Wojciech Maćkowiak 2 lipca 2004 roku
Zagadnienia z analizy II
I Pochodna funkcji .
1. Pochodna funkcji. Interpretacja geometryczna. Funkcje różniczkowalne a ciągłość.
2. Pochodne: sumy, iloczynu, ilorazu funkcji. Pochodna złożenia funkcji. Pochodna funkcji odwrotnej. 3. Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a, Cauchy’ego.
4. Porównanie funkcji pochodnych z funkcjami ciągłymi i funkcjami z własnością Darboux. 5. Zastosowanie pochodnych do obliczania granicy ilorazu funkcji (Reguła d’Hospitala) 6. Różniczkowalność granicy ciągu (szeregu) funkcyjnego.
II Pochodne wyższych rzędów.
1. Pochodne wyższych rzędów. Funkcje klasy Cn.
2. Twierdzenie Taylora. Wzór MacLaurina.
3. Szeregi Taylora i Maclaurina. Problem rozwijania funckji w szereg Maclaurina. 4. Pochodne a ekstrema lokalne funkcji.
III Całka Riemanna.
1. Konstrukcja całki Riemanna. Dolna i górna całka Riemanna.
2. Funkcje R-całkowalne. Warunek równoważny całkowalności (Przykłady funkcji niecałkowalnych).
3. Twierdzenia o całkowalności funkcji: ciągłych, monotonicznych, złożenia funkcji ciągłej i całkowalnej. Całkowalność granicy ciągu funkcji.
4. Podstawowe własności całki Riemanna. Twierdzenie o wartości średniej.
5. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. Funkcje pierwotne. Związek między funkcją pierwotną a całką.
6. Twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawienie. 7. Całka niewłaściwa.
8. Zastosowanie całki w geometrii (pole obszaru normalnego, objętość brył obrotowych, pole powierzchni bocznej, długość łuku).
IV Szeregi Fouriera. Rozwijanie funkcji w szereg Fouriera. V Zbieżności ciągów funkcyjnych.
1. Własności rodzin funkcji (jednakowa ciągłość, punktowa ograniczoność i ich zastosowania). 2. Twierdzenie Weierstrassa.
3. Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.
