Liniadluga

Politechnika Częstochowska

Wydział Elektryczny

Zakład Elektrotechniki

Laboratorium WZET

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest doświadczalne zapoznanie się ze zjawiskami falowymi zachodzącymi w linii długiej przy różnych obciążeniach i różnych częstotliwościach napięcia zasilania.

2. Wiadomości podstawowe

2.1. Linia długa i jej parametry jednostkowe

Linia długa - linia elektryczna o długości porównywalnej z długością fali, która odpowiada

częstotliwości napięć i prądów w linii. W szerszym ujęciu linia długa to obiekt o parametrach rozłożonych.

Linię długą charakteryzują cztery parametry jednostkowe:

- rezystancja jednostkowa R, /km, związana ze stratami energii elektrycznej zamienianej

na ciepło w przewodach,

- indukcyjność jednostkowa L, H/km, związana z istnieniem pola magnetycznego wokół

przewodów,

- upływność jednostkowa G, S/km, związana z niedoskonałością izolacji między

poszczególnymi przewodami linii,

- pojemność jednostkowa C, F/km, związana z istnieniem pola elektrycznego między

poszczególnymi przewodami linii.

Podzielmy linię długą na odcinki o długości x. Każdy taki odcinek może zostać zastąpiony czwórnikiem jak na rysunku 1.

Rx Lx Gx _Cx u(x,t) i(x,t) i(x+x,t) u(x+x,t) Generator _Z2 x + x x x

Rys. 1. Linia długa i schemat zastępczy jej odcinka o długości x

2.2. Równania linii długiej

Dla odcinka linii długiej z rysunku 1 można ułożyć następujące równania Kirchhoffa:

 

 

 





 







 

i x x t



t t x x u x C t x x xu G t x i t x x u t t x i x L t x xi R t x u , , , , , , , ,                      

Dla x  0 powyższe równania przyjmują postać tzw. równań telegrafistów t u C Gu x i t i L Ri x u               ,

Zakładając następnie, że prąd i napięcie w danym punkcie x są sinusoidalnie zmienne w czasie (z pulsacją ) i stosując metodę liczb zespolonych, otrzymuje się

 

_{ }

 

_YU

_{ }

_x x x I x I Z x x U     d d , d d gdzie C G Y L R Z  j ,  j

Rozwiązanie powyższego układu równań można zapisywać w różnych postaciach, m.in.: - w postaci wykładniczej:

 

x x

 

x x Z U Z U x I U U x U e  e , e  e c 1 c 1 1 1          

gdzie U1 i U1 są stałymi równymi wartościom skutecznym pierwotnej i odbitej fali

napięciowej na początku linii, natomiast

Y Z Z Y Z   , c 

Z postaci tej wynika, że w ogólnym przypadku napięcie i prąd w linii długiej jest superpozycją dwóch fal - jednej biegnącej od źródła do odbiornika (fala pierwotna) i drugiej - biegnącej od odbiornika do źródła (fala odbita).

- w postaci hiperbolicznej:

 

 

x I x Z U x I x I Z x U x

U cosh sinh , sinh 1cosh

c 1 1 c 1    

gdzie U1 i I1 - napięcie i prąd na początku linii długiej.

- w postaci wykładniczej z odległością mierzoną od końca linii (z = l – x, l - długość linii):

 

 

2 2 2 c 2 2 2 c 2 2 c 2 c 2 2 2 I Z U U I Z U U Z U Z U z I U U z U _{  e}z_{  e}z_{, }  _ez_  _ez_{,  }  _{,  }  gdzie U2 i I2 - napięcie i prąd na końcu linii długiej (w odbiorniku Z2).

Na rysunku 2 przedstawiono schematycznie linię długą o długości l wraz z charakterystycznymi parametrami. U1 U(x), U(z) U2 I2 I1 I(x), I(z) l z x Zc,  Z2

2.3. Parametry falowe linii długiej

Występujący w rozwiązaniach równań linii długiej parametr Zc = Zcej jest tzw. impedancją

charakterystyczną, zwaną także impedancją falową, a współczynnik  =  + j jest tzw.

współczynnikiem propagacji fali. Jego część rzeczywista  = Re nosi nazwę współczynnika

tłumienia, a część urojona  = Im - współczynnika opóźnienia fazowego. Znając , można

obliczyć prędkość fali v oraz jej długość :

    _   , 2 v

Wymienione parametry noszą nazwę parametrów falowych linii długiej. Nie zależą one od rodzaju odbiornika ani od długości linii, lecz tylko od jej parametrów jednostkowych i pulsacji .

2.2. Rozkład wartości skutecznych napięć i prądów w linii długiej

Można pokazać, że impedancja wejściowa linii długiej jest równa

l Z Z l Z Z Z I U Z   tanh tanh 2 c c 2 c 1 1 def 1    

Wprowadza się także tzw. współczynnik odbicia fali

c 2 c 2 1 2 def

Z

Z

Z

Z

U

U

n













który charakteryzuje bezpośrednio stopień dopasowania odbiornika do linii. Gdy n = 0, mówimy, że linia pracuje w stanie dopasowania falowego. Jest to stan pożądany, gdyż wtedy nie ma fali odbitej, a więc moc wysłana przez generator jest w całości przekazywana do odbiornika.

Przypuśćmy, że znamy Z2 (impedancję odbiornika) i U1 (napięcie zasilania) oraz parametry

linii. Napięcie i prąd w dowolnym punkcie linii, odległym o x od jej początku, można obliczyć następująco:

- obliczamy impedancję wejściową linii Z1, przy czym najpierw obliczamy tanhl:

l l l l l _{l l} l l l l l l      _{ } _ _ 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 sin je cos e sin je cos e e e e e tanh _j j                 - obliczamy prąd wejściowy I1: 1 1 1 Z U I 

- obliczamy wartości skuteczne fali pierwotnej i odbitej na początku linii:

2 2 1 c 1 1 1 c 1 1 I Z U U I Z U U   ,    - przedstawiamy je w postaci wykładniczej

  _{  }     _ej _{, e}j 1 1 1 1 U U U U

- dla wybranej wartości x obliczamy części rzeczywiste i urojone wartości skutecznych napięcia i prądu w odległości x od początku linii (UWAGA:  = argZc):

 









 

x U



x



U



x



U x U x U x U x x x x                               sin e sin e Im cos e cos e Re 1 1 1 1

 









 



  





  



                                x Z U x Z U x I x Z U x Z U x I x x x x sin e sin e Im cos e cos e Re c 1 c 1 c 1 c 1

- obliczamy wartości skuteczne prądu i napięcia w odległości x od początku linii

 _x  _U _x 2  _U _x2 _I _x  _I _x2  _I _x 2

U  Re  Im ,  Re  Im

Przykładowe wykresy rozkładu modułu napięcia i prądu w linii długiej zamieszczono na rysunku 3.

a) b) x 1 |U(x)/U1| |I(x)/I1| /2 x 1 |U(x)/U1| |I(x)/I1| /2 0 2  Z Z2 Zc/2 c) d) x 1 |U(x)/U1|, |I(x)/I1| x 1 |U(x)/U1| |I(x)/I1| /2 c 2 Z Z  Z2 2Zc e) f) x 1 |U(x)/U1| |I(x)/I1| /2 x |U(x)| |I(x)| /2   2 Z Z2 jX, X Zc

2.3. Czwórnikowy model linii

Linię długą można zamodelować za pomocą n łańcuchowo połączonych jednakowych czwórników (rys. 4) o strukturze odpowiadającej odcinkowi linii o długości x (niekoniecznie 1 km). Mierząc prąd i napięcie na zaciskach poszczególnych czwórników można znaleźć rozkład modułu wartości skutecznej prądu i napięcia.

1

1 1 0 0

2

2 2

3

3 3

n

n n n–1 n–1 Z2 R L G C k–1 k–1 k k

k

k k k–1 k–1

Rys. 4. Czwórnikowy model linii długiej

Model czwórnikowy zastosowany w ćwiczeniu (punkty 3.1 i 3.2) składa się z 12 jednakowych czwórników o strukturze pokazanej na rysunku 5. Jest on umieszczony we wspólnej obudowie z wyprowadzonymi zaciskami pomiarowymi. Ponadto z boku obudowy wyprowadzono zaciski różnych obciążeń Z2, które umożliwiają następujące obciążenie linii:

- impedancją charakterystyczną Z2 = Zc (linia dopasowana falowo),

- rezystancją R > Zc,

- rezystancja R < Zc,

- pojemnością C, - indukcyjnością L.

Parametry jednego czwórnika wynoszą: - R = 6,5 ,

- L = 0,13 H, - G = 0 S, - C = 1 F.

Przyjmując, że indukcyjność linii powietrznej wynosi około 1,3 mH/km, można stwierdzić, że jeden czwórnik odpowiada odcinkowi linii o długości około 100 km, zaś całym model - linii o długości około l = 1200 km, przy czym parametry linii są równe:

- R = 0,065 /km, - L = 1,3 mH/km, - G = 0 S/km, - C = 10 nF/km.

Model linii zasilany jest napięciem o częstotliwości 350 Hz. Dla tej częstotliwości otrzymuje się następujące parametry falowe linii:

- impedancja charakterystyczna: Zc  360 ,   0,

- współczynnik tłumienia:   910–5 _Np/km,

- współczynnik przesunięcia fazowego:  = 7,9310–3 _rad/km,

- prędkość fazowa: v  277 tys. km/s, - długość fali:  = 792 km,

3. Przebieg ćwiczenia

3.1. Wyznaczanie rozkładu napięcia w czwórnikowym modelu linii długiej

- Zestawić układ wg schematu z rysunku 5 (model linii znajduje się w osobnej obudowie, woltomierz powinien być cyfrowy),

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Z2

V

Rys. 5.

- Na generatorze ustawić częstotliwość f = 350 Hz oraz napięcie U = 1 V (UWAGA: napięcie to ustawiać od nowa po każdej zmianie obciążenia linii),

- Dla każdego z przypadków podanych niżej dokonać pomiaru rozkładu napięcia na modelu linii długiej (tabela 1); pomiaru dokonuje się woltomierzem cyfrowym, przyłączając jego zaciski pomiarowe kolejno do par zacisków na modelu linii długiej; pomiary wykonać dla następujących przypadków:

- linia zwarta na końcu (stan zwarcia): Z2 = 0 (stosować krótkie przewody zwierające),

- linia rozwarta na końcu (stan jałowy): Z2 = ,

- linia obciążona impedancją charakterystyczną (linia dopasowana falowo): Z2 = Zc = 360 ,

- linia obciążona rezystancją: Z2 = R = 213  < Zc,

- linia obciążona rezystancją: Z2 = R = 2,93 k > Zc,

- linia obciążona rezystancją: Z2 = jL, L = 1,56 H,

- linia obciążona pojemnością: Z2 = –j/C, C = 1 F.

Tabela 1 U, V (f = 350 Hz) Z2 = 0 Z2 =  Z2 = Zc Z2 < Zc Z2 > Zc Z2 = jL Z2 = –j/C Pomiary 1 2 3 ... 12 Obliczenia n Z1

3.2. Wyznaczanie charakterystyki częstotliwościowej w wybranych punktach linii

- Układ jak w poprzednim punkcie,

- Dla każdego z przypadków podanych niżej dokonać pomiaru wartości skutecznej napięcia na zaciskach 6 oraz 12 przy napięciu wejściowym równym 1 V i częstotliwości f zmienianej w zakresie od 100 do 1200 Hz, przy czym napięcie wejściowe ustawiać po każdej zmianie obciążenia i częstotliwości; pomiary przeprowadzić dla:

- stanu zwarcia: Z2 = 0, - stanu jałowego: Z2 = . Tabela 2 f, Hz 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 U, V zaciski 6 Zc 0  zaciski 12 Zc 0 

4. Opracowanie sprawozdania

1. Cel ćwiczenia.

2. Schematy pomiarowe i tabele wyników.

3. Parametry i dane znamionowe zastosowanych przyrządów.

4. Podać wzory na napięcie w funkcji odległości x od końca linii dla każdego z przypadków rozpatrywanych w punkcie 3.1. Na ich podstawie dla każdego przypadku wykreślić linią ciągłą teoretyczny rozkład modułu napięcia U(x) oraz na tym samym wykresie zaznaczyć symbolami odpowiadające im punkty pomiarowe z tabeli 1.

5. Dla każdego przypadku z punktu 3.1 obliczyć współczynnik odbicia fali oraz impedancję wejściową linii (tabela 1).

6. Sporządzić wykresy modułu napięcia w badanych punktach linii w funkcji częstotliwości: linią ciągłą na podstawie teorii oraz zaznaczyć symbolami odpowiadające im punkty pomiarowe z tabeli 2.

7. Wnioski.

5. Pytania sprawdzające

1. Co to jest linia długa?

2. Narysować schemat zastępczy odcinka linii długiej o długości x. 3. Omówić parametry jednostkowe linii długiej.

4. Podać równania linii długiej (równania telegrafistów).

5. Podać równania linii długiej dla napięć i prądów sinusoidalnych.

6. Podać rozwiązania równań linii długiej zasilanej napięciem sinusoidalnym. 7. Omówić parametry falowe linii długiej.

8. Naszkicować orientacyjnie rozkład modułów napięcia i prądu w linii długiej w funkcji odległości od końca linii bezstratnej dla obciążenia Z2 = Zc, Z2 = R < Zc oraz Z2 = R > Zc.

9. Wyjaśnić możliwość zamodelowania linii długiej łańcuchem czwórników.

Literatura

[1] Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - teoria obwodów elektrycznych, WNT, W-wa 1986, ss. 440-480.

[2] Cholewicki T.: Elektrotechnika teoretyczna, tom II, WNT, W-wa 1971, ss. 189-258.

[3] Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - obwody liniowe i nieliniowe, PWN, W-wa 1991, ss. 248-266.

[4] Kurdziel R.: Podstawy eleketrotechniki, WNT, W-wa 1972.

[5] Lubelski K.: Elektrotechnika teoretyczna, część 6, skrypt Politechniki Częstochowskiej, Cz-wa 1982.

[6] Niestusził A.W., Strachow G.W.: Obwody o parametrach skupionych i rozłożonych, WNT, W-wa 1971.

[7] Osiowski J.: Teoria obwodów, tom II, WNT, W-wa 1971.

[8] Sikora R., Lipiński W.: Ćwiczenia laboratoryjne z elektrotechniki, skrypt Politechniki Szczecińskiej, Szczecin 1977.