Kryterium d’Alemberta zbieżności i rozbieżności szeregów

(1)

Kryterium d’Alemberta

zbieżności i rozbieżności

szeregów

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

2019

(2)

Kryterium d’Alemberta zbieżności i rozbieżności szeregów

Autor: Katarzyna Czyżewska

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: Kryterium d'Alemberta

Jeżeli dla indeksów większych od pewnej liczby wyrazy szeregu są dodatnie oraz istnieje granica , to dla szereg jest zbieżny, a dla szereg jest rozbieżny.

UWAGA

Uwaga 1:

Kryterium d‘Alemberta nie rozstrzyga zbieżności szeregu w przypadku .

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu ,dla . Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Szereg ,dla ma wyrazy dodatnie, więc możemy zastosować kryterium d’Alemberta. Obliczamy granicę .

Zatem szereg jest zbieżny dla i rozbieżny dla .

Zauważamy również, że dla nie jest spełniony WK zbieżności szeregu, gdyż .

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

Szereg dla ma wyrazy dodatnie, więc stosujemy kryterium d’Alemberta. Obliczamy odpowiednią granicę

Zatem szereg jest zbieżny.

n

0

∈

N

+

∑

∞n=1

a

n

= g

lim

n→∞ an+1 an

g ∈ [0, 1)

∑

∞ n=1

a

n

g ∈ (1, ∞)

∑

∞n=1

a

n

g = 1

n

∑

∞ n=1

a

n

a > 0

n

∑

∞ n=1

a

n

a > 0

lim

n→∞ an+1 an

= a

= a.

lim

n→∞ (n+1)an+1 nan

lim

n→∞ n+1 n

a ∈ (0, 1)

a > 1

a = 1

lim

n ⋅

= ∞

n→∞

1

n

∑

∞ n=1 nn!n

∑

∞ n=1 nn!n

n ≥ 1

⋅

=

= < 1.

lim

n→∞ (n+1)! (n+1)n+1 n n n! _n→∞

lim

n n (n+1)n _n→∞

lim

₍n+11 n )n n→∞

lim

1 (1+1 n)n 1 e

∑

∞ n=1 nn!n

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Rozwiązanie:

Szereg dla ma wyrazy dodatnie, więc stosujemy kryterium d’Alemberta. Obliczamy granicę

Zatem szereg jest rozbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Rozwiązanie:

Szereg dla ma wyrazy dodatnie, więc stosujemy kryterium d’Alemberta. Obliczamy granicę

Zatem szereg jest rozbieżny.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 09:50:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=5159a9d8bc9bff11a7fd6f523b107d09

Autor: Katarzyna Czyżewska

∑

∞ n=1 (2n)!_(n!)2

∑

∞ n=1 (2n)!_(n!)2

n ≥ 1

⋅

=

⋅

=

= 4 > 1.

lim

n→∞ (2(n+1))! ((n+1)!)2 (n!) 2 (2n)! _n→∞

lim

(2n+2)(2n+1)(2n)!(n+1 (n!)2 ₎2 (n!) 2 (2n)! _n→∞

lim

2(2n+1)n+1

∑

∞ n=1 (2n)!_(n!)2

∑

∞ n=1 n!n n 2n+1

∑

∞ n=1 n!n n 2n+1

n ≥ 1

=

⋅

=

⋅ (

lim

n→∞ an+1 an _n→∞

lim

(n+1)!(n+1)n+1 2n+2 2 n+1 n!nn _n→∞

lim

(n+1)(n+1) n+1 2nn

lim

n→∞ (n+1)2 2 n+1n

)

n

=

⋅ (1 +

lim

n→∞ (n+1)2 2 n1

)

n

[∞ ⋅ e] = ∞.

∑

∞ n=1 n!n n 2n+1