Analiza Matematyczna II. Lista 4. Równania różniczkowe
Zadanie 1. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania różniczkowego zwy-czajnego o rozdzielonych zmienny. Naszkicować wykresy rozwiązań.
a) sin xdy dx = y cos x; b) dy dx = y 2; c) dy dx = 2xy.
Zadanie 2. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania różniczkowego o rozdzielonych zmienny i rozwiązać odpowiedni problem Cauchy’ego.
a) (1 + x2)dy dx = 2xy 2 , y(0) = −1/2; b) 2x2dy dx = y, y(1) = 1; c) (1 + x)y + (1 − y)xdy dx = 0, y(1) = 1; d) eydy dx = x(1 + e y), y(√ln 2) = 0; e) dy dx = tg y x2 , y(1/ ln 2) = π/6.
Zadanie 3. Rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne lub odpowiedni problem Cauchy’ego. a) x2dy dx = x 2 + xy + y2; b) 2xydy dx = x 2 + y2; c) (x2− y2)dy dx = 2xy; d) xdy dx = y + x tg y x, y(2) = π/3; e) xdy dx = y + y ln y x, y(1) = e 2;
f) x + y + xdy
dx = 0, y(1) = 1/2.
Zadanie 4. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe lub odpowiedni pro-blem Cauchy’ego. a) dy dx = xy + xe x2 ; b) dy dx = y x + 2x 2; c) dy dx = 2 y x + x 2cos x; d) xdy dx + y = x sin x; e) dy dx = 2y x + 1 + (x + 1) 3; f) xdy dx = 2y + x + 1, y(1) = 1/2; g) dy dx + y ctg x = 2 cos x, y(π/6) = 1.
Zadanie 5. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe wyższych rzędów o sta-łych współczynnikach lub odpowiedni problem Cauchy’ego.
a) 2y00− 5y0− 3y = 0; b) y00+ 4y0+ 13y = 0; c) 4y00+ 12y0+ 9y = 0; d) y00+ y0− 2y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 4; e) y00+ 2y0+ y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 1; f) y00− 2y0+ 2y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 2; g) y00− 5y0+ 6y = 0, y(0) = 0, y0(0) = −1; h) y00+ 6y0+ 9y = 0, y(0) = 2, y0(0) = −1; i) y00+ 2y0+ 10y = 0, y(0) = 2, y0(0) = 1; j) y000− 2y00− 5y0+ 6y = 0;
k) y000+ 8y = 0; l) y000− 6y00+ 12y0 − 8y = 0; m) y000− 2y00− 3y0+ 10y = 0; n) y000− 5y00+ 8y0− 4y = 0; o) y000− 6y00+ 11y0 − 6y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 2, y00(0) = 6; p) y000− y00= 0, y(0) = −1, y0(0) = −1, y00(0) = 1.
Zadanie 5. Rozwiązać układ równań różniczkowe liniowych lub odpowiedni problem Cauchy’ego. a) x0 = 2x + 4y, y0 = 4x + 2y; b) x0 = x + 5y, y0 = −x − 3y; c) x0 = −3x − y, y0 = x − y; d) x0 = −7x + y, y0 = −x − 5y, x(0) = 1, y(0) = 1; e) x0 = −2x − 4y, y0 = −x + y, x(0) = 2, y(0) = 3; f) x0 = x + 5y, y0 = −x − 3y, x(0) = 1, y(0) = 2; g) x0 = 3x + 8y, y0 = −x − 3y, x(0) = 1, y(0) = 0; h) x0 = x + y, y0 = −4x − 3y, x(0) = 2, y(0) = 2;
