obserwowanych zmian w czasie
3.7. Funkcja regresji sprzedaży
3.7.9. Weryfikacja skonstruowanej funkcji regresji sprzedaży W weryfikacji oszacowanej funkcji regresji sprzedaży dokonuje się sprawdzenia
( ) =α ⋅ α (99)
3.7.9. Weryfikacja skonstruowanej funkcji regresji sprzedaży
W weryfikacji oszacowanej funkcji regresji sprzedaży dokonuje się sprawdzenia podstawowego założenia, które jest przyjmowane przy szacowaniu parametrów modelu MNK. Założenie to określa własności składnika losowego ξ, który wyraża efekt czynników pominiętych w modelowaniu sprzedaży. Składnik losowy jest tożsamy z efektem oddziaływania czynników przypadkowych, co pozwala uznać zmienne niezależne uwzględnione w równaniu funkcji sprzedaży za jedynie istotne w determinowaniu poziomu sprzedaży. Zakładane własności składnika losowego: 1. Składnik losowy nie wykazuje żadnych systematycznych prawidłowości. 2. Zakres zmienności składnika losowego jest stały i nie zależy od wartościzmiennych niezależnych. Założenie to określa homoscedastyczność składnika losowego.
3. Składnik losowy nie wykazuje własności autokorelacyjnych.
Realizacją składnika losowego w próbie losowej są wielkości reszt, jakie pozo-stają po wyeliminowaniu z poziomu sprzedaży wielkości wynikającej z funkcji regresji, czyli: zi=y yi − ŷ˘ii. Jeśli model został poprawnie skonstruowany, to reszty powinny wskazywać na zachowanie wymaganych własności składnika losowego modelu. Wszystkie założenia dotyczące własności składnika losowego sprawdza się po uprzednim uporządkowaniu zbioru reszt według rosnących wartości zmiennych niezależnych.
Założenie pierwsze weryfikuje się testem serii, oceniając losowość reszt z osza-cowanego modelu. Jeśli założenie to jest zachowane, liczba serii reszt o znakach ujemnych i dodatnich zawiera się w przedziale (kα/2, k1 – /2 >, gdzie kα/2 odczytuje się z rozkładu liczby serii, przy poziomie istotności α, według warunku: P (k kα/2) = α/2, zaś k1 – α/2 z warunku: P (k k1 – α/2) = 1 – α/2.
Rozdział III. Analiza otoczenia rynkowego i sprzedaży dla planowanej inwestycji 161
Założenie drugie o stałości wariancji składnika losowego będzie zachowane wtedy, gdy wraz ze wzrostem wartości zmiennych niezależnych nie zaobserwuje się równoczesnego wzrostu wartości reszt. W celu sprawdzenia czy taka prawidłowość ma miejsce, konieczne jest podzielenie ciągu reszt na dwie grupy. Jeśli różnice mię-dzy wariancjami reszt obu grup będą nieistotne, to uznaje się homoscedastyczność składnika losowego modelu. Do oceny omawianego założenia wykorzystuje się statystykę F, zdefiniowaną wzorem (100).
F S S
= 22 11
(100) gdzie: S12 – wariancja reszt należących do pierwszej grupy, wyznaczona według wzoru (101); S22 – wariancja reszt należących do drugiej grupy, wyznaczona według wzoru (101). S n k z z i i j ij i ni 2 2 1 1 1 = − −
∑
= ( − ) (101)gdzie: i – numer jednej z dwóch grup, na które podzielono ciąg reszt; ni – liczebność grupy, na ogół równa n/2; zij – reszty należące do grupy o numerze i; zi – wartość średnia reszt należących do grupy o numerze i.
Statystyka F ma rozkład F-Snedecora o ν1 = (n2 – k – 1) oraz ν2 = (n1 – k – 1) stopniach swobody i przy zachowaniu założenia o stałości wariancji składnika losowego powinna przyjmować małe wartości, tzn. nie przekraczać wartości Fα odczytanej z tablic tego rozkładu dla ustalonego poziomu istotności, lub też, co jest równoważne, wyznaczona dla wyniku wartość-p nie powinna przekraczać wartości 0,05.
Założenie trzecie dotyczy braku wzajemnych zależności między kolejnymi realizacjami składnika losowego i jest weryfikowane testem Durbina-Watsona. W teście tym można badać autokorelację dowolnego rzędu, tzn. między dowolnie odległymi składnikami losowymi, np. sąsiednimi – jest to wówczas autokorelacja rzędu pierwszego lub między co drugimi – jest to wówczas autokorelacja rzędu drugiego itd. W teście weryfikującym hipotezę o braku autokorelacji rzędu pierw-szego wyznacza się współczynnik korelacji sąsiednich reszt, który jest definiowany przez wzór (103). r z z z z z z i i i i i n i i n i i n ( , − ) − = = = − = ⋅ ⋅
∑
∑ ∑
1 1 2 2 1 1 2 2 (102)Małgorzata Rószkiewicz
162
W przypadku gdy znak tego współczynnika wskazuje, że autokorelacja może być dodatnia, sprawdzianem w teście Durbina-Watsona jest statystyka d, wyzna-czana według wzoru (103).
d=2 1[ −r z z( ,i i−1)] (103)
W przypadku gdy znak współczynnika korelacji reszt wskazuje, że autokore-lacja może być ujemna, sprawdzianem w teście Durbina-Watsona jest statystyka d`, wyznaczana według wzoru (104).
dˆ = −4 d (104)
gdzie d jest wartością ustaloną na podstawie wzoru (103).
W obu przypadkach uzyskaną wartość porównuje się z wartościami krytycznymi odczytanymi z tablic rozkładu Durbina-Watsona, przy ustalonej liczebności próby n, liczbie szacowanych parametrów m oraz przy ustalonym poziomie istotności.
Przykład 35
Dla danych z przykładu 34 otrzymano następujące zestawienie:
Tabela 38. Sprzedaż na podstawie danych empirycznych oraz liniowej funkcji regresji i reszty w zbudowanym modelu regresji
Liczba odwiedzających 20 25 32 21 35 36 42 39 38 41 51 Obroty w tys. zł (Y) 2,5 3,1 4,5 5,3 6,4 7,8 8,9 9,5 10,3 11,5 12,1 ŷi 2,85 4,43 6,64 3,17 7,59 7,91 9,80 8,85 8,54 9,49 12,64 zi = yi – ŷi –0,35 –1,33 –2,14 2,13 –1,19 –0,10 –0,90 0,65 1,76 2,02 –0,54 Źródło: Opracowanie własne.
Po uporządkowaniu ciągu reszt według rosnących wartości liczby odwiedzają-cych punkt sprzedaży otrzymuje się następujący ciąg reszt, który stanowi podstawę sprawdzenia przyjętych założeń dotyczących składnika losowego modelu regresji obrotów względem liczby odwiedzających:
–0,35; 2,13; –1,33; –2,14; –1,19; –0,10; 1,76; 0,65; 2,02; –0,90; –0,54. Oznaczając symbolem A reszty dodatnie oraz symbolem B reszty ujemne, otrzymuje się następujący ciąg symboli: BABBBBAAABB. Liczba serii wynosi 5, liczba reszt dodatnich n1 = 4, ujemnych n2 = 7. Przedział wartości pozwalających
Rozdział III. Analiza otoczenia rynkowego i sprzedaży dla planowanej inwestycji 163
uznać, że składnik losowy nie wykazuje żadnych systematycznych prawidłowości, odczytany z rozkładu serii28 dla α = 0,1, obejmuje wartości (3; 8>, co pozwala przyjąć, że zachowane jest założenie pierwsze dotyczące tego składnika.
W celu sprawdzenia, czy zachowane jest założenie o stałości wariancji składnika losowego, dokonano podziału ciągu reszt na dwie części: pierwsze pięć reszt i sześć reszt następnych, otrzymując:
S12 =3,595375, dla pierwszych pięciu reszt;
S22 =2,442381, dla sześciu pozostałych.
Wyznacza to wartość statystyki F na poziomie: F = 1,47208. Przy poziomie istotności 0,05 oraz liczbie stopni swobody odpowiednio ν1 = (n1 – k – 1) = 5–1–1 = 3 oraz ν2 = (n2 – k – 1) = 6–1–1 = 4 odczytuje się wartość Fα, = 6,59. Ponieważ F Fα, oraz wartość-p = 0,348918 i jest większa od 0,05, można przyjąć, że drugie założenie dotyczące stałości wariancji składnika losowego zostało zachowane.
Sprawdzenie trzeciego założenia o braku autokorelacji składnika losowego wymaga obliczenia wszystkich możliwych autokorelacji. Wartości kolejnych współ-czynników autokorelacji można uzyskać z zestawienia reszt w tabeli 39.
Tabela 39. Autokorelacje reszt rzędu 1–5
Reszty Rzędu 1 Rzędu 2 Rzędu 3 Rzędu 4 Rzędu 5
–0,35 2,13 –1,33 –2,14 –1,19 –0,10 2,13 –1,33 –2,14 –1,19 –0,10 1,76 –1,33 –2,14 –1,19 –0,10 1,76 0,65 –2,14 –1,19 –0,10 1,76 0,65 2,02 –1,19 –0,10 1,76 0,65 2,02 –0,90 –0,10 1,76 0,65 2,02 –0,90 –0,54 1,76 0,65 2,02 –0,90 –0,54 0,65 2,02 –0,90 –0,54 2,02 –0,90 –0,54 –0,90 –0,54 –0,54 r(zi , zj) 0,136246 –0,12853 –0,5474 –0,53265 0,131527 Źródło: Opracowanie własne.
Otrzymane wartości współczynników stanowią podstawę wyznaczania wartości statystyki Durbina-Watsona.
28 Gdy nie ma możliwości odczytania wartości krytycznych dla ustalonych liczebności ujemnych i dodatnich reszt w tablicy rozkładu serii, odczytu dokonuje się zamieniając je miejscami.
Małgorzata Rószkiewicz
164
W przypadku badania autokorelacji rzędu pierwszego otrzymuje się zgodnie ze wzorem:
d = 2 (1–0,136246) = 1,727
W przypadku badania autokorelacji rzędu drugiego otrzymuje się zgodnie ze wzorem:
d = 4–2 (1 + 0,12853) = 1,743
W przypadku badania autokorelacji rzędu trzeciego otrzymuje się zgodnie ze wzorem:
d = 4–2 (1 + 0,5474) = 0,9052
W przypadku badania autokorelacji rzędu czwartego otrzymuje się zgodnie ze wzorem:
d = 4–2 (1 + 0,53265) = 0,9347
W przypadku badania autokorelacji rzędu piątego otrzymuje się zgodnie ze wzorem:
d = 2 (1–0,131527) = 1,737
Wartości krytyczne w rozkładzie Durbina-Watsona odczytane z tablic tego rozkładu przy poziomie istotności α = 0,05 oraz liczbie obserwacji n = 11 i liczbie szacowanych zmiennych w modelu regresji m = 1 wynoszą odpowiednio:
d1 = 0,93 oraz d2 = 1,32
Jeśli wartość statystyki d jest mniejsza od pierwszej wartości odczytanej z tablic rozkładu Durbina-Watsona, to należy przyjąć, że autokorelacja ustalonego rzędu występuje i tym samym założenie dotyczące składnika losowego w tym modelu nie jest zachowane. Natomiast gdy wartość statystyki d jest większa od drugiej wartości odczytanej z tablic, to należy uznać, że badana autokorelacja nie wystę-puje i założenie o braku autokorelacji składnika losowego w badanym modelu jest zachowane. Jeśli zaś wartość statystyki d będzie należeć do przedziału określonego przez wartości odczytane z tablic, to test o autokorelacji nie jest rozstrzygnięty. Wyniki przeprowadzonej procedury wskazują na brak autokorelacji rzędów pierwszego, drugiego i piątego, na występowanie autokorelacji rzędu trzeciego oraz nie rozstrzygają występowania autokorelacji rzędu czwartego. Podsumowując wyniki modelowania przedstawione w przykładzie 35 oraz weryfikację założeń modelu w przykładzie 36, należy przypuszczać, że funkcja linowa nie jest najlepszą aproksymantą funkcji obrotów względem liczby odwiedzających punkt sprzedaży i należałoby podjąć próbę zbudowania innej formuły matematycznej, która nie posiadałaby takich mankamentów jak funkcja liniowa.
Rozdział III. Analiza otoczenia rynkowego i sprzedaży dla planowanej inwestycji 165