1. Przestrzenie mierzalne
Ćw. 1.1 Rozważmy rodzinę A złożoną ze wszystkich skończonych podzbiorów zbioru N oraz ich dopełnień, tzn.
A = { A ⊆ N ; ]A < +∞ lub ]Ac < +∞ }.
Pokaż, że
a) A jest algebrą Boole’a,
b) A nie jest σ-algebrą (wskazówka: rozważ np. zbiory postaci Ak = {2k}).
Ćw. 1.2 Udowodnij, że a({{n1, n2} ; n1, n2 ∈ N}) = a({n} ; n ∈ N), gdzie Ω = N.
Ćw. 1.3 Niech C ⊆ 2Ω oraz
C1 = C ∪ {∅, Ω} ∪ {Ac ; A ∈ C} ,
C2 = {skończone przekroje zbiorów z klasy C1} , C3 = {sumy skończone rozłącznych elementów z klasy C2} .
1. Pokaż, że C3 jest zamknięta ze względu na przekroje, tzn.
B, D ∈ C3 ⇒ B ∩ D ∈ C3.
2. Pokaż, że jeśli B ∈ C2, to Bc ∈ C3.
3. Uzasadnij, że C3 jest algebrą Boole’a oraz C3 = a(C).
Ćw. 1.4 Niech Ω = (0, 1), An = (0,n−1n ), n ∈ N. Czy a({An}) = σ({An})?
Ćw. 1.5 Niech Ω = R, C1 = {(n, n + 1) ; n ∈ Z}, C2 = {[n, n + 1] ; n ∈ Z}. Sprawdź, czy
zachodzą inkluzje:
σ(C1) ⊆ σ(C2) i σ(C2) ⊆ σ(C1) .
Ćw. 1.6 (zbiory borelowskie)
Przez Bn oznaczamy σ-algebrę generowaną przez wszystkie zbiory otwarte w
prze-strzeni Rn. Elementy Bn nazywamy zbiorami borelowskimi.
Czy następujące zbiory są zbiorami borelowskimi: zbiór domknięty, zbiór jednopunk-towy, zbiór liczb wymiernych w przestrzeni R1, zbiór liczb niewymiernych w prze-strzeni R1?
Ćw. 1.7 Niech C = {(−∞, q] ; q ∈ Q }. Pokaż, że B1 = σ(C).
(Wskazówka: można skorzystać z faktu, że B1 = σ(S1), gdzie S1
