Zagadnienia konstrukcji i lektury tekstu matematycznego stanowią rozległą problematykę pozostającą w kręgu zainteresowań dydaktyki matematykijako dzie
dziny badań, atakże istotną dla zastosowań praktycznychna różnych szczeblach kształcenia. Niektóre z tych zagadnień są badane i znalazły odzwierciedlenie w literaturze specjalistycznej, z częściąproblemów nadal zmaga sięjedynieprak
tyka. Literatura dydaktycznanaświecie związana ztym tematem jest już bardzo obszerna, a wyniki analizdotyczącychprzekazuinformacji matematycznej za po mocą tekstu bywają publikowane w pracach opatrzonych często tytułami, które nie zapowiadają wprostproblematyki dotyczącej tekstów pisanych. Stąd też bezpośre
dni dostęp do materiałów związanych z badaniami nad tekstemjest znacznie utrudniony i ograniczony.
Niezależnie od wytyczenia już ważnych kierunków i oświetlenia wielu zaga dnień, problematykatekstu matematycznego redagowanego na użytekpedagogicz nego przekazu jest stale otwarta dla badań. Niektóre pojęcia należy dopiero wy odrębnić i wyprecyzować. Pewne informacje, w których posiadaniu jesteśmy - dotyczy to także niniejszego opracowania -mająjedynie hipotetyczny charakter;
część z nich to hipotezy wzmocnione. Niektóre zaś, podobnie jak inne tezy dy
daktyki, będąwymagaćpermanentnej weryfikacji zależnie od kierunków rozwoju społecznego i zmieniających się warunków pracy szkoły.
W związkuz obszernym zakresem badań nadkonstrukcją i funkcjonowaniem tekstu matematycznego w nauczaniu matematyki, a także w związku z metodo logicznym statusem niektórych elementów posiadanej już wiedzy na ten temat nasuwają się dalsze refleksje. Przedstawimyje w miejsce podsumowania jako 135
dodatkowe uwagi i uzupełnienia. Sformułujemy także kilka wybranychproblemów badawczych, które mają charakter ilustracyjny oraz wskazują potrzebę dalszych analiz i badań dydaktycznych.
Trudnościw lekturze tekstów matematycznychutożsamia się niejednokrotnie z brakami i niedomaganiami w opanowaniu elementówjęzyka tej dziedziny. Co więcej, zagadnienie specyfiki tekstu matematycznegosprowadza się nierazwyłącz nie do problemów dotyczących swoistości języka matematycznego. Oczywiście trudności w posługiwaniu się językiemmatematycznym występującym w odbio rzewiążą sięna ogół z trudnościamiw recepcjitekstu, ale niekoniecznie na odwrót.
Brak powodzenia w lekturze niemusi wynikać ze słabego opanowaniaelementów języka matematyki. Dwa teksty pisane tym samym językiem i na ten sam temat (na przykład dwa dowody przeprowadzone tą samą metodą) mogą stawiać czy
telnikowiróżne wymagania. W szczególności jeden z nich możesię wdanej grupie odbiorców okazaćtekstem przystępnym, a drugi trudnym.Jakoteksty mogą więc nie być „równoważne”, gdytraktujemy je jako nośniki informacji matematycznej przeznaczonej do odbioru.
W odbiorze tekstu matematycznego istotna może się okazać na przykład ar chitektura strony druku, sposób segmentacji tekstu oraz zewnętrzne jego cechy bę
dące nośnikami informacji lub przynajmniej wspomagające i wzmacniające nie które wątki przekazu par excellencejęzykowego. Są to niewątpliwie komponenty tekstu nie należące wprost do języka w jego zwykłym rozumieniu.
Niektóre publikacje dydaktyczne z nazwy poświęcone analizie tekstu matema
tycznego i badaniu procesu jego lekturywgruncie rzeczy analizują wyłącznie język używanyw tych tekstach lub teżw ogólejęzyk matematyki.Utożsamienieanalizy tekstu matematycznego z analizą języka, czy też sprowadzenie pojęcia takiego tekstu do pojęcia języka nie jest w pełni zasadne. Nie przyczynia się bowiem do wyklarowania pojęć dydaktycznych i może stanowić okoliczność utrudniającą niektóreinicjatywy badawcze w tej dziedzinie, racjonalną kontynuację prowadzo
nych już badań, obiektywne porównywanie wyników i ocenę postępu.
Kwestii terminologicznych nie można oczywiścierozstrzygać bezuprzednie
go ustalenia i precyzacji znaczenia słowa Język” (por. na ten temat rozważania zawarte w pracy [117]) oraz sformułowania określeń innych pojęć, wtym pojęć dydaktycznych. Niezależnie jednak od sposobu traktowania języka, analizy spo tykane wdużej części prac (zróżnych dziedzin) nie wykraczająpoza konstrukcję podstawową w tekście, jaką jest zdanie. Oznaczato, że przedmiotembadań są na ogół zdania i mniejszejednostki językowe: składniki zdań orazpojedyncze znaki.
Tekst w znaczeniu używanym w tej pracyjest natomiast czymś więcej nie tylko dlatego, że składa się ze zdań (choć nie wykluczamy tekstówjednozdaniowych).
Jest obszerniejszącałością, w jakiś sposób zorganizowaną,misternie oraz meto dycznie dla celówprzekazu informacji „utkaną” (tu miejsce, by przypomnieć ła
ciński źródłosłów: słowo „tekst” wywodzi się bowiem z łacińskiego textům -tkanina).
Zagadnienie konstrukcji tekstów matematycznych zarówno naukowych, jak j 36 i komponowanych, na użytek zinstytucjonalizowanego nauczania ma swoją rangę
i wymiar ogólniejszy. Dorobekw tym zakresie stanowi część dorobku naukowego i kulturowego społeczeństw; interesuje nie tylko wąską grupę specjalistów reda gujących takie teksty. Świadectwem wagi tego zagadnienia było zlecenie przez Amerykańskie TowarzystwoMatematyczne kilku wybitnym specjalistom opraco wania studium na temat konstruowania tekstów matematycznych i sposobów pisemnego przekazuinformacji matematycznej (ich prace w polskimtłumaczeniu opublikowały „Wiadomości Matematyczne” XXI.1; jedną znichjest cytowana już pozycja zawarta w zbiorowej publikacji [118]). Materiał tam przedstawiony, w większości oparty na własnych doświadczeniach zawodowych, autorskich i czytelniczych, mógłby być punktem wyjścia dalszych analiz prowadzonychtak że na potrzeby nauczania szkolnego, mimo że nie dotyczy bezpośrednio tego po
ziomu. Tym niemniej fakt podjęcia tematu stanowi o randze problematyki będą
cejwszak wpoluwidzenia wybitnych matematyków i organizacji, wramach której działali.
Na tle rozważań o sposobachfunkcjonowania tekstów matematycznych w na
uczaniu warto wspomnieć ozjawisku, które wzwiązkuz przemianami życia spo
radycznie zarysowuje się u nas w praktyce szkolnej. W niektórych rozwiniętych krajach pojawiło się onojuż wcześniej.
Niektórzynauczyciele ulegająpewnym ofertom reklamowym i presji żywio
łowodziałającej częścirynku wydawniczego, otwierając tym samym wsposób może nie całkiem zamierzony drogę do eliminacji z procesu dydaktycznego podręczni ka szkolnego matematyki (chodzi o tendencje w nauczaniu starszych uczniów).
Bywaon zastępowany przez różnego rodzajuporadniki oferujące „łatwy” dostęp do matematyki, zeszyty pracy, zestawy zadań z gotowymi rozwiązaniami, kom pendia(czy nawet według żargonowego określenia „ściągi”) i materiały skądinąd bardzo wniektórych przypadkachpotrzebne,ale w gruncie rzeczy mające charak ter pomocniczy. Podręcznik zostaje wprawdzie zakupiony, ale nie jest używany.
Z konieczności więc na lekcjach nierazdyktuje się i polecanotować wzeszytach opracowywane treści. Bez takich notatek uczeń nie mający bieżącego kontaktu z podręcznikiem nie może sięgnąć domerytorycznego tekstu, aby powtórzyć za gadnieniajuż zrealizowane w klasie bądź nawet poznać od podstaw nowe.
Materiałyużywane nieraz w miejsce uczniowskiego podręcznika mają różne przeznaczenie. Mogłyby na przykład wokreślonych przypadkachwyeliminować raczej zeszyt ucznia niż podręcznik. Ten ostatni' obejmuje bowiem materiał na
uczania w formie rozwiniętej, a przy tym stanowi utrwalony wzór formułowania i wypowiadania myśli matematycznej. Tych atrybutów z natury rzeczy nie mają skrótowe materiały pomocnicze, choć poziom merytoryczny i dydaktyczny nie których z nich może być wysoki. Także notatki w zeszycie ucznia nie mogą w każdym przypadku zastąpić tekstówpodręcznikowych.
Uczeń pozbawiony podręcznika szkolnegonie ma kontaktu z pełnym, auten tycznym tekstem matematycznym. Proces nauczania bez tej formy pracy jest w pewien sposób zubożony. Zresztą nie chodzi tu tylko o samo wdrażanie do czytania tekstów matematycznych. Każdy doświadczony nauczyciel wie, jakie walory dydaktyczneposiada postępowanie, które polega naporównaniu sposo- 137
buujęcia treści opracowanych na lekcjibez udziału podręcznikaz pisemną formą ich prezentacji w podręczniku. Zobaczmy- mówi do uczniów - jak autor ujął to, do czego sami przed chwilą doszliśmy (definicja, opis konstrukcji, dowód itp.). Taki moment lekcyjny jest bardzo ważny, konfrontacja zaś własnych wyników i sformułowań z tekstem podręcznika to interesująca rekapitulacja fragmentu lekcji lub jej całości.
Analiza budowy i lektury tekstówmatematycznych ujawnia zarówno bogac two problemów dydaktycznych, jak i złożoność całego procesu uczenia się i na
uczania matematyki. Z jednej strony bowiem dostrzegamy konieczność dość wczesnego zapoznawania uczniów z pojęciem zmiennej, aby mogli oni później w odpowiednim momencie rozpocząć systematyczną i wieloletnią naukę o funk
cjach. Znajomość pojęcia zmiennej i zdolność do operowania nimz jednej strony wydajesię niezbędna dlazrozumieniapojęcia funkcji, z drugiej strony zaś pojęcie zmiennej całą swoją matematyczną treść ujawnia właściwie dopiero wtoku roz
pracowywania, przyswajania i określania między innymi pojęcia funkcji. Widać to choćby wtedy, gdyuczeń analizuje kartezjański wykres funkcji y = f(x) opi
sującej zmiany temperatury w zależności od pory dnia. Aby z sensem i wewnę
trznym przekonaniem powiedzieć, że temperaturaw godzinach dopołudniowych stale wzrasta, a po południu waha się, trzeba naprawdę postrzegać zmienność y oraz zmienność x; koniecznejestteż jasne ujęcie sposobu, wjaki y „zależy” od x. To jest właśnie -według obrazowego określenia - tygiel, w którym formuje sięnie tylko pojęciefunkcji,ale i równocześnie pojęcie matematycznej zmiennej.
Potrzebnesą różnetekstyi zróżnicowane sytuacjedydaktyczne, aby rozmaite aspek ty tych pojęć stały się dla ucznia w pełni dostępne.
Potrzeba kontynuowania metodologicznie zorganizowanych badań nad tymi i wielu innymi problemami oraz konieczność wypracowywania tej metodologii wypływamiędzy innymi stąd, że szkoła musi sprostaćprzyspieszonym procesom postępu życia i nauki.
Oto dla przykładutematy i pytania badawcze z zakresu problematyki przed stawionej wtej książce. W obszarze bezpośrednich badań nad konstrukcjątekstów matematycznych leżązagadnienia podane w pierwszej kolejności, tj. problemy I-III (byłyone sugerowane przezProfesor ZofięKrygowską w toku dyskusji nad zakresem badań przedstawionych w pracy [48]). Natomiast tematy badawcze IV-VI dotyczą pojęcia zmiennej. Zostaną one ujęte w formie opisowej umożli
wiającej sprecyzowanie szczegółowych pytań.
I. Analiza konstrukcjitekstów definicji wpodręcznikach akademickich i mo nografiach matematycznych. Chodzi tu o dydaktyczną analizę i klasyfikację rze czywiście stosowanych sposobów konstruowania i redagowaniadefinicji matema tycznej (niezależnie od typów definicji wyróżnianych na podstawieinnych kryte riów w logice i metodologii nauk), a także o zbadanie kontekstów poprzedzają cych i następujących po definicjach, oanalizę porównawczą definicji matematycz nych tego samego pojęcia zredagowanych w różny sposób itp.
II. Dydaktyczna charakterystyka sposobówkonstruowania i określania pojęć 138 w szkolnych podręcznikach matematyki - studium porównawcze.
III. Analiza tekstów prezentujących rozumowania (dowody) i argumentacje w szkolnych podręcznikach matematyki.
IV. Zmienność rzeczy i zjawisk otaczającego świata, z którym dziecko od samego początkuwchodzi w kontakt za pomocą zmysłów, stanowi źródło wielo rakich doświadczeńna temat fizycznych wielkościzmiennych. Cały ten kompleks doznań i przeżyć- zarówno bezpośrednichjak i językowych- jestjeszcze dość odległy od matematyki. Ale wolno sądzić, że stanowi najbardziejpierwotną warstwę doświadczeń, do której można by nawiązywać, zapoznając stopniowo uczniów zsensem matematycznej zmiennej, i ogólniej, zużyciem liter w matematyce. Po jawia się więc pytanie, jak wykorzystać te doświadczenia w zorganizowanym
procesie dydaktycznym. Jak więcprzechodzićod fizycznych wielkości zmiennych i zmiennych językowych dozmiennych matematycznych. W szczególności, w jaki sposób organizować proceswstępnej matematyzacji w związku z realnymi sytu acjami obejmującymi fizyczne wielkości zmienne, nawiązując do zasobu języka naturalnego uczniów zawierającego ekwiwalenty zmiennych matematycznych.
V. Kolejny problem dotyczy możliwości wykorzystania w procesie kształto wania pojęcia zmiennej różnych sytuacji związanych z modelami geometryczny mi. Matematyk w swej działalności, a uczeń w szkole niejednokrotnie mają oka zję dokonywaćuszczegółowienia uzyskanego twierdzenia na przykład przezspe cyfikacjęzmiennych. Dwojakiego rodzaju takiej specyfikacjidokonująuczniowie, jeśli od wzoru
S =n(R + ryyl(R-r)2+h*
wyrażającego polepowierzchni bocznej stożkaściętego o wysokości h i promie niach podstaw R i r przechodzą do wzoru
S= 2nrh
na pole pobocznicy walca (kładąc R = r) i dalej - znówwychodząc od pierwsze
go z tych wzorów - otrzymują wzór
S =nRyjR2 +h2
na pole bocznej powierzchni stożka (biorąc tym razem r= 0).
Specyfikacji zmiennych wyrażającej się algebraicznie w operacji podstawia
nia towarzyszą interpretacje wmodelu geometrycznym polegające na deformacji w wyobraźni stożka ściętego tak, aby otrzymać zeń walec i stożek. W tym wy obrażeniowym przejściu od stożkaściętego do walca istożka również mamy zmien ność ściśle odpowiadającą zmienności R oraz r w stosownych przedziałach.
Występuje ona także (powinna występować),gdy naprzykład w tokurozumowa
nia dotyczącego pewnej ogólnej własnościczworokąta posługujemy się tradycyj
nym rysunkiem reprezentującymdowolny czworokąt.Ta „dowolność” znajdująca wyraz w możliwości myślowej zmiany położeń na płaszczyźnie, atakże w moż
liwości dokonywaniainnychtransformacji- takich jak choćby zmiana wielkości boków - zapewne inspiruje do traktowania odpowiednich symboli literowych, 139
związanych z rysunkiem,jako zmiennych. Nasuwa się pytanie, jak takie modele wyobrażeniowe prowokować wsytuacjach geometrycznychrozważanych na lek cji orazjaka możebyć ich rola w kształtowaniu pojęcia matematycznej zmiennej.
VI. Przejścieod zmiennej do stałej i odstałej dozmiennej to dwie wzajemnie odwrotne operacje. Jednak tylko pierwsza znich ma swój formalnyodpowiednik w logice (podstawianie). W procesie kształtowania pojęcia zmiennej w szkole pewien priorytet przysługuje drugiej, ponieważ uczeń najpierw operuje stałymi;
to od nich po części wiedzie droga do zmiennych. Można tu wspomnieć o inte
resujących propozycjachdydaktycznych, choćby o zabiegu uzmienniania stałych (występującego zresztą wróżnych wariantach). Ale jeśli nawet zaczyna jużoswa
jać się z użyciem liter, totraktuje jetak,jakby były nazwami konkretnych obiek
tów. Na przykład literaP obok punktu zaznaczonego kropkąna płaszczyźnie kartki pełni funkcję nazwy tego punktu, tak jak Giewont jest nazwą konkretnej góry.
Podobnie o literze a użytej na oznaczenie długościjakiegoś odcinka lub mającej symbolizować w rozumowaniu liczbę parzystąmyśli jako o symbolu konkretnej (jednej) liczby, tyle tylko, że aktualnie nie znanej. Ta tendencja wydaje się dość powszechnai trwała. Z dydaktycznego punktu widzenia celowe byłoby zbadanie mechanizmów regulujących wewnętrzny proces stopniowego przechodzenia od stałychdo zmiennych, tym bardziej że litery pełniące funkcje stałych występują w rozmaitych sytuacjach, niekoniecznie w pełni upoważniających do równoważ negotraktowania każdej z tych funkcji. Dla praktyki nauczania istotnabyłaby od powiedź na pytanie,jak od stałych matematycznych przechodzić do zmiennych ijak tę drogę wykorzystać dla kształtowania pojęcia zmiennej.
Propozycje, którezostały podaneprzykładowo, wskazująkierunki badań obej mujące wiele innych zagadnień. Przechodząc naprzykład do problematyki doty czącej bezpośrednio nauki czytania, można postawićpytanie, od czego zależy -obserwowany na ogół wraz z pokonywaniem przezuczącego się coraz to wyższych stopnikształcenia - postęp wlekturze tekstów matematycznych.Zapewne nie jest on zdeterminowany jedynie nabytym doświadczeniem czytelniczym orazprzyro stem w zakresie samego opanowywania i doskonalenia technik czytania. Można sądzić, że o sukcesie w lekturze decyduje między innymi:
• sprawność w obcowaniu z materią matematyczną (zdolność dooperatywne
go posługiwania się definicjami, twierdzeniami itp.),
• przyrost wiedzy metodologicznej,
• stopień opanowania technicznej strony operacji matematycznych,
• osiągnięcie względnej swobody w operowaniu językiem matematycznym,
• przyrostumiejętności czytaniatekstów matematycznych i opanowanie samych technik pracy z takimi tekstami.
Interesujące byłoby poznanie reakcji między wymienionymi determinantami i zbadanieroli każdego z nich w procesie czytania tekstu przez osobyo różnym zaawansowaniu matematycznym.
Wszystkie te zagadnienia wymagają rozwiniętego sformułowania w postaci odrębnych problemówi pytań badawczych oraz precyzyjnegookreślenia metodo-140 logii badań.