Metoda czasu urojonego
8 pa´zdziernika 2020
1
stan podstawowy
1.1
H z poprzedniego laboratorium. Przyjmujemy N = 300, W = 0 meV.
Metoda iteracji w czasie urojonym dla stanu podstawowego sprowadza si˛e do wielokrotnego zastosowania przepisu
Ψ := (1 − αH)Ψ, (1)
gdzie α jest parametrem metody.
Wynik działania Hamiltonianu na siatce: HΨ(i) = −¯h2
2m
Ψ(i+1)+Ψ(i−1)−2Ψ(i)
∆x2 + ViΨ(i).
Podstawienie (1) implementujemy u˙zywaj ˛ac dwóch tablic: odpowiadaj ˛acym nowej Ψ0i sta-rej Ψ funkcji falowej. Dla siatki punktów numerowanych od 0 do N, opuszczamy w˛ezły brze-gowe dla których trzymamy Ψ(0) = Ψ(N ) = 0. Ustawiamy startowe warto´sci funkcji falowej Ψ w ka˙zdym oczku siatki, u˙zywaj ˛ac warto´sci losowych z przedziału [−1, 1]. Podstawienie (1) wprowadzamy w nast˛epuj ˛acy sposób:
• do i=1,N-1 • Ψ0
(i) = Ψ(i) − αHΨ(i) • enddo
• do i=1,N-1 • Ψ(i) = Ψ0(i) • enddo
Po ka˙zdym podstawieniu (1) nale˙zy funkcj˛e unormowa´c: liczymy całk˛e z |Ψ|2, a potem
dzielimy funkcj˛e falow ˛a przez pierwiastek z tej całki.
I = N X i=0 |Ψ(i)|2∆x, (2) ∀iΨ(i) := Ψ(i) √ I (3)
Dla unormowanej funkcji falowej warto´s´c oczekiwana energii liczona jest jako
hEi =
N
X
i=0
Ψ(i)HΨ(i)∆x, (4)
Po wyliczeniu energii ko´nczymy iteracj˛e i przechodzimy do kolejnej, zaczynaj ˛ac od ponownego podstawienia wg wzoru (1).
W czasie iteracji obserwujemy hEi. Gdy przestanie si˛e zmienia´c mo˙zna zako´nczy´c rachu-nek.
1.2
Wg analizy von Neumanna (wynik) optymalna warto´s´c parametru α dla stałego potencjału wy-nosi α = m∆x¯h22. Jest to równie˙z warto´s´c krytyczna dla zbie˙zno´sci metody, powy˙zej której rachunek jest rozbie˙zny. Dla bezpiecze´nstwa prosz˛e przyj ˛a´c α = 0.95m∆xh¯22. Zbada´c zbie˙zno´s´c warto´sci oczekiwanej energii w zale˙zno´sci od α (sprawdzi´c kilka warto´sci α w pobli˙zu warto´sci krytycznej) (40 pkt).
1.3
Pierwszy stan wzbudzony
Po wyliczeniu stanu podstawowego (E1, Ψ1) mo˙zemy spróbowa´c wyznaczy´c pierwszy stan
wzbudzony. Iteracja przebiega w nast˛epuj ˛acy sposób:
• (i) liczymy Ψ2:= (1 − αH)Ψ2(implementacja jak wy˙zej)
• (ii) ortonormalizujemy wynik do Ψ1:
• (iia) liczymy rzut iterowanej funkcji na funkcj˛e stanu podstawowego c1 = hΨ1|Ψ2i =
PN
i=0Ψ1(i)Ψ2(i)∆x
• (iib) usuwamy z iterowanej funkcji falowej przyczynek od stanu podstawowego ∀iΨ2(i) := Ψ2(i) − c1Ψ1(i) (po tym podstawieniu iterowana Ψ2 jest ortogonalna do
Ψ1)
• (iii) normujemy Ψ2i wracamy do (i), chyba ˙ze osi ˛agn˛eli´smy zbie˙zno´s´c.
1.4
Wyznaczy´c stan 2. Udokumentowa´c zbie˙zno´s´c procedury iteracyjnej, oraz funkcj˛e falow ˛a. (30 pkt)
1.5
Powtórzy´c obliczenia dla stanu podstawowego i pierwszego stanu wzbudzonego dla W = 2000 meV. (30 pkt) Porówna´c wynik z uzyskanym metod ˛a strzałów. Wyliczenie funkcji falowej dla stanu wzbudzonego zgodnej z metod ˛a strzałów mo˙ze w tym przypadku wymaga´c wi˛ecej iteracji. Dlaczego?
