10 mar a 2006
1. Pokaza¢, »e je»eli
M
jestσ
- iaªempodzbiorówX
orazµ :
M → R
+
miar¡,to(a) Je»eli
A
1
, . . . , A
n
∈ M
s¡ paramirozª¡ znetoµ(A
1
∪ · · · ∪ A
n
) = µ(A
1
) +
· · · + µ(A
n
).
(b) Je»eliA
⊂ B
iA, B
∈ M
toµ(A)
≤ µ(B).
( ) Je»eli
A
⊂ B
,A, B
∈ M
orazµ(A) <
∞
toµ(B
\ A) = µ(B) − µ(A).
(d) Je»eliA
n
∈ M
dlan = 1, 2, . . .
toµ(
S
∞
n=1
A
n
)
≤
P
∞
n=1
µ(A
n
).
(e) Je»eli
A
n
∈ M
dlan = 1, 2, . . .
orazA
1
⊂ A
2
⊂ A
3
⊂ · · · ,
toµ(
S
∞
n=1
A
n
) = lim
n→∞
µ(A
n
)
. (f) Je»eliA
n
∈ M
dlan = 1, 2, . . . ,
A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ · · ·
orazµ(A
1
) <
∞
, toµ(
T
∞
n=1
A
n
) = lim
n→∞
µ(A
n
).
2. Nie h
X
bdzie dowolnym zbiorem. Pokaza¢, »e odwzorowanieµ : 2
X
→ R
+
dane wzorem:µ(A) =
|A|
je»eliA
jest zbioremsko« zonym,+
∞
je»eliA
jest zbioremniesko« zonym.jestmiar¡.
3. Nie hodwzorowanie
µ : 2
R
→ R
+
dane bdzie wzorem:µ(A) =
0
je»eliA
jestzbiorem przeli zalnym,+
∞
je»eliA
jestzbiorem nieprzeli zalnym.(a) Pokaza¢, »e
µ
jest miar¡.(b) Nie h
A
n
= [n,
∞)
dlan = 1, 2, . . . .
Pokaza¢, »eµ(
T
∞
n=1
A
n
)
6= lim
n→∞
µ(A
n
).
4. Pokaza¢, »e funk ja
µ : 2
R
→ R
+
dana wzoremµ(A) =
(
0
gdy√
2 /
∈ A,
1
gdy√
2
∈ A,
5. Nie h
X
bdzie dowolnym zbiorem niepustym orazx
0
∈ X
. Pokaza¢, »e odwzorowanieµ : 2
X
→ R
+
dane wzorem:µ(A) =
1
gdyx
0
∈ A,
0
gdyx
0
∈ A.
/
jestmiar¡.6. Nie h
X
bdzie dowolnym zbiorem nieprzeli zalnym. Nie hM = {A ⊂ R : |A| ≤ ω ∨ |R \ A| ≤ ω} .
Pokaza¢, »e odwzorowanie
µ :
M → R
+
danewzorem:µ(A) =
0
gdyA
jestzbiorem przeli zalnym,1
gdyX
\ A
jestzbiorem przeli zalnym.
jestmiar¡.
7. Nie h
(x
n
)
n
bdzie i¡giemowyraza hwR
,(c
n
)
n
bdzie i¡giemowyraza h wR
+
. Spraw-dzi¢, »e wzórµ (A) =
X
x
n
∈A
c
n
okre±la miar
µ
naσ
- iele wszystki h podzbiorówR
.8. Wykaza¢,»eje»elizbiory
A, B
s¡mierzalneorazB
jestmiaryzero,toµ(A
∪B) = µ(A\B) =
µ(A).
9. Dowie±¢, »e je»elizbiory
A
iB
s¡ mierzalne,toµ(A) + µ(B) = µ(A
∪ B) + µ(A ∩ B).
10. Wykaza¢,»eje»elizbiory
A, B
s¡mierzalneorazB
jestmiaryzero,toµ(A
∪B) = µ(A\B) =
µ(A).
11. Wykaza¢, »e je»eli
A
i
(i = 1, 2, ...
) s¡zbioramimierzalnymiiµ(A
i
∩ A
j
) = 0
dlai
6= j,
toµ
∞
[
i=1
A
i
!
=
∞
X
i=1
µ (A
i
) .
12. Nie hµ (A) =
X
n∈A
1
2
n
.
Sprawdzi¢, »e(a)
µ
jestmiar¡ naσ
- iele wszystki h podzbiorówN
, (b)µ(N) = 1
,( ) zbiór warto± i miary
µ
jestprzedziaªem[0, 1]
. Czyz tego, »eµ(A) = µ(B)
wynika,»eA = B
? 13. Nie hµ (A) =
X
n∈A
1
3
n
.
Sprawdzi¢, »e(a)
µ
jestmiar¡ naσ
- iele wszystki h podzbiorówN
, (b)µ(N) = 1/2
.Czy zbiór warto± i miary
µ
jest przedziaªem[0, 1/2]
? Czy z tego, »eµ(A) = µ(B)
wynika, »eA = B
?14. Sprawdzi¢, »e je»eli miara
µ
jest sko« zona oraz{A
j
: j
∈ J}
jestrodzin¡zbiorówparami rozª¡ zny h nale»¡ y h doM
,to zbiórI =
{j ∈ J : µ (A
j
) > 0
}
jestprzeli zalny.
Wskazówka:
I =
S
n∈N
{j ∈ J : µ(A
j
) > 1/n
}
.15. Nie hdana bdzie przestrze«z miar¡
(X,
M, µ)
oraz odwzorowanief : X
→ Y
. Sprawdzi¢, »e (a)N = {B ⊂ Y : f
−1
(B)
∈ M}
jestσ
- iaªem wY
; (b) wzórν(B) = µ(f
−1
(B))
,B
∈ N
,okre±la miar naN
.16. Nie h dana bdzie przestrze« z miar¡
(Y,
N , ν)
oraz odwzorowanief : X
→ Y
. Sprawdzi¢, »eM = {f
−1
(B) : B
∈ N }
jest
σ
- iaªem wX
.(a) Czy musiistnie¢ taka miara
µ
naM
, »eµ(f
−1
(B)) = ν(B)
dlaka»dego
B
∈ N
? (b) Zaªó»my dodatkowo, »ef (X) = Y
. Czy wów zas musi istnie¢ taka miaraµ
naM
, »eµ(f
−1
(B)) = ν(B)
dlaka»degoB
∈ N
?17. Wykaza¢, »e je»eli
(µ
n
)
n
jest i¡giem miar naσ
- ieleM
,to funk jaµ =
∞
X
n=1
µ
n
jestrównie»miar¡ na
M
.18. Nie h
µ
bdzie miar¡ okre±lon¡naσ
- ieleM
podzbiorów przestrzeniX
,nie hM
1
=
{A ⊂ X : A = B ∪ C,
gdzieB
∈ M
iC
⊂ D ∈ M, µ (D) = 0} .
Pokaza¢, »e
(a)
M
1
jestσ
- iaªem,(b)
