Celem warsztatów było bliższe przedstawienie zasad metody Hejnego za pośrednictwem aktywnej pracy w dwóch dydaktycznych środowiskach mate-matycznych. Pojęcie dydaktycznego środowiska matematycznego (substantial learning environment) wprowadził do literatury fachowej z dziedziny dydak-tyki matemadydak-tyki niemiecki matematyk Erich Wittmann1. Oznacza ono zespół powiązanych wzajemnie pojęć, zależności, procesów i sytuacji, połączonych
1 E.C. Wittmann: Developing mathematics education in a systematic process. „Educational Studies in Mathematics Education” 2001, nr 48, s. 1–20.
z życiowymi i matematycznymi doświadczeniami uczniów, umożliwiającymi tworzenie zadań, za pomocą których uczniowie dochodzą do głębokich przemy-śleń w dziedzinie matematyki.
Termin głęboka idea przedstawił szczegółowo Zbigniew Semadeni2. Oprócz tego podaje się dwa inne rozumienia pojęć matematycznych. Są to formy po-wierzchniowe i modele formalne. Powierzchniową formą utworu matematycz-nego są wszystkie znaki reprezentujące ten obiekt, które są dostępne za pomocą zmysłów i które można widzieć (na przykład statyczne: symbole matematyczne;
dynamiczne: liczenie przedmiotów), słyszeć (w wypowiedzi słownej), albo je dotknąć (na przykład modele brył). Głębokie idee wiążą się ze stopniem rozumienia obiektów matematycznych. Formalnym modelem pojęcia jest właściwe jego konwencjonalne objaśnienie, tzn. dokładny opis, definicje pojęć w aksjomatycznej teorii. Uczniowie spotykają się z tymi konwencjonalnymi objaśnieniami – które w większości korzystają z języka algebry – już na pierw-szym poziomie, podczas rozwiązywania równań. Literą oznacza się niewiadomą.
Później, na drugim poziomie, spotykają się z literami we wzorach, a wiele uwagi poświęca się przekształceniom wyrażeń algebraicznych. Niemniej jednak to, co jest najważniejsze – zastosowanie języka algebry do opisu ogólnych sytuacji numerycznych – często zostaje z boku.
Takie postrzeganie pojęć matematycznych może być punktem wyjścia do poszukiwania przyczyn braku zrozumienia między uczniem a nauczycielem.
Brak zrozumienia między nimi może polegać na tym, że powierzchniowa forma pojęcia jest złączona myślą nauczyciela z głęboką ideą matematyczną, której uczeń nie posiada.
Nie każdy kontekst, który rozwija myślenie matematyczne, na pewno prowa-dzi do głębokich myśli matematycznych. Na przykład gra w szachy albo Sudoku ćwiczy myślenie, ale do głębokich przemyśleń matematycznych dojdą tylko ci, którzy dane środowisko rozwijają w twórczy sposób; na przykład programiści konstruujący programy szachowe.
Do warunków matematycznego środowiska dydaktycznego Wittmanna, to jest łączenia doświadczeń ucznia z możliwością dokonywania odkryć, Hejný3 dodałkolejne dwa warunki: długotrwałość i regulowaną trudność. Przez dłu-gotrwałość rozumie się środowisko, które umożliwia formułowanie zadań dla uczniów w czasie co najmniej sześciu lat. W większości przypadków w takim środowisku można budować schematy z różnych dziedzin matematyki. Zaś regulowana trudność zadań oznacza, że zadania można tworzyć w nim zarówno dla uczniów bardzo zdolnych matematycznie, jak i dla uczniów słabszych, tzn.
na miarę możliwości ucznia. Matematyczne środowisko dydaktyczne można
2 Z. Semadeni: Trojaka natura matematyki: idee głębokie, formy powierzchniowe, modele for-malne. „Dydaktyka Matematyki” 2002, nr 24, s. 41–92.
3 M. Hejný: Vyučování matematice orientované na budování schémat: aritmetika 1. stupně.
Praha 2014, s. 13.
pojmować jako zewnętrzne formy głębokich myśli matematycznych, jednak przy założeniu, że uczeń sprawnie pracuje w środowiskach, to znaczy zgodnie z konstruktywizmem genetycznym.
Metoda konstruktywizmu genetycznego4 stara się oprzeć koncepcję nauczania matematycznego na rekonstrukcji historii. Nauczyciel występuje w roli przewod-nika uczniów przy analizowaniu zależności matematycznych, pojęć i sytuacji, zadaje uczniom adekwatne zadania i moderuje dyskusję. Natomiast uczeń – rozwiązując zadania w różnych dydaktycznych środowiskach matematycznych, a szczególnie dyskutując o strategiach ich rozwiązania przez siebie i innych uczniów – buduje w swojej świadomości potrzebne schematy.
Zespół badawczy Milana Hejnego stara się promować metodę genetycznego konstruktywizmu już od wielu lat i na różnych poziomach: zarówno w przygo-towaniu nauczycieli na kursach akademickich, jak i w szkołach podstawowych (roczniki 1–9), a nawet na poziomie nauczania przedszkolnego. W latach 2007–2012, na podstawie wieloletnich badań, zespół pod kierownictwem Dariny Jirotkovej i Jany Slezákovej we współpracy z nauczycielami przygotował zestaw podręczników do matematyki dla klas 1–5 szkoły podstawowej. W 2013 roku M. Hejny założył H -mat, o.p.s., który pozwala systematycznie rozwijać i rozpo-wszechniać metodę. Od 2015 r. H -mat, o.p.s. produkuje własne materiały dla przedszkoli, podręczniki dla drugiego stopnia edukacji szkolnej i od 2018 r.
także poprawione podręczniki do pierwszego stopnia edukacji.
Podręczniki są opracowane w taki sposób, że umożliwiają – i również zakła-dają – brak konieczności wyjaśniania czegokolwiek uczniom przez nauczyciela.
Jego rola polega na doborze odpowiednich zadań i na organizowaniu między uczniami dyskusji nad różnymi sposobami rozwiązania, nad różnymi wyni-kami, nad formułowaniem myśli. Dla wielu nauczycieli ta bardzo nietradycyjna droga nauczania jest trudna do zaakceptowania, ponieważ nie odpowiada ich dotychczasowym doświadczeniom. Nie wierzą oni, żeby zmiana podejścia mogła silnie i pozytywnie wpłynąć na stosunek ucznia do nauki matematyki, także na rezultaty nauczania. Jednak efektywność tak prowadzonej nauki potwier-dzają studia z dziedziny neurologii, które dowodzą, że
[…] nauczyciel musi włączyć uczniów do procesu nauczania, a powinien ich łączyć również między sobą. Studia w udokumentowany sposób wskazują, że drogę5 lepiej się przechodzi i utrwala, kiedy z kimś się dyskutuje. Jeszcze lepiej jest, kiedy przekazujemy informacje, kiedy uczniowie pracują jako zespół […]6.
4 U Hejnego (2014) ta metoda jest jeszcze nazywana VOBS. Nowy termin, który został przy-jęty, jako dokładniejszy i właściwszy, zaproponował profesor Ladislav Kvasz.
5 Przez „drogę” rozumiemy drogę mentalną.
6 M.J. Stránský: Z monitoru se děti moc Lenau. Http://www.narodni.cz/publikovane -texty/
z -monitoru -se -deti -moc -nenauci [dostęp: 18.3.2014].
Natomiast mechaniczne zapamiętywanie jest krytykowane, ponieważ nie rozwija myślenia. Człowiek podczas mechanicznego zapamiętywania porusza się po tej samej mentalnej drodze, nie pogłębia jej, ani nie łączy z innymi wia-domościami. Jeżeli przez pewien czas nie będzie korzystać z tej drogi, to ona zupełnie zaniknie.
Autobus
W trakcie wspomnianych warsztatów z dziedziny arytmetyki przedstawione było m.in. środowisko semantyczne – Autobus. Na początku warsztatów uczen-nice IV klasy razem z nauczycielką zaprezentowały pokaz pracy, czyli symulację jazdy autobusem. W pomieszczeniu zostały wybrane 4 miejsca, jako przystanki autobusowe, które zostały nazwane zgodnie z sytuacją w pomieszczeniu (Obok tablicy, Obok okna, Drzwi, Szafa). Tutaj oznaczymy przystanki literami A, B, C, D. Przy każdym przystanku stał jeden uczeń, jako dyżurny ruchu. Miał on do dyspozycji 2–3 podróżnych, którzy byli oznaczeni na przykład patyczkami do lodów, kapslami do butelek, różnymi figurkami albo innymi drobnymi przed-miotami. Jedna uczennica grała rolę kierowcy autobusu i z użyciem pudełka, prowadziła autobus do przystanku A. Dyżurny ruchu na przystanku A podno-sił nad głowę jednego podróżnego (patyczek) i mówił „wsiadł jeden pasażer“.
Patyczek, z odpowiednim efektem dźwiękowym, wrzucał do pudełka. Potem podnosił drugi patyczek i mówił: Wsiadł następny pasażer. Potem kierowca ogłaszał, że autobus jedzie z przystanku A do przystanku B. Dyżurny ruchu na przystanku B pozwalał jednemu pasażerowi wysiąść z autobusu (wyciągnął z pudełka jeden patyczek), podnosił go nad głowę i mówił: Wysiadł jeden pasażer.
Potem – tak samo, jak to było u dyżurnego ruchu na przystanku A – wkładał do pudełka kolejno na przykład trzech pasażerów. To samo działo się na kolejnym przystanku C. Od dyżurnego ruchu zależało, ile patyczków wyjmie z pudełka, i ile do niego włoży. W taki sposób uczniowie sami tworzyli zadanie. Proces wyjmowania i wkładania był transparentny. Dyżurny ruchu przy wyjmowaniu albo wkładaniu podróżnych do pudełka nie liczył ich, a zamiast tego mówił:
kolejny pasażer. Na koniec autobus dotarł na ostatni przystanek D, a dyżurny ruchu zapytał, ilu pasażerów jest w autobusie? Uczestnicy odpowiedzieli na py-tanie, a dyżurny ruchu pojedynczo wyjmował pasażerów z autobusu i sumował ich. Na koniec pokazał, że pudełko jest puste. Następnie uczestnicy odpowiadali na kolejne pytania, np.:
■
Ile osób wysiadło na przystanku B?■
Na którym przystanku wsiadło najmniej pasażerów?■
Ile osób było w autobusie, kiedy odjeżdżał on z przystanku A?■
Na którym przystanku z autobusu wysiadło najwięcej podróżnych?■
Ilu pasażerów podróżowało razem autobusem?.W tej sytuacji osoby, które sporządzały własne notatki dotyczące jazdy autobusu, miały przewagę. Celem zadawanych pytań było wywołanie potrzeby zrobienia jakiegoś zapisu – tak jak to ma miejsce w klasie szkolnej. Przedsta-wiamy kilka interesujących notatek, które spontanicznie sporządzili uczniowie (zob. rys. 1)
Rysunek 1. Spontaniczne notatki uczniów. Źródło: badania własne.
Następnie uczestnicy z pomocą uczennic mogli sami sprawdzić te czynności.
Celem miało być wskazanie, dokąd zmierza środowisko, oraz jaki jest jego po-tencjał dydaktyczny. Uczestnicy warsztatów mogli też zobaczyć nagranie video z pierwszej klasy, prowadzonej przez panią Barbarę Kotek, nauczycielkę szkoły podstawowej w Jabłonkowie z polskim językiem nauczania. Dzieci ze wspo-mnianego nagrania wzięły udział w jednej grze Autobus. W trakcie gry robiły różne notatki, co wynikało z tego, że otrzymywały trudniejsze pytania, na które nie mogły odpowiedzieć, używając tylko samej pamięci. Niektóre zapisy zbliżały się do formy tabeli, z którą w dalszym etapie pracuje się w ten sposób, że zadania są formułowane za pomocą tylko częściowo wypełnionej tabelki i ewentualnie dalszych słownie sformułowanych warunków. Dwa przykłady takich zadań podajemy poniżej (zob. rys. 2 i 3).
Rysunek 2. Koniec I klasy. Źródło: opracowanie własne.
Rysunek 3. Początek II klasy. Źródło: opracowanie własne.
Geoboard
Kolejnym środowiskiem, które było zaprezentowane w formie warsztatów z aktywną pracą uczestników, było geometryczne, manipulacyjne środowisko Geoboard. Geoboard jest płytą na przykład z 9 kołkami ustawionymi w kwadrat 2x2 w taki sposób, że kołki są w rogach siatki kwadratów. Za pomocą gumek na geoboardzie wyznacza się różne figury geometryczne – trójkąty, różne rodzaje czworokątów, … , siedmiokąty. Jego wielką zaletą jest to, że jeżeli pracują z nim małe dzieci, zdolne są do szybkiego modelowania dokładnych obrazów, które mogą szybko zmieniać; wadą – że po usunięciu gumek uczniom nie pozostaje zapis stworzonych przez nich obrazków, nad którymi pracowali. Ten brak roz-wiązuje się później przerysowywaniem rysunków na kartkę papieru w kratkę, co pozwala na rozróżnianie skali figur i ich wielkości.
Rysunek 4. Geoboard. Źródło: opracowanie własne.
Praca na Geoboardzie wiąże się z dwoma dziedzinami geometrii – dziedziną figur geometrycznych (ta jest ważniejsza) oraz dziedziną wymiarów obrazu geometrycznego, tj. obwodu i pola. Przy poszukiwaniu wszystkich możliwych trójkątów na geoboardzie dotykamy też na przykład sfery kombinatoryki i sfery zbiorów, a podczas porównywania obrazów wyobrażeń geometrycz-nych – również sfery przystawania i podobieństwa. Ponadto, podczas dyskusji
o wzajemnych związkach, uczniowie mogą zdobyć doświadczenia z ułamkami, jako częściami całości, zaś w trakcie formułowania własności obrazów pracują w dziedzinie logiki. W czasie ewidencjonowania zestawów rozwiązań pracujemy też w ogromnej sferze danych, gdzie trzeba formułować problemy z zakresu prawdopodobieństwa.
Uczniowie, rozwiązując zadania, poznają figury oraz ich własności. Poznają wspólne własności dwóch obrazów lub liczniejszej grupy obrazów i w ten sposób tworzą struktury obrazów geometrycznych oraz uzyskują doświadczenie z gru-powaniem i klasyfikowaniem figur, zapoznają się z pojęciami geometrycznymi, mogą także tworzyć obrazy, których nie potrafią nazwać. W takich przypadkach zwykle korzystają z języka metafor – To jest jak domek, albo jak strzałka. Język słów i obrazków szybko stanie się niedostateczny, a z potrzeby komunikowania się o obrazach, zadawania ćwiczeń i artykułowania ich rozwiązań powstaje kolejny język: język strzałek, na przykład AÒÓBÔÔÒCÑÑÓA. Ten język opisuje samo powstawanie obrazka oraz umożliwia jego procesowe ujęcie. Go-towe obrazki są koncepcjami.
Celem warsztatów było też przedstawienie nauczycielom problemów, z któ-rymi najprawdopodobniej spotkają się przy pracy z geoboardem. Jednym z nich było na przykład zastosowanie werbalnego języka geometrycznego. Posługi-wanie się językiem potocznym w trakcie formułowania poleceń może stać się źródłem wielu nieporozumień, zarówno w sferze pojęć, jak i logiki. Na przykład polecenie wymodeluj figurę, która ma trzy wierzchołki, wykona też uczeń, który wymodeluje czworokąt, ponieważ i on ma trzy wierzchołki, choć – w sumie – jest ich cztery.
Nasze uczennice zostały ponownie włączone do pracy i pokazały, jak bezpiecznie działają w tym matematycznym środowisku i jak ich zdolności komunikowania się są silnie rozwinięte. Przy rozwiązywaniu zadań, kiedy miały wytworzyć obraz geometryczny zgodnie z instrukcją, doszło do budującej dyskusji o istocie pracy w tym środowisku, ważnej dla rozwoju dziecięcej wyob-raźni, kształtowania myślenia i zdolności komunikowania się uczniów. Bardzo korzystne były komentarze Edyty Gruszczyk -Kolczyńskiej, która zwróciła uwagę na możliwości i korzyści, płynące z tak rozumianej aktywności, również dla dzieci w wieku przedszkolnym. Otworzyła ona dyskusję o geometrii manipula-cyjnej z punktu widzenia psychologicznego. Dała impuls do sprawdzenia moż-liwości pracy na takim geoboardzie, gdzie zamiast kołków są otwory, a zamiast naciągania gumek dzieci przewlekają nitki. Takie działania wyraźnie rozwijają motorykę u dzieci i w ten sposób uzyskuje się również dokładniejsze modele obrazów. Wierzchołki wielokątów nie będą „zaokrąglone“, jak to ma miejsce, gdy gumka opasa kołka, ale będą ostre.
Uczestnicy mieli również możliwość wypróbowania niektórych pomocy (kloc- ki, drewienka, ścieżki do krokowania, geoboardy i tarcze z 12 kołkami, puzzle z pianki itp.). Na ich życzenie zostały im jeszcze pokazane przykłady z innych
środowisk – trójkąty do sumowania, pajęczyny, krokowanie i konstruowanie z drewienek. Na wszystkich przykładach było widać, że praca w środowiskach nie tylko rozwija osobowość ucznia, ale również go bawi. Uczennice, chociaż było to dla nich nieznane środowisko, pracowały w nim zwyczajnie i bez zahamowań, a przy tym same z siebie miały ochotę pomóc uczestnikom warsztatów, kiedy ci czegoś nie wiedzieli i to pomimo bariery językowej. Można było zauważyć, że jeżeli dzieci coś bawi, to robią to z pasją.
Trójkąty sumowania
Kolejnym środowiskiem, z którym zapoznali się uczestnicy warsztatów, było arytmetyczne strukturalne środowisko trójkątów sumowania. W tym środowi-sku pracuje się z liczbami na abstrakcyjnym poziomie, a bogata struktura liczb umożliwia formułowanie wielu różnych typów zadań o szerokiej skali trudności.
Rysunek 5 przedstawia przykład jednego z trójkątów sumowania. Te zadania są znane i oczywiste tak, jak oczywiste i jednoznaczne są liczby umieszczone w trójkącie.
Rysunek 5. Przykład uzupełnionego trójkąta sumowania. Źródło: opracowanie własne.