Poziomy pomiaru

Postulat i wymóg izomorfizmu między fenomenem empirycznym a instru-mentem pomiarowym nasuwa pytanie o zakres i determinanty istnienia izo- morfizmu. O zakresie tym decydują właściwości instrumentu pomiarowego. W odniesieniu do fenomenów empirycznych instrument pomiarowy może poz- wolić na:

• oznaczenie klasy;

• oznaczenie klasy i kategorii oraz ustalenie pozycji w jej ramach;

• oznaczenie klasy, ustalenie pozycji i określenie względnego dystansu między nimi;

• oznaczenie klasy, ustalenie pozycji oraz określenie dystansu względnego i bezwzględnego między nimi.

Stosownie do tych właściwości instrumentów pomiarowych wyróżnia się cztery sposoby pomiaru fenomenów empirycznych, zwane też poziomami albo skalami pomiaru ([Frankfort-Nachmias, Nachmias 2000, s. 143–148], [IASB AP2B, 2007, s. 10–11], tj.:

a)

nominalny poziom pomiaru (nominal level of measurement), czyli ozna-czanie klasy fenomenów;

b)

porządkowy poziom pomiaru (ordinal level of measurement), czyli ozna-czanie klasy fenomenów oraz ustalanie ich pozycji w ramach kategorii;

c)

interwałowy poziom pomiaru (internal level of measurement), czyli oznaczanie klasy fenomenów, ustalanie ich pozycji w ramach kategorii oraz określanie bezwzględnego dystansu między nimi;

d)

proporcyjny (relacyjny) poziom pomiaru (ratio level of measurement), czyli oznaczanie klasy fenomenów, ustalanie ich pozycji w ramach kategorii oraz określanie bezwzględnego i względnego dystansu między nimi.

Jak widzimy, sposoby pomiaru tworzą pewną hierarchię, przy czym przyjęło się uważać, że najniższy jest poziom nominalny, a następnie idą: poziom porząd-kowy, interwałowy i proporcyjny, który jest uważany za poziom najwyższy.

Na poziomie nominalnym znakami numerycznymi oznaczane są pewne grupy cech jakościowych, co prowadzi do jakościowej klasyfikacji fenomenów (zmien-nych) i wyodrębnienia ich kategorii, z których każda jest oznaczona osobnym, dowolnie wybranym znakiem numerycznym. Nominalny poziom pomiaru zostaje

osiągnięty, gdy wyodrębnione kategorie wzajemnie się wykluczają i są wyczerpu-jące w tym sensie, że żaden z mierzonych przypadków nie będzie zaliczony do więcej niż jednej kategorii. Z punktu widzenia matematyki, o jego specyfice przesądza to, że nie ma jakiegokolwiek matematycznego związku między klasami; zakłada się, że cechy stwierdzone w którymkolwiek przypadku przynależności do danej klasy będą takie same w pozostałych przypadkach. Zatem na poziomie nominalnym dopuszczalne są jedynie te operacje matematyczne i statystyki, które są niewrażliwe na właściwy mu sposób przypisywania fenomenów do klasy. Statystyki dozwolone na tym poziomie to rozkład częstości (w poszczególnych klasach), miary różnorodności (zmienności/wariancji) jakościowej oraz stosowne miary współzmienności (kowariancji).

Na poziomie porządkowym dokonuje się klasyfikacji zmiennych, a także oznacza w obrębie każdej z nich relację porządku, w rodzaju: „większy niż...” czy „bardziej pożądany niż…” (albo przeciwnie), opartą na stopniowaniu bądź różnicowaniu natężenia. Prowadzi to do ukonstytuowania (w ramach danej zmiennej) warstw, zwanych też rangami, odpowiadających poszczególnym stopniom bądź zróżnicowanemu natężeniu. Zmienna, dla której da się ustalić relację porządku bywa nazywana zmienną uporządkowaną. Podkreślmy, że relacja porządku odnosi się do pary rang, zaś relacja ekwiwalencji (równości) dotyczy wszystkich przypadków przynależnych do danej rangi.

Relacja porządku ma pewne własności logiczne, które są istotne z punktu widzenia formułowania hipotez i wyciągania wniosków odnoszących się do zmiennych uporządkowanych: jest niezwrotna, asymetryczna i przechodnia. Jeżeli relację porządku oznaczyć symbolem >, to niezwrotność oznacza, że dla dowolnego a nie zachodzi a > a; asymetryczność – że jeśli a > b, to nie b > a; zaś przechodniość – że jeśli a > b i b > c, to a > c.

Ranga jest zwykle oznaczona liczbą, którą nazywa się wartością rangi. Zgodnie z powszechnie przyjętą konwencją, ranga w jednym z ekstremów oznaczana jest liczbą 1, następna w kolejności liczbą 2, następująca po niej liczbą 3 – i tak aż do osiągnięcia przeciwnego ekstremum, które jest oznaczone ostatnią liczbą z serii. Nie ma znaczenia – o ile zachowana jest spójność – jakie liczby zostaną przypisane do kategorii obiektów czy ich par. Liczby rangujące określają jedynie porządek i nic poza nim. W szczególności różnica między tymi liczbami nie oznacza ani rozpiętości (szerokości) rangi, ani jej absolutnego wolumenu. Dodajmy, iż dopuszczalne są jedynie monotoniczne (jednowymia-rowe) transformacje poziomu porządkowego, gdyż tylko one nie przekształcają informacji przy dowolnym sposobie manipulowania liczbami. Innymi słowy, na poziomie porządkowym można dokonywać tylko tych transformacji matema-tycznych i statysmatema-tycznych, które nie zmieniają porządku rang, czyli nie zmienia-ją porządku mierzonych właściwości zmiennej. Statystykami niezmieniazmienia-jącymi porządku będą mediana, zakres, gamma oraz tau-b.

Na poziomie interwałowym, oprócz klasyfikacji i porządku, określa się tak-że dokładny dystans (interwał)20 między obserwowanymi przypadkami21, co wymaga zastosowania wspólnej wszystkim pomiarom i zawsze tej samej jednostki miary o ustalonej i niezmieniającej się wartości, za pomocą której każdemu obiektowi uporządkowanego zbioru przypisuje się mianowaną liczbę rzeczywistą. Użycie liczb mianowanych powoduje, że stosunek (relacja) dowolnych dwóch dystansów (interwałów, przedziałów) jest niezależny od jednostki miary22, zatem względny (jakościowy) dystans między dwoma wartościami pozostaje taki sam, bez względu na zastosowany system pomiaru. Jest to przejaw izomorfizmu, który na poziomie interwałowym występuje pomiędzy zbiorem dystansów dla obserwowanych przypadków a strukturą arytmetyki, związanej z wartościami skojarzonymi z tymi dystansami. Zauważ-my, że różnice, na których przeprowadzane są operacje rozważanego poziomu są ustalone na podstawie arbitralnego punktu odniesienia. Zmiennymi mierzo-nymi na poziomie interwałowym będą m. in. przychód oraz inteligencja (IQ).

Formalne właściwości charakterystyczne poziomu interwałowego to:

1) niepowtarzalność: jeżeli a i b oznaczają liczby rzeczywiste, to wynikiem każdego z działań

a + b oraz a × b jest jedna i tylko jedna liczba rzeczywista;

2) symetryczność: jeżeli a = b, to b = a;

3) przemienność: jeżeli a i b oznaczają liczby rzeczywiste, to a + b = b + a oraz ab = ba;

4) substytucja: jeżeli a = b oraz a + c = d, to b + c = d, a także jeżeli a = b oraz ac = d,

to bc = d;

5) łączność: jeżeli a, b i c oznaczają liczby rzeczywiste, to (a + b) + c = a + (b + c)

oraz (ab)c = a(bc).

Konsekwencją tych właściwości jest to, że informacja zawarta w liczbach po-ziomu interwałowego nie zmienia się, gdy wraz ze zmianą liczb pierwotnie przypi-sanych obserwowanym przypadkom nie zmieniają się porządek i względne ich dystanse. Zatem informacja będzie zachowana, jeśli np. pomnożyć każdą z liczb interwałowych przez stałą liczbę dodatnią, a następnie dodać do rezultatu jeszcze jakąś liczbę stałą. Dzięki formalnym cechom poziomu interwałowego można w jego ramach stosować wszelkie statystyki opisowe i konkluzyjne (indukcyjne).

Proporcyjny (relacyjny) poziom pomiaru różni się od poziomu interwało-wego jedynie tym, że liczby i operacje arytmetyczne odnoszą się tutaj do dystansów ustalonych w odniesieniu do zera naturalnego (naturalnego punktu zerowego, np. temperatury). Zero naturalne jest charakterystyczne głównie dla zmiennych fizykalnych, takich jak ciężar, długość, objętość bądź czas. Istnienie zera naturalnego skutkuje największym stopniem zupełności informacji zawartej

20 Który po określeniu nie ulega zmianie.

21 Na przykład Y ma roczny dochód większy od Z o 10 000 zł.

w liczbach, a więc i największą mocą rezultatów przeprowadzanych na nich manipulacji statystycznych.

W tabeli 3.1 zestawiono cechy formalne poszczególnych poziomów pomiaru.

Tabela 3.1. Poziomy pomiaru i ich cechy formalne

Poziom

Cecha ^{Nominalny Porządkowy Interwałowy Proporcyjny}

Ekwiwalencja √ √ √ √

Większe niż − √ √ √

Stały przedział − − √ √

Naturalne zero − − − √

Źródło: Opracowanie własne na podstawie [Frankfort-Nachmias, Nachmias 2000, s. 148]. Z tego zestawienia wynika, że zmienne, które są mierzalne na wyższym po-ziomie, są także mierzalne (przynajmniej względem jednego z atrybutów) na poziomach niższych, choć nie odwrotnie. Niektóre zmienne mogą być bowiem mierzone tylko na poziomie nominalnym, jak np. identyfikacja osób/stron czymś zainteresowanych. Bezwzględnie pamiętać też należy o konieczności zachowa-nia izomorficzności miar, jest ona bowiem warunkiem skutecznego i owocnego poznania – bezpośrednio bądź pośrednio – stanów i relacji realnego świata poprzez odpowiednie operacje matematyczne i statystyczne, bez których owe stany i relacje w wielu przypadkach pozostawałyby nierozpoznane.

W dokumencie O konceptualnej podstawie sprawozdawczości finansowej. Perspektywa angloamerykańska (Stron 79-82)