zmiennych objaniajcych peni wycznie opónienia wszystkich zmiennych zastosowanych w badaniu¹²⁹.

Dwie pierwsze zasady modelowania przyczyniaj si do tego, e ze wzgldu na brak zerowych ogranicze oraz brak specyfikacji zmiennych egzo-genicznych, kwestia identyfikacji po prostu nie wystpuje. Natomiast zasada trzecia jest w istocie implikacj dwóch poprzednich. E. Kuside twierdzi, e:

„Jeli nie ma adnych zmiennych endogenicznych wyrónionych z równa mo-delu i jeli adnej nie mona nazwa egzogeniczn, to wszystko jest przyczyn



126 E. Kuside (2000), Modele wektorowo-autoregresyjne VAR. Metodologia i zastosowania [w:] red. B. Suchecki, Dane panelowe i modelowanie wielowymiarowe w badaniach ekono-micznych, Wydawnictwo Absolwent, ód, s. 10.

127 C. Sims (1980), Macroeconomics and reality, „Econometrica”, 48(1).

128 E. Kuside (2000), jw., s. 10.

129 Tame, s. 10.

wszystkiego i nie ma miejsca na nakadanie jakichkolwiek hipotez ekonomicz-nych, poza bardzo ogólnymi, przyjmowanymi jako punkt pocztkowy”¹³⁰.

W zwizku z tym, e nie ma zmiennych egzogennych, reakcja wyraona jest w zakresie wartoci bdu lub szoku, co oznacza, e jest ona okrelona w zakresie nieprzewidywalnego skadnika wydatków rzdowych lub wpywów podatkowych, a nie w zakresie danej zmiany, zachodzcej w kadym z tych in-strumentów¹³¹.

Nie ma powodu, dla którego charakter szoków powinien wynika z reku-rencji. Metody alternatywne obejmuj ograniczenia dugoterminowe, przy czym jedna zmienna nie oddziauje przez szok na inn zmienn w dugim okresie.

Pionierami takiego podejcia byli O. Blanchard i D. Quah¹³². Ograniczenia krót-koterminowe mog by równie wczone w taki sposób, e szok dla jednej zmiennej nie bdzie mia bezporedniego wpywu na inne, tak jak uwaali R. Clarida i J. Gali¹³³. O. Blanchard i R. Perotti uywali cech instytucjonalnych, dodajc dodatkowe ograniczenia¹³⁴. Jednak inne rodzaje ogranicze, które za-wieraj negatywne lub pozytywne reakcje, s równie moliwe¹³⁵. V. Ramey skupia si na informacjach o wydatkach na obron, jako sposobie obejcia pro-blemów identyfikacji szoków egzogennych¹³⁶. We wszystkich tych przypadkach wiarygodno wyników zaley od tego, jak waciwe s ograniczenia identyfi-kujce – w tym ograniczenia dotyczce liczby istotnych równa. Metoda VAR zazwyczaj wykorzystuje stosunkowo mao równa, z powodu duej liczby pa-rametrów, które musz by oszacowane¹³⁷.

Modele VAR zaliczane s do empirycznych oszacowa, szeroko wyko-rzystywanych do wyznaczania wielkoci mnoników fiskalnych. Uzasadnia si

je tym, e zmienne, które maj znaczenie (dochody, wydatki, produkcja, stopy procentowe i inflacja) s ze sob powizane i zachodzi pomidzy nimi wiele zwizków przyczynowych. Istotnym wyzwaniem w tej metodzie jest izolowanie



130 Tame, s. 10.

131 M. Chinn (2013), jw.

132 O. Blanchard, D. Quah (1989), The Dynamic Effects of Aggregate Demand and Supply Disturbances, „American Economic Review”, 79(4).

133 R. Clarida, J. Gali (1994), Sources of Real Exchange Rate Fluctuations: How Important are Nominal Shocks?, Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy, Vol. 41.

134 O. Blanchard, R. Perotti (2002), An Empirical Characterization of the Dynamic Effects of Changes in Government Spending and Taxes on Output, „Quarterly Journal of Economics”, Vol. 117, No. 4.

135 A. Mountford, H. Uhlig (2009), What are the effects of fiscal policy shocks?, „Journal of Applied Econometrics”, 24(6).

136 V. Ramey (2011), Can Government Purchases Stimulate the Economy?, „Journal of Eco-nomic Literature”, 49(3).

137 M. Chinn (2013), jw.

egzogennych szoków fiskalnych¹³⁸. Do przeomowych prac w tym temacie mona zaliczy prac O. Blancharda i R. Perotti’ego, w której zastosowano me-tod identyfikacji strukturalnej (zwan równie SVAR). W metodzie tej stosuje si róne zaoenia identyfikujce, aby wyodrbni szoki strukturalne i oszaco-wa ich wpyw na PKB¹³⁹.

A. Baum, M. Poplawski-Ribeiro i A. Weber przyjmuj, e na wektor autoregresji skadaj si trzy zmienne: realny PKB, realne przychody netto i realne wydatki netto (podobnie jak w przeomowej pracy O. Blancharda i R. Perotti’ego). Dochody netto s równe cakowitym przychodom budetowym pomniejszonym o transfery netto, natomiast wydatki rzdowe zawieraj inwe-stycje i konsumpcj sektora instytucji rzdowych i samorzdowych (ale nie obejmuj transferów i dotacji)¹⁴⁰.

Wród badaczy istnieje znaczna rónica zda dotyczca tego, jak naley

czy wielko mnoników fiskalnych z identyfikacj szoków fiskalnych. Pro-blem tej identyfikacji pojawia si, poniewa istniej dwa moliwe kierunki przyczynowoci¹⁴¹:

1) wydatki rzdowe mog wpywa na produkcj

2) produkcja moe wpywa na wydatki rzdowe (np. przez automatyczne stabi-lizatory i ukryte lub jawne zasady polityki)

Jednym z gównych podej , jakie wykorzystuje si w celu rozwizania tego problemu identyfikacji, jest podejcie strukturalnego wektora autoregresji (SVAR), które po raz pierwszy zostao uyte do badania polityki fiskalnej przez O. Blancharda i R. Perotti’ego¹⁴².

Podstawowym zaoeniem podejcia SVAR jest to, e polityka fiskalna wymaga jakiego czasu (zakada si, e co najmniej jednego kwartau), aby od-powiedzie na wiadomoci o stanie gospodarki. Zakada si, e VAR suy do wyeliminowania przewidywalnych reakcji wystpujcych midzy dwiema zmiennymi, a wszelkie pozostae korelacje pomidzy nieprzewidzianymi ele-mentami wydatków rzdowych i produkcji wynikaj z wpywu wydatków rz-dowych na produkcj¹⁴³.



138 N. Batini i in. (2014), jw., s. 21.

139 O. Blanchard, R. Perotti (2002), jw.

140 A. Baum, M. Poplawski-Ribeiro, A. Weber (2012), Fiscal Multipliers and the State of the Economy, IMF Working Paper, WP/12/286, s. 8.

141 E. Ilzetzki, E. G. Mendoza, C. A. Vegh (2010), How Big (Small?) are Fiscal Multipliers?, NBER Working Paper, No. 1647, s. 3.

142 O. Blanchard, R. Perotti (2002), jw.

143 E. Ilzetzki i in. (2010), jw., s. 4.

E. Ilzetzki, E. G. Mendoza i C. A. Vegh, w oparciu o prac O. Blanchar-da i R. Perotti’ego, oszacowali nastpujcy ukad równa¹⁴⁴:

¦^{K  }

gdzie Yn,t jest wektorem zmiennych, zawierajcym zmienne wydatków rzdo-wych (np. konsumpcj rzdow i/lub inwestycje), PKB oraz inne zmienne egzo-genne (rachunek biecy, realny kurs walutowy i stopy procentowe ustalone przez bank centralny) dla danego kwartau t i kraju n. C_k jest macierz efektów wasnych i krzyowych przy opónieniu k^th zmiennych w ich biecych obser-wacjach. Macierz B jest diagonalna, tak e ut jest wektorem ortogonalnym, a szoki konsumpcji rzdowej i produkcji maj taki sam niezaleny rozkad, taki,

e Eu_n,t 0 i E [u_n,tu'_n,t] jest macierz jednostkow. Natomiast w macierzy A zachodz równoczesne efekty midzy endogenicznymi zmiennymi Y_n,t. E. Il-zetzki i wspópracownicy zakadaj, e macierze A, B, i Ck maj niezmienne wartoci w czasie i w poszczególnych krajach. Wyniki ich bada s odporne na specyfikacje „midzynarodowego VAR”, gdzie zmienne endogeniczne duych krajów w próbie s wykorzystywane jako egzogenne nakady do szacowania równa innych krajów¹⁴⁵.

W standardowej specyfikacji E. Ilzetzki’ego i wspópracowników przed-stawiony powyej ukad moe by oszacowany przez panel regresji OLS, który to pozwala oszacowa macierze A^1C_k. Jak to zwykle bywa w szacowaniu SVAR, dodatkowe zaoenia identyfikacyjne s wymagane w celu oszacowania wspóczynników w macierzy A i B. W wyznaczeniu regresji, która jest dwuwy-miarow regresj rzdo-w i produkcj, E. Ilzetzki i wspópracownicy kierowali si prac O. Blancharda i R. Perotti’ego, zakadajc, e zmiany w konsumpcji rzdowej wymagaj co najmniej jednego kwartau, aby zareagowa na innowacje w produkcji. Jest to równowane z rozkadem Choleskiego z g_t uszeregowan przed y_t lub z zaoe-niem, e A ma posta

E. Ilzetzki i wspópracownicy zdecydowali si poczy dane w poszcze-gólnych krajach, a nie oszacowywa je odrbnie. Z wyjtkiem nielicznych kra-jów, prób dla typowego pastwa jest okoo dziesi lat, z których otrzymuje si

okoo czterdziestu obserwacji. Dlatego te wykorzystuj oni wiksz prób,

po-

144 Tame, s. 5.

145 Tame, s. 5-6.

146 Tame, s. 6.

wsta z poczenia danych, z której prawie zawsze otrzymuj ponad tysic ob-serwacji. Próby podzielone s na wiele grup, m.in. na: kraje o wysokich docho-dach kontra rozwijajce si, kraje o z góry okrelonych kontra elastycznych kur-sach wymiany walut, kraje otwarte kontra zamknite. Po podziale dokonywana jest ocena i porównanie mnoników fiskalnych w rónych kategoriach¹⁴⁷.