Obszary stabilności układu regulacji z regulatorem ułamkowym dla niestabilnego obiektu pierwszego rzędu z opóźnieniem / PAR 2/2011 / 2011 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

mgr inĪ. Tomasz Nartowicz Studium Doktoranckie, Wydziaá Elektryczny PB

OBSZARY STABILNOĝCI UKàADU REGULACJI

Z REGULATOREM UàAMKOWYM DLA NIESTABILNEGO

OBIEKTU PIERWSZEGO RZĉDU Z OPÓħNIENIEM

DESIGN OF FRACTIONAL ORDER CONTROLLER FOR A FIRST ORDER UNSTABLE PLANT WITH DELAY

The paper presents the design problem of fractional order controller satisfying gain and phase margin of the closed-loop system with time-delay first order unstable plant. The transfer function of the controller follows directly from the use of Bode's ideal transfer function as a reference transfer function of the open loop system. Computer method for synthesis of fractional controller is given. Using the classical D-partition method a simple analytical method for determining stability regions respecting phase and gain margins in the controller parameters space is given. The considerations are illustrated by numerical example and results of computer simulation.

1. WSTĉP

Ostatnie lata przyniosáy intensywny rozwój teorii analizy i syntezy liniowych ukáadów uáamkowego rzĊdu, patrz np. monografie [1í6] i cytowana tam literaturĊ. Praca [7] jest przeglądem wybranych zagadnieĔ rachunku uáamkowego rzĊdu oraz teorii ciągáych ukáadów liniowych uáamkowego rzĊdu.

Problem badania stabilnoĞci oraz odpornej stabilnoĞci liniowych ukáadów uáamkowych byá rozpatrywany w pracach [8í16]. Do pierwszych prac naukowych, w których zaczĊto rozpatrywaü regulatory rzĊdu uáamkowego, naleĪą prace Podlubnego, m.in. [15]. Problemowi doboru wartoĞci nastaw regulatorów PIODP są poĞwiĊcone miĊdzy innymi prace [10í16]. Podano w nich róĪne metody syntezy regulatorów, miĊdzy innymi bazujące na klasycznej metodzie Zieglera-Nicholsa, np. [17], jak i inne metody, np. optymalizacyjne [10]. Zastosowanie regulatora uáamkowego rzĊdu poprawia wskaĨniki jakoĞci regulacji. W pracach [8í11] synteza regulatora opiera siĊ na takim dobraniu transmitancji uáamkowego regulatora, aby transmitancja operatorowa ukáadu otwartego miaáa tzw. idealną postaü Bodego [17].

W niniejszej pracy rozpatrzony zostanie problem doboru wartoĞci parametrów regulatora uáamkowego rzĊdu zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci ukáadu regulacji z obiektem inercyjnym pierwszego rzĊdu z caákowaniem i opóĨnieniem. Ponadto podane zostaną analityczne metody wyznaczania obszarów stabilnoĞci w przestrzeni parametrów rozpatrywanego regulatora, uwzglĊdniające zadane zapasy stabilnoĞci moduáu i fazy. Proponowane metody oparte są na klasycznej metodzie podziaáu D oraz podejĞciu zaproponowanym w pracach [18í20].

2. SFORMUàOWANIE PROBLEMU

WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej o schemacie blokowym pokazanym na rys. 1, skáadający siĊ z obiektu o transmitancji operatorowej

, 1 ) ( e sh s k s G   W k!0,W !0 (1)

i szeregowego regulatora uáamkowego rzĊdu o transmitancji C(s).

- ) (s G ) (s C r u y

Rys. 1. Rozpatrywany ukáad regulacji automatycznej

Postaü transmitancja operatorowa uáamkowego regulatora C(s) wynika z doboru jego postaci w taki sposób, aby transmitancja operatorowa ukáadu otwartego miaáa tzw. idealną postaü Bodego [9] opisaną równaniem (2). Szersza analiza ukáadu otwartego o idealnej postaci Bodego (w tym w dziedzinie czasu) jest podana w pracy [17]. Synteza regulatora wykorzystująca powyĪsze podejĞcie zostaáa przedstawiona w pracach [8í11].

, ) ( E Z ¸ ¹ · ¨ © § s s K c ₍₂₎

W celu uzyskania transmitancji operatorowej ukáadu otwartego o postaci (2) (bez uwzglĊdniania czáonu opóĨniającego sh

e ) zastosowano uproszczenie: . 1 ) ( sh e sh s k e s k s G  |   W W (3)

Dobierając transmitancjĊ regulatora o postaci:

, ) (  _D k s1D s s k s C _{c c} (4)

gdzie D jest liczbą rzeczywistą, otrzymano transmitancjĊ ukáadu otwartego:

. ) ( ) ( ) ( _D W s e kk s G s C s K sh c  (5)

ZauwaĪmy, Īe uzyskana postaü transmitancji ukáadu otwartego (5) róĪni siĊ od idealnej transmitancji Bodego (2) czáonem opóĨniającym esh. Przeanalizujmy teraz proces projektowania regulatora uáamkowego rzĊdu o transmitancji operatorowej (4). Ze wzglĊdu na

zadany zapas moduáu A i zadany zapas fazy _m I_m, poszukiwane parametry regulatora to wartoĞü wzmocnienia k oraz rzeczywista liczba _c D .

UwzglĊdniając wzór (jZ)D |Z|D ejDS/2 obliczamy moduá i fazĊ transmitancji (5): , 1 | ) ( | _D Z W Z kkc j K . 2 ) ( arg ) (Z Z Z D S I K j h  (6)

Dla pulsacji odciĊcia moduáu Zg oraz fazy Zp zachodzą nastĊpujące zaleĪnoĞci:

, 1 | ) ( |K jZ_g I(Z_p) argK(jZ_p) S. (7) UwzglĊdniając wzory (6) moĪemy napisaü:

, 1 D WZg c kk . 2 S S D Z   h p (8)

Po przeksztaáceniu wzorów (8) otrzymujemy:

, W ZD c g kk . 2 ) 2 ( h p S D Z  (9)

Z drugiego wzoru (9) wynika, Īe aby pulsacja Zp byáa liczbą dodatnią musi byü speániony

warunek D 2. Przy zadanym zapasie stabilnoĞci, tj. zapasie moduáu Am i zapasie fazy Im zachodzą poniĪsze zaleĪnoĞci:

, 1 m p c A kk D WZ 2. S D Z S I_m h _g  (10)

Po przeksztaáceniu wzorów (10) mamy:

D W Z / 1 ¸ ¹ · ¨ © § m c p kk A , 2 . ) 2 ( h m g I S D Z   (11)

UwzglĊdniając pierwsze wzory (9) i (10) otrzymamy:

. D D Z Z g p m A (12)

Podstawiając drugie ze wzorów (9) i (11) do (12) otrzymamy:

. 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( D I S D S D ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ ¨ © §    m m A (13)

Nieliniowe równanie (13) wiąĪe ze sobą zapasy moduáu i fazy (Am i Im) z uáamkowym rzĊdem D regulatora (4).

WartoĞü parametru D moĪemy obliczyü rozwiązując nieliniowe równanie (13). WartoĞü wzmocnienia k regulatora wyznaczamy z pierwszych wzorów (8) lub (10): _c

, m p g c kA k k D D _WZ WZ (14)

na podstawie znajomoĞci wzmocnienia k obiektu i obliczonej pulsacji odciĊcia moduáu z drugiego ze wzorów (11) lub pulsacji odciĊcia fazy z drugiego ze wzorów (9).

Wyznaczenia wartoĞci parametru D wymaga znajomoĞci tylko zadanego zapasu stabilnoĞci (zapasu moduáu A i zapasu fazy _m I_m). WartoĞü wzmocnienia k regulatora wymaga _c natomiast znajomoĞci dodatkowo pulsacji odciĊcia moduáu Z_g (lub pulsacji odciĊcia fazy

p

Z ) i wzmocnienia k oraz staáej czasowej W obiektu.

RozwaĪmy ukáad regulacji automatycznej pokazany na rysunku 2, skáadający siĊ z obiektu regulacji opisano transmitancją operatorową (1),oraz regulatora uáamkowego (4). Na rys. 2 w tor gáówny sterowania zawiera tzw. tester zapasu moduáu i fazy Aexp(jI), gdzie A í zapas moduáu i I í zapas fazy. Tester ten wykorzystuje siĊ tylko przy syntezie parametrycznej regulatora, nie wystĊpuje on w rzeczywistym ukáadzie regulacji. WartoĞci parametrów regulatora dobiera siĊ tak, aby ukáad regulacji charakteryzowaá siĊ okreĞlonymi zapasami stabilnoĞci moduáu i fazy. Zapasy te związane są ze wskaĨnikami jakoĞci.

-

)

(s

G

)

(s

C

Ae

r

u

y

Rys. 2. Rozpatrywana struktura ukáadu regulacji automatycznej z testerem zapasu fazy i moduáu

Zapiszmy quasi-wielomian charakterystyczny rozpatrywanego ukáadu regulacji: sh j cs e e Akk sT s w( )  1D  I  (15)

Rozpatrywany ukáad regulacji automatycznej jest stabilny, wtedy i tylko wtedy gdy jego quasi-wielomian charakterystyczny uáamkowego stopnia (15) jest stabilny, tzn. wszystkie jego zera mają ujemne czĊĞci rzeczywiste [21].

Celem pracy jest podanie prostej metody syntezy regulatora uáamkowego rzĊdu zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci (tj. zapas moduáu A i zapas fazy _m I_m) ukáadu zamkniĊtego z regulatorem uáamkowym i obiektem niestabilnym uáamkowego rzĊdu. Dodatkowo wykorzystując metodĊ podziaáu D zostanie podana metoda wyznaczenia wartoĞci wzmocnienia kc regulatora oraz parametru D, dla których rozpatrywany ukáad regulacji automatycznej ma zadane zapasy stabilnoĞci, tj. zapas moduáu A i zapas fazy I.

3. ROZWIĄZANIE PROBLEMU

Wykorzystując klasyczną metodĊ podziaáu D [22] moĪemy wyznaczyü obszary stabilnoĞci w przestrzeni parametrów regulatora (2). Wyznaczone obszary definiują zbiór wartoĞci parametrów regulatora zapewniających stabilnoĞü rozpatrywanego ukáadu regulacji automatycznej. Granice stabilnoĞci dla metody podziaáu D odpowiadają wartoĞciom parametrów regulatora, dla których quasi-wielomian charakterystyczny (15) rozpatrywanego ukáadu ma przynajmniej jedno zero poáoĪone na osi urojonej. MoĪe to byü zero rzeczywiste lub para zer urojonych sprzĊĪonych. Zatem granice podziaáu D rozdzielamy na granice zer zespolonych i rzeczywistych, dzieląc przestrzeĔ parametrów regulatora na obszary D(k) o skoĔczonej liczbie zer quasi-wielomianu (15) o dodatniej czĊĞci rzeczywistej. Dowolnie wybrany punkt w D(k) odpowiada takim wartoĞciom parametrów regulatora, dla których

wielomian (15) ma dokáadnie k zer o dodatniej czĊĞci rzeczywistej. StabilnoĞü quasi-wielomianu (15) dla jednego punktu z tego obszaru moĪna zbadaü stosując np. kryterium Michajáowa [21].

Dowolnemu punktowi na granicy zer rzeczywistych odpowiada quasi-wielomian (15), który ma zero s 0. Na páaszczyĨnie (D, kc) granicą zer rzeczywistych quasi-wielomianu (15) jest linia prosta kc 0.

GranicĊ zer zespolonych wyznacza siĊ rozwiązując wzglĊdem D i kc równanie

)

(j j T  Akk_c j 1 ej ej h

w Z Z Z D I Z (16)

Przyrównujemy do zera quasi-wielomian (15) przy s jZ. Równanie zespolone (16) jest speánione, gdy odpowiednio jego czĊĞci rzeczywiste Re[w(jZ)] i urojone Im[w(jZ)] są równe zero: , 0 )] ( Re[w jZ (17) . 0 )] ( Im[w jZ (18)

Rozwiązując ukáad równaĔ (17), 186) wzglĊdem D i kc otrzymujemy: , 2 p D (19) , 2 Ak T k p c   Z (20) gdzie p 2(ZhI)/S.

WykreĞlając funkcji Z liniĊ o opisie parametrycznym (19), (20), otrzymamy przestrzeni (D, kc) granicĊ zer zespolonych rozpatrywanego quasi-wielomianu (15).

Otrzymane opisy granic stabilnoĞci (podziaáu D) umoĪliwiają wyznaczenie obszarów stabilnoĞci uwzglĊdniając zadane zapasy moduáu i fazy. Wyznaczając obszary stabilnoĞci, dla zadanego zapasu moduáu A naleĪy przyjąü I 0, zaĞ dla zadanego zapasu fazy I naleĪy przyjąü A 1.

Przykáad 1. WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej o schemacie pokazanym na

rys. 1, przy czym obiekt regulacji jest opisany transmitancją operatorową

. 62 1 55 . 0 ) ( e 10s s s G   (21)

NaleĪy wyznaczyü parametry transmitancji regulatora (4) tak, aby ukáad zamkniĊty miaá zapas moduáu 4A_m (ok. 12 dB) i zapas fazy I_m 55D (ok. 0,96 rad). W rozpatrywanym przypadku mamy: k 0,55; W 62; h 10.

PostĊpując zgodnie z metodą syntezy regulatora [8í11] í wzory (9í14) í bazującą na transmitancji operatorowej ukáadu otwartego zbliĪonej do tzw. idealnej postaci Bodego, otrzymujemy: 13385 . 0 2.9358 ) ( s s C  (22)

Na rys. 3 pokazano charakterystyki skokowe ukáadu regulacji z obiektem (21) i wyznaczonym regulatorem C(s) o transmitancji operatorowej (22), wyznaczone dla kilku

wartoĞci wzmocnienia obiektu k. Dla k 0,55 charakterystyka skokowa ma przeregulowanie okoáo 100 %, zaĞ czas regulacji wynosi okoáo 300 s. Mniejsze wartoĞci wzmocnienia ukáadu otwartego powodują wzrost przeregulowania, dla k=0,4 nawet do ok. 130 %, wydáuĪa siĊ teĪ czas regulacji. Nie obserwujemy natomiast wzrostu przeregulowania dla wartoĞci wspóáczynnika wzmocnienia obiektu wiĊkszych od 0,55 (badano zmianĊ wartoĞci wzmocnienia do k 1), w tym teĪ przypadku czas regulacji zmniejsza siĊ. Uzyskano stabilną odpowiedĨ skokową ukáadu zamkniĊtego.

Wyznaczony regulator C(s) opisany transmitancją (22), ma ujemną wartoĞü wzmocnienia. Powoduje to zmianĊ sprzĊĪenia zamkniĊtego ukáadu automatycznej regulacji na dodatnie. 0 100 200 300 400 500 600 700 0 0.5 1 1.5 2 2.5 czas [s] Odpowiedz skokowa k=0.55 k=0.4 k=1

Rys. 3. Charakterystyki skokowe ukáadu zamkniĊtego z obiektem (21) i regulatorem (22) wyznaczone dla kilku wartoĞci wzmocnienia k obiektu

Zaprojektowany ukáad regulacji sprawdzono w dziedzinie czĊstotliwoĞci otrzymując zapas stabilnoĞci: . 32,9208 , 3,5956 _m q m A I

Obliczone wartoĞci zapasu moduáu i fazy są mniejsze od zakáadanych podczas syntezy regulatora dla uproszczonej transmitancji (3) (A_m 4, I_m 55D).

Przykáad 2. WeĨmy pod uwagĊ ukáad regulacji automatycznej taki jak w przykáadzie 1.

NaleĪy dokonaü syntezy regulatora (2), tak aby rozpatrywany ukáad regulacji miaá zapas moduáu A 4 (okoáo 12 dB) i zapas fazy D

60 m

I

Wykorzystując obszary stabilnoĞci wyznaczamy wartoĞci parametrów regulatora jednoczeĞnie dla zadanego zapasu moduáu A i zapasu fazy I. Aby to uzyskaü na jednym rysunku, wykreĞlamy granicĊ zer zespolonych dla okreĞlonego zapasu fazy I, przy A 1 oraz granicĊ zer zespolonych dla okreĞlonego zapasu moduáu A, przy I 0. Punkt przeciĊcia wyznaczonych granic jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Na rys. 4 pokazano obszary stabilnoĞci wyznaczone dla A 4 oraz I = 60q. Punkt przeciĊcia ma wspóárzĊdne D 1,08, kc –3,5.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -8 -6 -4 -2 0 D k_c phi=60 A=4

Rys. 4. Obszary stabilnoĞci quasi-wielomianu (15) dla wartoĞci I = 60° oraz A = 4

W tab. 1 podano wyznaczone wartoĞci parametrów transmitancji regulatora oraz odpowiadające im zapasy stabilnoĞci dla kilku zapasów stabilnoĞci.

Tab. 1. Zapasy moduáu i fazy i odpowiadające im nastawy regulatora

Zapas moduáu Zapas fazy [o] Nastawy regulatora

1 3 40 D 1.245, k_c 2.68

2 3.5 50 D 1.16, k_c 3.07

3 4 60 D 1.08, k_c 3.5

Na rys. 5 pokazano charakterystyki skokowe ukáadu regulacji wyznaczone dla otrzymanych wartoĞci nastaw regulatora zgodnie z tab. 1. Z rysunku wynika, Īe dla wiĊkszego zapasu stabilnoĞci mammy mniejsze przeregulowanie, oraz krótszy czas regulacji.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0.5 1 1.5 2 2.5 czas [s] A=4, phi=60 A=3.5, phi=50 A=3, phi=40

Rys. 5. Odpowiedzi skokowe ukáadu regulacji

BIBLIOGRAFIA

1. S. Das: Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer, Berlin 2008.

2. P. Ostalczyk: Zarys rachunku róĪniczkowo-caákowego uáamkowych rzĊdów. Teoria i zastosowania w automatyce. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ 2008.

3. I. Podlubny: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego 1999.

4. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo: Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam 2006.

5. J. Sabatier, O. P. Agrawal, J. A. T. Machado (Eds): Advances in Fractional Calculus, Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer, London 2007.

6. T. Kaczorek.: Wybrane zagadnienia teorii ukáadów niecaákowitego rzĊdu. Oficyna Wydawnicza Politechniki Biaáostockiej, Biaáystok 2009.

7. M. Busáowicz: Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych ciągáych ukáadów niecaákowitego rzĊdu, Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2010.

8. B. Boudjehem, D. Boudjehem, H. Tebbikh: Simple analytical design method for fractional-order controller. Proc. 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications, Ankara, Turkey, 2008 (CD-ROM).

9. M. Busáowicz, T. Nartowicz: Projektowanie regulatora uáamkowego rzĊdu dla okreĞlonej klasy obiektów z opóĨnieniem. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2009, 398–405.

10. Nartowicz T.: Synteza regulatora uáamkowego rzĊdu zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci ukáadu zamkniĊtego z obiektem inercyjnym pierwszego rzĊdu z caákowaniem i opóĨnieniem. Pomiary Automatyka Robotyka, 2010, str. 443–452.

11. Nartowicz T.: Synteza regulatora uáamkowego rzĊdu zapewniającego zadany zapas stabilnoĞci dla okreĞlonej klasy obiektów inercyjnych z opóĨnieniem. Pomiary Automatyka Kontrola, 5/2010, vol. 56, str. 409–413.

12. Y.Q. Chen, H. Dou, B. M. Vinagre and C.A. Monje: A Robust Tuning Method for Fractional Order PI Controllers, The Second IFAC Symposium on Fractional Derivatives and Applications, Porto, Portugal (2006).

13. S. E. Hamamci: An Algorithm for Stabilization of Fractional-Order Time Delay Systems Using Fractional-Order PID Controllers, IEEE Trans. on Automatic Control, 52, 1964– 1969 (2007).

14. C. A. Monje, B. M. Vinagre, V. Feliu, Y. Chen: Tuning and auto-tuning of fractional order controllers for industry applications. Control Engineering Practice, 16, 798–812 (2008)

15. I. Podlubny: Fractional-order systems and PIODP -controllers, IEEE Trans. on Automatic Control, 44, 208–214 (1999).

16. D. Valerio, J. S. da Costa: Tuning of fractional PID controllers with Ziegler-Nichols type rules. Signal Processing, 2006, vol. 86, pp. 2771–2784.

17. R. S. Barbosa, J. A. Machado, I. M. Ferreira: Tuning of PID controllers based on Bode's ideal transfer function. Nonliner Dynamics, 38, 305–321 (2004).

18. A. Ruszewski: Parametric synthesis of controllers for particular plants with uncertain parameters, PhD Dissertation, Faculty of Electrical Engineering, Biaáystok Technical University (in Polish), 2008.

19. A. Ruszewski: Stability regions of closed loop system with time delay inertial plant of fractional order and fractional order PI controller, Bull. Pol. Ac.: Sci. Tech. 56 (4), 329– 332 (2008).

20. A. Ruszewski: Stabilisation of inertial processes with time daly using a fractional order PI controller, PAK, 56, 2 (2010), 160–162.

21. M. Busáowicz: Frequency domain method for stability analysis of linear continuous-time fractional systems, [in:] K. Malinowski, L. Rutkowski (Eds.): Recent Advances in Control and Automation, Academic Publishing House EXIT, Warsaw 2008, 83–92.

22. H. Górecki, S. Fuksa, P. Grabowski and A. Korytowski: Analysis and Synthesis of Time Delay Systems, PWN-J. Wiley, Warsaw Chichester, 1989.