Ćwiczenia AM II, 14.11/2016 Szereg Taylora, funkcje klasy C∞ Zadanie 1. Oblicz
(a) ∂g∂t, jeśli g(t) = f(cos t, sin t), a f : R2→ R jest funkcją różniczkowalną.
(b) ∂g∂r, ∂α∂g, jeśli g(r, α) = f(r cos α, r sin α), a f = f(x, y) jest funkcją różniczkowalną R2→ R.
Zadanie 2. Niech φ : R → R będzie funkcją klasy C∞ taką, że φ(0) = 0, φ(k)(0) = 0 dla każdej liczby k = 1, 2, . . ..
Niech f : R2 → R, f (x, y) = φ(xy) sgn(x), gdzie sgn(0) = 0 i sgn(x) = ±1, w zależności czy x > 0.
Wykazać, że
(a) f jest klasy C∞,
(b) f(tx, y/t) = f(x, y) dla każdego t > 0,
(c) dowolna funkcja ciągła (odpowiednio, różniczkowalna) f : R2 → R taka, że f (tx, y/t) = f (x, y) dla dowolnego t 6= 0 jest postaci f(x, y) = φ(xy) dla pewnej funkcji ciągłej (odpowiednio, różniczkowal- nej) φ : R → R,
(d) dowolna funkcja f : R2→ R postaci f (x, y) = φ(xy) spełnia
x∂f
∂x(x, y) = y∂f
∂y(x, y).
Zadanie 3. Załóżmy, że f : R2 → R jest funkcją rózniczkowalną taką, że ∂f∂x(x, y) = −∂f∂y(x, y) w każdym punkcie (x, y) ∈ R2. Wykazać, że istnieje funkcja różniczkowalna φ : R → R taka, że f(x, y) = φ(x − y).
Zadanie 4. Obliczyć wielomian Taylora stopnia 3 w punkcie a funkcji (a) ex+y+z− xyz, a = (0, 0, 0),
(b) x tg(y + z) + y tg(z + x) + z tg(x + y), a = (π/4, −π/4, 0), (c) xyz, a = (1, −1, 2),
(d) sin(xy) − x/y − y/x, a = (1, 1).
Zadanie 5. Znajdź Dαf (0, 0) (wyższe pochodne cząstkowe funkcji f w (0, 0), α = (α1, α2)), jeśli (a) f(x, y) = ex2y,
(b) f(x, y) = e2x+3y.
Zadanie 6. Znajdź wszystkie funkcje f : R2→ R takie, że dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi
(x,y)→(0,0)lim
f (a + x, b + y) − f (a, b) − ay − bx − x2− y2
|x|3+ |y|3 = 0.
lub wykaż, że taka funkcja nie istnieje.
Zadanie 7. Znajdź wszystkie funckje dwukrotnie różniczkowalne określone na R2 spełniające
∂2f
∂x2(x, t) = ∂2f
∂t2(x, t) Wskazówka: Dokonać zamiany zmiennych x = y + s, t = y − s.
Zadanie 8. Dla jakich wartości α można tak zadać wartość f(0, 0), aby funkcja f była ciągła na zbiorze {(x, y) : x + y > −1}, gdzie
f (x, y) = x + y − ln(1 + x + y) − |xy|
(x2+ y2)α .
1
