Dowodymatematyczneredaguje się skrótowo. Tekst takiego dowodu- jak to już podkreślano -jest raczej tylko zwięzłą instrukcją, w jaki sposób należy prze
prowadzaćrozumowanie. Autentyczna lektura jest więc procesemw dużej mierze heurystycznym, działalnością odkrywczą. H. Freudenthal wypowiedział kie dyśuwagę podzielaną równieżprzez innych, że niektórzy zawodowimatematycy - cżytając tekst dowodu - starająsię jak najmniej korzystać z gotowych sformu łowań autora, prowadząwłasne rozumowanie, odkrywając drogę niemal w cało ści. Dopiero później konfrontują swoją wizję ztekstem. Zwykły czytelnik wyko
rzystuje cały tekst, choć i tak musi wykonywać wiele działań o charakterze od krywczym.Według opiniipodzielanych przez niektórychmatematyków i logików mająone inną naturę niżwykonywane jużpo akcie twórczymformalne operacje logiczne. Charakterystycznąopinię wypowiada A. Mostowski: „Umysł ludzki pracuje najwyraźniej w świecie inaczej niż maszyna i nie należy sądzić, że do
wody matematyczneredukują się dopraw logiki. Dowód matematyczny jest czymś o wielebardziej skomplikowanymniż proste następstwo elementarnych prawideł zawartych w tzw. regułach wnioskowania”. ([82], s. 83).
Analiza materiałów źródłowych ujawnia,że teksty dowodów, mimo skrótowo-ści, zawierają komponenty i zabiegiredakcyjne służące inspiracji działań heury 103
stycznych, wychodzące naprzeciw twórczej rekonstrukcji. Organizują więc dzia
łania czytelnika poza warstwą„czystej logiki”. Autor tekstu podaje nie tylkogotowy rezultat ujęty w logiczny schemat, lecz także - przygotowując akt odkrycia - sugeruje odbiorcy, jak on sam mógłby taki wynikznaleźć. Schematy logiki i go
towe rezultaty bowiem nie zawierają informacji o sposobach ich wykrywania.
Specyficznym zabiegiem tego typujest tworzenie i włączanie do tekstu pla nówpostępowania. Mają one charakter bezpośrednich dyspozycji lub też często jedynie pośrednich sugestii, ale zawsze kreślą pewną wizję działań. Interesujące jest nie tylkoto, że w tekstachdowodów występują plany. Wiąże się z nimi ogól niejsza ipełniejsza idea.Analizapokazuje, że zasięg działania planu bywa w jakiś sposób sygnalizowany. Oznaczato, iż moment zakończenia realizacji planujest wtekście zaznaczony, co, oczywiście, wymaga użycia specjalnego sygnału (po
wiadomienia,wyznacznikagranicy, delimitatora itp.). Takie powiadomienia, usy
tuowane na końcu (czyli na drugim biegunie) fragmentu rozpoczętego planem, nawiązują wyraźnie lub pośrednio do macierzystego planu.
Fragmenttekstu rozpoczęty planem, tj. wizjąokreślonych działań, i zamknię ty delimitatorem odniesionym do tego planu nazywamy obszaremukierunkowa
nia czytelnika przezplan lubkrótko - obszarem ukierunkowania (por. [48], s. 61).
Plan wraz z odniesionym doń i umieszczonym na drugim biegunie sygnałem oznaczającymzakończenie sekwencji postulowanych działań jest oczywiście ramą delimitacyjną (por. podrozdział 6.2). Nie każda jednakrama delimitacyjna wydziela obszar ukierunkowania. Jest nim tylko taki fragment, w obrębie którego autor oddzielnie inspiruje czytelnika do działań heurystycznych.
Czytając ów fragment, odbiorca tekstu ma więc (powinien mieć) poczucie zorganizowanych i ukierunkowanych działańzmierzających do wyznaczonego celu.
Z chwiląjego osiągnięcia utwierdza się- między innymi przez spojrzenie wstecz - o wykonaniu zamierzenia. Można sądzić, żetaka świadomość celu jest okolicz
nością sprzyjającą kolejnym aktom odkrywczym,nawet jeśli ichrezultatyczęściowe są jeszcze odległe od końcowego efektu.
Scharakteryzowane prawidłowości budowytekstu zilustrujemy przykładem. Dla celówanalizy w cytowanym tekściedokonujemy nieistotnych zmian,którezosta
ną dalej objaśnione. Rys. 12 przeniesiony jest niżej. Oto zapożyczony z mono
grafii [69] (s. 65) tekst dowodu twierdzenia Cantora-Bemsteina:
Jeśli m < n i n < m ,to m = n
dla dowolnych liczb kardynalnych m, n.
Dowód. Niech X = m. Ponieważ n < m, zbiór X zawiera podzbiór Y mocy ń. Ponieważzaś m <n, zbiór Xjest równej mocy zjakimś podzbioremzbioru Y, tj. istnieje funkcja różnowartościowaf określona na X i taka, że
(29) /(AjcTcA.
104
Należy określić funkcję g. która przekształca X na Yw sposób równowartościowy.
Przyjmijmy
(30) Z=F-/(Ą 5= Zu/(Z) u#(Z) u ... (rys.12).
Funkcję g określimy jak następuje:
(31)
i x dla xeS dla xeX-S.
Udowodnimy przede wszystkim, że zachodzi równość
(32) g(X) = Y.
Ponieważ 5 c X, więc
(33) X=Su(X-S).
A zatem
(34) g(X) = g(S) u g(X- S) = S uf(X- S) na mocy (31). Zarazem (wobec wzoru (30) i wzoru (14) r. IV):
/(5) =/(Z) u#(Z) ^Jff(Z) u... , a więc stosownie do (30)
(35) S=Z<jf(S).
Stąd na mocy (34) i (35) dostajemy równości
g{X) = 5 u/(%- 5) = Z u/(5) vf(X-S) = Z u/(A), lecz ze względu na (30):
Zu/W = [F-/W] u/(A) = Y.
W.ten sposób wzór (32) został udowodniony.
Pozostaje.do wykazania, że funkcja g jest róźnowartościowa.
Ponieważ funkcja g jest róźnowartościowa na każdym ze zbiorów S i X- S z osobna, powinniśmy udowodnić, że
(36) g(5) ng(X-S)= 0.
Otóż na mocy (31):
(37) g(S)=S i g(X-S)=f(X-S)=f(X)-f(S);
zarazem f (X)= f (X)- Z (oo f(X) r\ Z= & więc /(A)-/(S)=/(*)-[Zu/(S)] = /(A)-5 ze względu na (35).
Mamy więc S n [f (X) - f (5)] = </>, stąd wzór (36) na mocy (37). ten sposób wzór Cantora -Bernsteina został udowodniony.
105
Wspomniane wcześniej zmiany,wprowadzone do oryginalnego tekstu celem ułatwieniajego szczegółowej analizy, polegają przedewszystkimna wyróżnieniach i obramowaniu niektórych części.
Takwięc zastosowanoprostokątne ramki, kursywę i podkreślenia, których nie ma w oryginale, zachowując wiernie pozostałe komponenty, w tym numerację i układ wierszy (architekturę strony) cytowanego tekstu dowodu.
A oto - wyłączony ze względów technicznych zoryginalnego tekstu - rys. 12.
Interpretacja symboli występujących w dowodzie jest tu następująca: Xjest naj większym prostokątem, Y- drugim z rzędu,/(X) - trzecim itd., X-S jest to część zaciemniona.
Rys. 12
Tekstrozpoczyna się od akapitupoświęconego między innymi wprowadzeniu potrzebnych oznaczeń; ten fragment kończący się formułą(29) poprzedzazasad
niczączęść dowodu.
Przystępując do komentarza dotyczącegogłównej częścitekstu, zwróćmy uwa
gę, że rozpoczyna się ona od planu:
„Należy określić funkcję g, która przekształca Xna Yw sposób różnowartościowy.”
Plan ten równocześnie pełni funkcję wyznacznika granicy, który wraz z usy- t iowaną na drugim biegunie formułą finalną:
„W ten sposób wzór Cantora-Bemsteina został udowodniony”
tworzyramę delimitacyjną i przede wszystkim wyodrębnia główny obszar ukie runkowania. W cytowanym tekście obszar ten reprezentujemy graficznie za po
mocąnajwiększegoprostokąta. Formuły - incipitowa, czyli inicjalna, oraz finalna - wyznaczające ten obszar, zostałyna użytekwspomnianego komentarzadodat
kowo wyróżnione (kursywa i podkreślenie linią).
Autor włącza do tekstu również plany etapowe. Rolę takiego planu lokalnie 106 ukierunkowującego pracę czytelnika odgrywa zapowiedź:
„Udowodnimy przede wszystkim, że zachodzi równość g(A) = T.”
Wraz ze zdaniem zamykającym:
„W ten sposób wzór (32) został udowodniony”,
którenawiązuje do tegoplanu,zapowiedźta wyodrębnia mniejszy obszar będący podobszarem głównego obszaru ukierunkowania. Drugi taki podobszar ukierun
kowaniarozpoznajemy we fragmencie rozpoczynającym się od słów:
„Pozostaje do wykazania ...” ; jest on zamknięty stwierdzeniem:
„Stąd wzór (36) na mocy (37).”
W klasycznychpodręcznikach i monografiachmatematycznych obserwujemy tendencję do takiego redagowania tekstu, aby konstruowane w nim obszary ukie runkowania pokrywały cały tekst.
Zawarte w danym obszarze ukierunkowania podobszary tworząwraz z nim oraz pozostałymi pewien system. Otwierające je formuły nawiązują bowiemw jakiś sposób do siebie, sygnalizując podrzędność (nadrzędność) części tekstu i hierar
chię fragmentów konstrukcji dowodowej.
Systemobszarów ukierunkowania stajesię ważnym narzędziem wręku autora i może funkcjonować w procesie lekturyjako istotny środek kierowania pracą czytelnika. Nie tyle więc włączanie planów do tekstu, ile właśnie konstruowanie obszarów ukierunkowania, nie tyle wypisanie założeń, ilezbudowanie widocznych obszarów założeniowych stanowią charakterystyczne zabiegi redakcyjne w two rzeniu tekstu dowodu matematycznego.
W rutynowej lekturze tekstu matematycznego cała uwaga czytelnika jest skie
rowana raczej na odbiór informacji merytorycznych, a więc dotyczących bezpo
średnio przedmioturozumowania, absorbuje jąprzede wszystkimtreść studiowa nego tekstu. Nawet zaawansowanyczytelnik tekstu dowodu nie zwraca specjalnej uwagi na to, jak funkcjonują delimitatory ijakie systemy obszarów ukierunkowa
nia (bądź założeniowych) zostały skonstruowane. Tych elementów z reguły nie postrzega sięjako odrębnych komponentów w tekście bez specjalnego nastawie
nia na jego analizę (wszakcelowaanaliza budowy tekstui zwykła lektura to dwie różne rzeczy).
Warunkiem prawidłowego przebiegu procesu lektury niejest wcale zwerba
lizowane wyodrębnienie przez czytelnika delimitatorów i obszarów, lecz jedynie reagowanie na te sygnały. Czytelnik już wyszkolony robi użytek zkażdego sygna
łu i prawidłowo ujmuje obszary. Profesjonalista natomiastnie potrzebuje specjal
nego ukierunkowania. Status wyrażeń dowodowych doskonale rozpoznaje na pod stawie ichtreści i całą „resztę” niezbędną wmyślowej rekonstrukcji dowodutworzy 107
sam. W odmiennej sytuacji jestktośpoczątkujący. Można sądzić, iż poczucie, że działa onna danym obszarzeukierunkowania bądźteżpróbuje odtworzyćłańcuch wnioskowań w obrębie danego obszaru założeniowego jest mu potrzebne, a na
wet konieczne, dla prawidłowego określenia miejsca i roli każdego kroku dowo
dowego oraz dla przewidywania następnych ogniw. Jest mu potrzebne również i dlatego, aby - używając słów J. Hadamarda -zebraćte kroki razem, utwo rzyć z nich całość, tj. osiągnąć syntezę.
Obszary ukierunkowania, choćsącharakterystycznym komponentem budowy dowodów, mogąwystępować nietylko w tekstach specjalnie wyodrębnionych jako klasyczne dowody i opatrzonych przez autora hasłem „Dowód”. Znajdujemyjena przykład w opisach złożonych konstrukcji geometrycznych. Wszędzie tam, gdzie się przedstawia na piśmie pewne rozumowaniewrazzmotywacją poprawności po
szczególnych krokówmożliwe jest skonstruowanie w tekście obszarówukierun
kowania.
Sterowanie pracą czytelnika i organizowanie jego działań heurystycznych nie sprowadza się do segmentacji oraz budowy obszarów (założeniowych i ukierun kowania). W tekstach matematycznych występują nieraz drobne, z pozoru nic nie znaczące elementy mogące pełnić istotną funkcję w ostatecznej, merytorycznej rekonstrukcji dowodu(przykładu, procedury postępowania itp). Możnabynawet sądzić, że są one podyktowane jedynieregułamistylu bądźzawdzięczają swą obec ność w tekście preferencjom lub redakcyjnym upodobaniom autora. Już choćby takidrugorzędny fakt, jak występowanie w różnych miejscach słówek„podobnie”,
„łącznie”, „ostatecznie” itp. może mieć w toku lektury znaczenie, jeśli są one- według obrazowego i bardzo trafnego określenia N. E. Steenroda [118] - strategicznierozmieszczone w tekście. Bliższa obserwacja roli tego typu kompo
nentów (na przykład przez usunięcie z tekstu, próby zastąpienia innymi, porów
nywanie ich pozycji w analogicznych fragmentach różnych tekstów) pozwala sądzić, że tarola może być znacząca. Jej ukazaniewymagałoby jednak drobiaz
gowych analiz, między innymi lingwistycznych, czego tutaj nie zakładamy.
Nazakończeniewarto uwypuklić zasadnicząróżnicę między obszarami zało żeniowymi a obszaramiukierunkowania. Pierwsze odzwierciedlają matematyczną i logiczną strukturę dowodu, są więc w tekście nośnikiem przede wszystkim informacji merytorycznej, drugie natomiast reprezentują warstwę tekstu służącą głównie organizowaniu heurystycznych działań czytelnika.
108
4
r*0.0