3. Funkcje mierzalne
w. 3.1 Poka», »e je±li f : (Ω, F) → ¯R1 jest funkcj¡ mierzaln¡, to
a) {ω ∈ Ω ; f(ω) < +∞} ∈ F,
b) ∀r,s∈R1,r<s {ω ∈ Ω ; r < f (ω) ≤ s} ∈ F,
c) ∀r∈ ¯R1 {ω ∈ Ω ; f (ω) 6= r} ∈ F.
w. 3.2 Podaj przykªad funkcji f : R → R nieci¡gªej w ka»dym punkcie x ∈ R i borelowskiej.
w. 3.3 Podaj przykªad funkcji f : R → R, która nie jest borelowska, ale f2 jest
borelowska.
w. 3.4 Niech f : Ω → R, f(ω) = IA(ω) − IB(ω), gdzie A, B ∈ F.
a) Czy f jest mierzalna?
b) Wyznacz σ(f) = σ({f−1(B), B ∈ B}). w. 3.5 Niech f : R → R, f(x) = sgnx. Wyznacz σ(f). w. 3.6 (1997) Niech f, g : R+ → R+, f (x) = ∞ X n=0 nI[2n,2n+2)(x) , g(x) = ∞ X n=0 I[2n,∞)(x) .
Czy zachodz¡ inkluzje σ(f) ⊆ σ(g) i σ(g) ⊆ σ(f)? w. 3.7 (1997) Niech f, g : R → R,
f (x) = 1
2sin(Πx)
, g(x) = sgn (sin(Πx)) . Czy zachodz¡ inkluzje σ(f) ⊆ σ(g) i σ(g) ⊆ σ(f)?
w. 3.8 (1997) Niech f, g : R+ → R+, f (x) = ∞ X n=0 nI[n,n+1)(x), g(x) = x2, gdy x ∈ N [x + 1][x], gdy x /∈ N . Czy zachodz¡ inkluzje σ(f) ⊆ σ(g) i σ(g) ⊆ σ(f)?
w. 3.9 Znajd¹
σ(IA, IB) = σ( σ(IA), σ(IB) ).
