4/1
Tekst matematyczny a teksty innych dziedzin
Tekst matematyczny - nawet w potocznym odczuciu- odbiega od tekstów innych dziedzin,na przykładtekstów z zakresu historii,publicystyki czy tekstów literackich. Sprecyzowanietych różnic wymagałobysformułowania odpowiednich kryteriów, wprowadzenia stosownej terminologii i innych ustaleń, które miały by na celu ułatwienie porównań. Cechy tekstu - zwłaszcza jeślijest on anali
zowany zpunktu widzenia procesu lektury-wiążą się ściśle z cechamijęzyka dziedziny naukowej, którą tekst reprezentuje, cechy języka zaś są zdetermino
wane charakterem samej dziedziny, naużytek której powstał. Zewzględu nate bardzo bliskie związki i przenikania pewne aspekty matematyki znajdujące bezpośrednie odbicie wtekście matematycznym wypadatraktować wprost jako jego atrybuty. Nie pretendując do teoretycznych rozstrzygnięć, abiorącjedynie
pod uwagę praktyczny i dydaktycznypunkt widzenia, można ogólnie wskazać pewne cechy tekstu matematycznego różniące go od innych tekstów. Tuwymie nimy jedynie niektóre.
34
1. Abstrakcyjna dziedzina przedmiotowa, o której tekst traktuje Przedmioty,o których wmatematycznym tekściemowa (liczby, relacje, figury geometryczne itp.) wymagają myślenia oderwanego i pojęciowego ujęcia.
2. Autonomiczny języ k, który nawet na poziomie matematyki elementarnej posiada wiele cech osobliwych
Jestto język będący najczęściej mieszaniną języka naturalnego, specyficznej terminologii oraz symboliki, w związku z czym - jak podkreślają autorzy pracy [111] - ma dwa różne systemy kodowania: jeden odnoszący się do napisów w językunaturalnym, a drugi do symboli matematycznych. Wymaga to oczywi ście funkcjonowania wtoku lektury dwóch sposobów rozkodowywania. Odczy
tywanieznaków należących dotych różnych systemów może sięokazać odmien nejuż napoziomie nie wymagającym zaawansowanego myślenia matematyczne
go. Wyraz „cent”jakosłowo języka polskiego odczytujemy tylkow jedensposób, podczas gdy znak dodawania w wyrażeniu 8 + 6 = 14 może być odczytany jako
„dodać”, „plus”, „... w sumie ...” bądź jeszcze inaczej.
Fakt, że język tekstu matematycznego jest połączeniem warstwy słownej i symbolicznej, może mieć jeszcze inne reperkusje w procesie lektury. Taki tekst wymaga bowiem przy czytaniu umiejętnego stosowania arytmii tempa. Słowna warstwa tekstu może być na ogół odbierana w miarowym rytmie, z jednostajną szybkością przypominającą liniową recepcję tekstu potocznego,rozmieszczone zaś tu i ówdzie w słownym tekście wzory wymagają spowolnienia tempa, analitycz
nego podejścia i uważnego rozbioru dla wyróżnienia części będących nośnikami znaczenia.
Specyfika i autonomiajęzyka występującego w matematycznym tekście nie sprowadzająsię tylko donowego słownictwa i symboliki, jak to się nieraz sądzi.
Język ten operuje właściwymi sobieformamigramatyczno-logicznymi, maswoją składnięi wewnętrzną organizację (jedenz zewnętrznych wykładników tego stylu zostanie przedstawionywnastępnym punkcie 3.). Podkreśla się,że - podobnie jak na przykład chiński - język matematyki nie ma charakteru alfabetycznego ([98], s. 179); pojedyncze znaki są nazwami złożonych pojęć, całych konstrukcji, sto
sunkówzachodzących jednocześnie między wieloma obiektami i znaczeniowo od
powiadają nie tylko pojedynczym wyrazom, lecz nieraz także całym grupom wy razów w języku naturalnym(wypowiedzeniom). Jeśli się nie zapamiętało sposobu odczytywania typowego znaku matematycznego, to nie można go „przeliterować”, jak na przykład wyrazu „tablica” w języku polskim.
Wiele symboli może pełnić określone funkcje -na przykład usprawniać lek turębądźnawet sprzyjać rozumieniu - dlatego,że występują grupowo. Taki zespół symboli użytych w danym tekście ma odpowiednią strukturę. Gdy teksttraktuje na przykład o kresach- górnym i dolnym, wówczas odpowiednimi symbolami są k i k (tę samą rolę odgrywają nieraz symbole k’ i k.),gdy natomiastprzedmiotem zainteresowań sąciągi zbieżne o wyrazach ogólnych an, bn, cn, wówczas granice 35
3»
tych ciągów oznacza się odpowiednio literami a, b, c, rozważane zaś ograniczenie górne i dolne zbioru wszystkich ich wyrazów - odpowiednio przez M i m.
Wymowa i operatywność symbolu zostają wzmocnioneprzezkontekst i obe
cność innych znaków. Część przekazywanego znaczenia każdy z nich czerpie z faktu, że sam występuje w tym kontekście. Najlepiej można to spostrzec,jeśli taki symbolzostanie użyty gdzie indziej, niezależnie i w izolacji od pozostałych.
Oczywiście nie w każdym tekście symbole tworzą odpowiednio skonstruowane grupy. Nie zawsze teżzasada analogii i kontrastu formy odpowiadającej analogii i kontrastowi semantycznego sensu ([65], s. 32) może być konsekwentnie stoso
wana, ale wielu autorów tekstów matematycznychrobi zniej użytek.Można więc mówić o systemowych układach symboli wpewnych tekstach bądź też o niesy- stemowym doborze znaków w danymtekście. Należy jednakpamiętać, że sym
bolika „samapracuje” w czasie czytania oraz staje się operatywnym instrumen
tem, pod warunkiem że czytelnik rozpoznał strukturę zbioru stosowanych symbo li. To, że ów zestaw symboli funkcjonujący jako systemjest oddzielnym kompo nentem tekstu, a takżekonieczność rozpoznania tego zestawujako systemu są dla początkującego czytelnika elementami nowymi,raczej nie spotykanymipozadzie dziną matematyki.
Język tekstów matematycznych ma jeszcze jedną istotną cechę, która nie występuje w takiej formie i z taką wyrazistością w tekstach innych dziedzin iw tekstach potocznych.Rozpada się mianowicie na warstwę przedmiotową okre ślaną rzadziej mianemjęzyka pierwszegostopnia i warstwę metajęzykową zwaną językiem drugiego stopnia [16]. Warstwa przedmiotowazawierawyłącznie wypo
wiedzi o obiektach matematycznych (funkcjach, wektorach, liczbach pierwszych itp.), natomiast język drugiego stopnia ma swe odniesienie do wyrażeńjęzyka przedmiotowego, a nie do obiektów matematycznych.
Jeśli autor prezentuje twierdzenie o średniej arytmetycznej i geometrycznej n liczb w formie:
a. + a,+...+a / ---at,a2,...,a„ >0 => —---2---> tdata2...an,
n
to wypowiada je wcałości w języku przedmiotowym, ale jeżeli mówi o arytme tyce liczb rzeczywistych jako teorii matematycznej i stwierdza, że nierówność dotycząca średnich jest na gruncie tej arytmetyki równoważna rozważanej wcze
śniej nierówności Bemoulliego:
(1 + ¿z)" > 1 + na, a > -1,
to takawypowiedź ma już charakter metajęzykowy. Orzeka ona bowiem o pew
nym stosunku między twierdzeniami, które wcześniej zostały wypowiedziane w języku pierwszego stopnia. Znajdujemy w niej ponadto wyraźnąrelatywizację do pewnej teorii, ze względuna którąów stosunekjest rozważany.
Typowym przykłademwypowiedzi metajęzykowej jestzasadaindukcjimatema tycznej w wersji spotykanej w niektórych podręcznikach szkolnych, ponieważ jest wniej mowaoprawdziwościtwierdzeń pewnego typu i sposobie ich dowodzenia.
36
Oddzielenie w tekście matematycznym „za pomocąnożyc” jednej warstwy od drugiej niezawsze jest łatwe aninawet - zewzględów gramatycznychi składnio
wych- w pełni możliwe. Dogłębne uświadomienie sobieroli, wjakiej występują poszczególne wyrażenia językowe w tekście dowodu lub opisowo sformułowanej definicji, nie zawszejest łatwe. Pomaga wtym nierazzabieg polegający na pełnej formalizacji, tj. zapisaniu tekstu wyłącznie w języku (przedmiotowym) teorii, o ile język tenzostałwcześniej precyzyjnie określony. Niektórzysądzą, iż pewne trudności w lekturze tekstu matematycznego mogą mieć swe źródła w tej dwu
warstwowej strukturzejęzykatekstów matematycznych.
3. Przewaga połączeń typu implikacyjnego nad połączeniami międzyzdaniowymi koniunkcyjnymi, które cechują opisowe
lub narracyjne teksty niematematyczne
Wyszczególniona różnicajest egzemplifikacją ogólniejszych prawidłowości wykrytych w toku konfrontacji tekstów naukowych i potocznych. Zgodnie ze stanowiskiemZ. Klemensiewicza w tekstach naukowych nad składniąsprawozdaw- czo-rejestrującą dostosowanądo opisu stanów rzeczydominują struktury składnio
we pozwalająceeksponować i łatwiej wyrażać stosunki przyczynowości, celowo ści, wynikania itp. ([46], s. 25).
Implikacyjny typ połączeń w tekstach matematycznych wiąże się z tym, że wteorii matematycznej wnioskuje się z hipotezy(w tej roli- globalnie - wystę pują aksjomaty, lokalnie - założenia twierdzeń, dodatkowe przesłanki przyjmo wane dla celów argumentacji, założenia dowodu nie wprost itp.). Fakt ten znaj duje językowy wyraz w trybie warunkowym wypowiedzi. Takitekst - jakpodkre
śla w [74] J. L. Lewis - jest trudny w recepcji nawet wtedy, gdy nie traktuje o dziedzinie abstrakcyjnej. To ostatnie stwierdzenie nasuwa pytanie dotyczące możliwościodróżniania tych trudności w odbiorze, które w konkretnym przypad ku wypływają z charakteru wiedzy od tych, które mają sweźródła gdzie indziej, naprzykład w strukturze formalnej samego tekstu. W ogólnościjednak struktura tajest uwarunkowana dziedziną przedmiotową,awięc macierzystą dyscypliną, którą tekst reprezentuje.
4. Szczególna rola kwantyfikatorów, choć nie zawsze są one uwydatnione
Kwantyfikatory nie zawsze występują explicite. Bywają nieraz wręcz ukryte w różnych konstrukcjachjęzykowych. Ich funkcjonowanie wiąże się z użyciem zmiennych, niekoniecznie wyrażonych za pomocą liter. W roli matematycznych zmiennych mogą występować w zależności od kontekstutakie wyrażenia języka naturalnego, jak naprzykładzaimki: ona, jej itp. oraż nazwyogólne: liczba, funkcja, punkt i inne (por. analizę pojęcia zmiennej w rozdziale 6).
37
5. Brak typowych środków ekspresji obecnych w tekstach humanistycznych
Niektóre teksty niematematyczne, zwłaszcza teksty literackie, odezwy, apele itp. stosująśrodki stylistyczne wzmagającesiłę oddziaływania na czytelnika. Tego typu środki apelujące do stanówemocjonalnych, rozbudzające świadomie i wpo
żądanym przez siebiekierunkusubiektywne lub nawet irracjonalne sposoby inter
pretacji oraz reakcji są w tekstachmatematycznych nieobecne. Do takich środków stylistycznych w tekstach humanistycznych należą: anafora (powtarzanie zdań o podobnej konstrukcji dla uzyskania pożądanego efektu), pytanie retoryczne (tj.
pytanie pozorne wzasadzie niewymagające bezpośredniej odpowiedzi), antyteza (zestawienie dwóch przeciwstawnych znaczeniowo części wypowiedzi) i inne.
W tekstach matematycznych są one zbędne, gdyż „przekonywanie” odbiorcy odbywa się wyłącznie na drodze dedukcji. Programowowyklucza to odwoływa nie się do czegokolwiek, co leży poza obiektywnym działaniem opartym na pra
widłach logiki. Jednak brak tych środkówstylistycznych w tekście matematycz
nym czyni zeń tekst „suchy” i tak też bywa odbierany przez niektórych uczniów (jedna z uczennic w toku obserwowanej pracy zpodręcznikiemnalekcji określiła gojako „chłodny”). Nie ulega wątpliwości, że emocjonalne zaangażowanie i do
znania estetyczne stanowią ważny element motywujący do czytania tekstu.
Wprzypadku tekstów matematycznychtakżenależałobyszukać odpowiednich mo
tywacji. Jest tozagadnienie ważne, choć naogółpomijane w teorii oraz praktyce.
6. Stosowanie metod właściwych ze względu na charakter badanych obiektów
Dla tekstów matematycznych jest toprzedewszystkim metoda dedukcyjna oraz wiele metod specyficznych-naprzykład metodawspółrzędnych, różne metody i środki opanowywania nieskończoności, w tym przechodzenie do granicy itp.
7. Specyficzna forma redakcyjna
Autorzy tekstów matematycznych stosują wypracowane wtradycjimatematycz nej środki, techniki i zabiegi redakcyjne, metody segmentacji,a nawet rozwiąza
nia typograficzne, mniej spotykane lub nie występujące wcale w tekstach niema-tematycznych. Są one dorobkiem wielu pokoleń matematykówi zostały zaakcep
towanepowszechnie w tym środowisku.W związku ztym obowiązują tutaj rów
nieżpewne zwyczajowesposobyinterpretacji stosowanychform redakcyjnych. Na przykładużycie nawiasu w potocznym tekściena ogół oznacza, że komunikowa ne w nim treści mają znaczenie drugorzędne i mogłyby zostać pominięte bez większej szkody dla sensu wypowiedzi oraz procesu odbioru. Inaczej bywa w tekstach matematycznych. Tutaj w nawiasach niejednokrotnie wtrąca się istot ne dla rozumienia uwagi bądź podaje warunki, bez których komunikowane wy powiedzi wręcz nie miałyby sensu.
38
Trudności w lekturze tekstów matematycznych i koniecznośćzdwojonego wy siłku czytelniczego mogą być związane z różnymitypowymi cechamitego gatun ku. W praktyce jednak trudności mające różne źródła najczęściej się sumują i nakładają. Pewnetrudności i błędymogąmiećna przykład charakterpojęciowy (co ma bezpośredni związek z cechą wymienionąwyżej w pierwszej kolejności) i dla dydaktycznej diagnozy warto starać sięje odróżniaćod tych, których źródła tkwiąchoćby w nieznajomości pewnychschematów redakcyjnych(cecha ostatnia).
Sam tekstmoże być w swej konstrukcji dlaodbiorcy łatwy, gdyżprzypomina mu formy redakcyjne tekstów, z którymi jest on dostatecznie obyty, ale prezentowany materiał pojęciowy stanowi poważnąbarierę i powoduje trudności w odbiorze.
Niektóre