dr in. Wojciech Trzasko
Politechnika Biaostocka w Biaymstoku
WZGLDNA PUNKTOWA ZUPENO
DODATNICH UKADÓW CIGO-DYSKRETNYCH
W pracy sformuowano definicje oraz podano warunki konieczne i wystarczajce punktowej zupenoci oraz wzgldnej punktowej zupenoci dodatnich liniowych dwuwymiarowych ukadów cigo-dyskretnych. Podano te metod wyznaczania nieujemnych warunków brzegowych, dla których trajektoria stanu ukadu wzgldnie punktowo zupenego przechodzi przez dowolny zadany nieujemny stan kocowy. Rozwaania zilustrowano przykadem.
RELATIVE POINTWISE COMPLETENESS OF POSITIVE CONTINUOUS – DISCRETE TIME SYSTEMS
The paper considers a class of linear 2D positive continuous-discrete time systems. The definitions of pointwise completeness and relative pointwise completeness are introduced and necessary and sufficient conditions are given. The considerations are illustrated by numerical example.
1. WSTP
W ukadach dodatnich skadowe wektorów wymusze, warunków pocztkowych, stanu i wyjcia przyjmuj tylko wartoci nieujemne. Przykady dodatnich ukadów liniowych s podane w monografii [5] oraz cytowanej tam literaturze.
W teorii ukadów dodatnich zamiast przestrzeni liniowych korzystamy z teorii stoków. Teoria ukadów dodatnich jest wic dziedzin znacznie trudniejsz i mniej zaawansowan od klasycznej teorii ukadów liniowych. Problem analizy i syntezy dodatnich ukadów liniowych z opónieniem od stanu jest tematem wielu publikacji w ostatnich kilku latach, np. [1, 5, 8, 9]. Ostatnio, nowa klasa dwuwymiarowych liniowych hybrydowych (cigo-dyskretnych) ukadów dodatnich zostaa zaproponowana w pracy [4], a w pracy [6] podano warunki wzgldnej sterowalnoci stacjonarnych ukadów hybrydowych.
Pierwszy raz pojcie punktowej zupenoci oraz punktowej degeneracji cigych ukadów z opónieniami wprowadzi Weiss (np. [ 10]). Sformuowany przez Weissa problem by rozpatrywany w wielu pracach, np. [3, 7].
Problem punktowej zupenoci oraz punktowej degeneracji dyskretnych ogólnych ukadów z opónieniami zosta sformuowany i rozwizany w pracy [2], za w pracach [1, 9] zosta rozwizany dla ukadów dodatnich.
W niniejszej pracy, wykorzystujc rezultaty prac [1, 9], rozpatrzymy problem punktowej zupenoci oraz wzgldnej punktowej zupenoci dodatnich liniowych dwuwymiarowych ukadów cigo-dyskretnych, dla których rozwizanie analityczne równa stanu zostay podane w pracy [4]. Najpierw, uwzgldniajc specyfik dodatnich ukadów dwuwymiarowych, zostan wprowadzone definicje punktowej zupenoci i wzgldnej punktowej zupenoci. Nastpnie zostan podane warunki konieczne i wystarczajce punktowej zupenoci takich ukadów oraz prosta metoda wyznaczania nieujemnych warunków brzegowych, dla których trajektoria stanu ukadu wzgldnie punktowo zupenego
2. DODATNI UKAD CIGO-DYSKRETNY
Niech bdzie zbiorem macierzy o wymiarach num num o rzeczywistych elementach oraz .
1 u
n n
Zbiór macierzy o wymiarach nu których elementami s liczby rzeczywiste m, nieujemne, bdziemy oznacza przez num, przy czym n nu1. Zbiór liczb cakowitych dodatnich bdziemy oznacza przez Z, za zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych przez
). , 0 [ f R
Wemy pod uwag dwuwymiarowy ukad cigo-dyskretny liniowy stacjonarny opisany równaniami stanu ) , ( ) , ( ) , ( 11 1 12 2 1 t i A x t i A x t i x , t R, (1a) ) , ( ) , ( ) 1 , ( 21 1 22 2 2 t i A x t i A x t i x , i Z, (1b) przy czym t i t x i t x w w ( , ) ) , ( 1 1 , (, ) 1 1 n i t x , ( , ) 2 2 n i t x oraz 1 1, 11 n n A u 1 2, 12 n n A u , 1 2 21 n n A u 2 2. 22 n n A u
Ukad (1) ma struktur podobn do modelu 2W Roessera [5], gdzie ( , ) 1
1
n i t
x jest odpowiednikiem wektora horyzontalnego, za (, ) 2
2
n i t
x wektora wertykalnego. W pracy [4] ukady cigo dyskretne s nazywane dwuwymiarowymi ukadami hybrydowymi.
Warunki brzegowe dla ukadu (1) maj posta
) ( ) , 0 ( 1 1 i x i x , i Z oraz x2(t,0) x2(t), t R. (2)
Definicja 1. [4] Ukad cigo-dyskretny (1) nazywamy 2W modelem wewntrznie dodatnim,
jeeli dla dowolnych dodatnich warunków brzegowych
1 ) ( 1 n i x , i Z oraz ( ) 2 2 n t x , t R, (3) zachodzi ( , ) 1 1 n i t x i ( , ) 2 2 n i t x dla wszystkich t R i i Z.
Twierdzenie 1. Rozwizanie ukadu (1) speniajce warunki brzegowe (2) ma posta
°¯ ° ® ¦ ) ) ) ,.. 2 , 1 dla ) ( ) ) ( )( ( ) ( ) ( ) ) ( )( ( ) ( ) ( 0 dla ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) , ( 1 0 21 1 21 22 2 1 22 21 1 2 1 1 t x i Pt A Pt A A t x k Pt A Pt A x t i i t x t P x t i t x i k i k i (4a) ,... 2 , 1 ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) , ( 1 21 22 2 0 21 1 1 22 21 2 ¦ ) i dla t x A t P A k x t A A t P A i t x i i k k i (4b)
przy czym )(t) eA11t, a P(t) jest operatorem okrelonym zalenoci
. ) ( ) ( ) ( 0 12 ³) t d x A t x t P W W W (5)
Dowód. Rozwizanie ukadu (1) jest przypadkiem szczególnym rozwizania ukadu
hybrydowego, zaproponowanego w pracy [4], tzn. przy macierzach wej B1 B2 0.
Dowód przeprowadza si podobnie jak w twierdzeniu 1 pracy [4].
Twierdzenie 2. [4] Ukad cigo-dyskretny (1) jest dodatni wewntrznie, wtedy i tylko wtedy,
gdy
1. A11 jest macierz Metzlera, (6a)
2. .1 2, 2 1, 2 2 22 21 12 n n n n n n A A A u u u (6b)
Dowód. Dowód przeprowadzimy podobnie jak w twierdzeniu 2 pracy [4]. Dostateczno. Ogólnie wiadomo, e macierz (t) eA11t n1un1
) wtedy i tylko wtedy, gdy
11
A jest macierz Metzlera. Jeeli A11 jest macierz Metzlera, za pozostae macierze maj elementy nieujemne (6b) i warunki brzegowe speniaj (3), to z (4a) mamy ( , ) 1
1 n i t x , a z równania (4b) ( , ) 2 2 n i t x , i Z,t R.
Konieczno. Niech x2(t) 0, t R i x1(0) ei (i-ta kolumna macierzy jednostkowej
1
n I ). Z (1a) dla i = 0, t R i (4a) mamy x1(t,0) A11)(t)ei.Zauwamy, e aby trajektoria nie wysza z wiartki n1 musi by 1 1 11 1(0,0) n e A
x , co implikuje aij t0 dla iz Macierz j. A11 musi by macierz Metzlera. Za z (4b) dla i = 1, t R mamy x2(t,1) A21)(t)x1(0)t0,
co implikuje 2 1, 21 n n A u gdy (0) 1 1 n
x moe by dowolne. Podobnie, dla x1(0) 0, z (1a) mamy (0,0) (0) 1, 2 12 1 n x A x co implikuje 1 2, 12 n n
A u gdy x2(0) moe by dowolne. Za z (4b) dla i = 1, t R mamy x2(t,1) (A21P(t)A22)x2(t)t0, co implikuje
2 2 22 n n A u , gdy ( ) 2 2 n t
x moe by dowolne.
Ŀ
3. WZGLDNA PUNKTOWA ZUPENO
Wykorzystujc pojcia punktowej zupenoci, zdefiniowanej dla ukadów cigych z opónieniami [3, 7, 10] oraz dla ukadów dyskretnych [2], w tym dodatnich [1, 9], mona sformuowa nastpujce definicje.
Definicja 2. Dodatni ukad cigo-dyskretny (1) nazywamy punktowo zupenym w punkcie
, )
,
(t i RuZ t tf !0, i kt1, jeeli dla kadego wektora
2 1 ) , ( ) , ( 2 1 2 1 n n f f i t x i t x x x x » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª (7)
mona tak dobra warunki brzegowe (3), e . ) , ( ) , ( 2 1 » ¼ º « ¬ ª k t x k t x x f f
Definicja 3. Dodatni ukad cigo-dyskretny (1) bdziemy nazywa wzgldnie punktowo
zupenym dla stanu ( , ) 1
1
n i t
x w punkcie (t,i)RuZ, t tf !0, i kt1, jeeli dla
kadej skadowej 1 ) , ( 1 1 n f x t i x (8)
wektora stanu (7) mona tak dobra warunki brzegowe (3), e x1f x1(tf,k).
Definicja 4. Dodatni ukad cigo-dyskretny (1) bdziemy nazywa wzgldnie punktowo
zu-n
2 ) , ( 2 2 n f x t i x (9)
wektora stanu (7) mona tak dobra warunki brzegowe (3), e x2f x2(tf,k).
Poszukiwa bdziemy rozwizania, przy zaoeniu x2(t): x2 dla 0dtdtf, tzn. x2 jest stae w caym przedziale.
Rozwizanie (4) równa stanu ukadu cigo-dyskretnego z warunkami brzegowymi (3) dla ,
0 ! f t
t i kt1 mona napisa w postaci
, 0 0 2 1 2 1 x x x x x f f D D D » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª (10) gdzie , )] ( ), ( , ), 1 ( ), 0 ( [ ( 1)1 2 2 1 1 1 0 n n k T t x k x x x x ! (11a) ] ) 1 [( ) ( 2 2 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 ) 1 ( 0 ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ( n n k n n k D D D k D k D D D u » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª " " D D D (11b) przy czym ), ( ) ( ) ( 1 21 1 f j k f D A t t P j D ) D2(j) Dk1jA21)(tf), dla j 0,1,!,k1, (12a) ), ( ) ( 1 k tf D ) (12b) , ) ( ) 1 ( 1 k f D t P k D D2(k1) Dk, (12c) za . ) ( 2 2 22 21 n n f A t P A D u (13)
Z definicji 2 i wzoru (10) wynika nastpujcy warunek konieczny punktowej zupenoci.
Lemat 1. Warunkiem koniecznym, aby dodatni ukad cigo-dyskretny by punktowo zupeny
w punkcie (t,i)RuZ, t tf !0, i kt1, musi by speniony warunek
.
2
1 n
n
rankD (14)
Naley zauway, e powyszy warunek jest take warunkiem koniecznym i wystarczajcym punktowej zupenoci standardowych ukadów cigo-dyskretnych (1), tzn. o dowolnych elementach macierzy A11, A12, A21, A22.
Niech Im D bdzie dodatnim obrazem macierzy (11b), tzn. zbiorem wszystkich dodatnich kombinacji liniowych kolumn tej macierzy
}. , : { Im 1 2 ( 1)1 2 0 0 n n k n n x x x x D D (15)
Twierdzenie 3. Dodatni ukad cigo-dyskretny (1) jest punktowo zupeny w punkcie
, )
,
(t i RuZ t tf !0, i kt1, wtedy i tylko wtedy, gdy jest speniony jeden z niej podanych równowanych warunków:
1) ,Im n1n2
2) z macierzy D mona wybra n1n2 liniowo niezalenych kolumn takich, e macierz D~ utworzona z tych kolumn jest uogólnion macierz permutacji, zwan te macierz monomialn (w kadym wierszu i kadej kolumnie tylko jeden element jest dodatni, a wszystkie pozostae s zerowe),
3) z macierzy D mona wybra n1n2 liniowo niezalenych kolumn takich, e macierz odwrotna (D macierzy utworzonej z tych kolumn ma elementy nieujemne. )1
Dowód. Z definicji 2 i wzoru 10, przy zaoeniu x2(t): x2 dla 0dtdtf, wynika, e dodatni ukad (1) jest punktowo zupeny w punkcie (tf,k) wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadego
2 1 n
n
x istnieje warunek brzegowy ( 1)1 2,
0
n n k
x czyli gdy jest speniony warunek 1) twierdzenia 3. Jeeli jest speniony warunek 1) twierdzenia 3, to z macierzy D mona wybra
2
1 n
n kolumn liniowo niezalenych, które tworz baz przestrzeni n1n2
wtedy i tylko wtedy, gdy w kadym wierszu i w kadej kolumnie tylko jeden element jest dodatni, a pozostae s zerowe, czyli gdy jest speniony warunek 2) twierdzenia 3. Macierz utworzona z tych kolumn jest macierz monomialn. Macierz odwrotna macierzy o nieujemnych elementach jest te macierz o nieujemnych elementach wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona macierz monomialn [5]. Zatem warunki 2) i 3) s równowane.
Ŀ
Przy spenieniu któregokolwiek z warunków twierdzenia 3 na podstawie wzoru (10) mona wyznaczy warunki brzegowe (3) dla dowolnego zadanego stanu (7) w punkcie
, )
,
(t i RuZ t tf !0, i kt1.
Lemat 2. Jeeli rankD n1n2 oraz
, ] [ T 1 [( 1) ]( ) T k n1n2un1n2 DD D (16)
to dodatni ukad cigo-dyskretny (1) jest punktowo zupeny w punkcie (t,i)RuZ,
, 0 ! f t
t i kt1 i wektor warunków brzegowych x (11a), dla którego rozwizanie0 równa (1) dla t tf !0, i kt1 jest równe zadanemu stanowi
, ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 n n f f f f k t x k t x x x x » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª
mona wyznaczy ze wzoru
. ] [ T 1 T 0 x x D DD (16)
Dowód. Jeeli ukad (1) jest punktowo zupeny, to rankD n1n2, det(DDT)z0 i macierz
1 T T
]
[DD
D jest dobrze zdefiniowana. Jeeli zachodzi (16) i ,
) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 n n f f f f k t x k t x x x x » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª to wtedy ( 1)1 2 0 n n k x oraz . ] [ 2 1 1 T T 0 » ¼ º « ¬ ª f f x x x x x D DD DD (17)
Lemat 3. Aby dodatni ukad cigo-dyskretny by wzgldnie punktowo zupeny w punkcie , ) , (t i RuZ t tf !0, i kt1, 1) dla stanu ( , ) 1 1 n i t
x musi by speniony warunek
, 1 1 n rankD (18) 2) dla stanu ( , ) 2 2 n i t
x musi by speniony warunek
,
2
2 n
rankD (19)
gdzie macierze D1 i D2 dane s zalenoci (11b).
atwo wykaza, e twierdzenie 3 jest prawdziwe dla wzgldnej punktowej zupenoci, przy czym dla przypadku 1) naley wzi pod uwag macierz D1, o postaci (11b), oraz n1 liniowo niezalenych kolumn.
Jeeli którykolwiek z warunków twierdzenia 3 jest speniony, to ze wzoru
0 1
1 x
x f D (20)
moemy wyznaczy warunki brzegowe ( 1)1 2
0 n n k x takie, e ( , ) 1. 1 1 n f f x t k x
Wówczas dla otrzymanych warunków brzegowych i punktu(t,i)RuZ, t tf !0, , 1 t k i warto skadowej ( , ) 2 2 2 n f f x t k
x wektora stanu (7) ukadu (1) wyznacza si ze wzoru . 0 2 2 x x f D (21)
Powysze rozumowanie jest równie prawdziwe dla przypadku 2), przy czym w twierdzeniu 3 naley wzi pod uwag odpowiednio macierz D2, o postaci (11b), oraz n2 liniowo niezalenych kolumn, za warunki brzegowe ( 1)1 2
0
n n k
x wyznacza si ze wzoru (21), a nastpnie warto skadowej ( , ) 1
1 1
n f
f x t k
x wektora stanu (7) ukadu (1) wyznacza si ze wzoru (20).
Uwzgldniajc powysze rozwaania i definicje 3 i 4 otrzymamy ponisze lematy.
Lemat 4. Jeeli rankD1 n1 oraz
, ] [ T 1 [( 1)1 2] 1 1 1 T 1 n n n k u D D D (22)
to dodatni ukad cigo-dyskretny (1) jest wzgldnie punktowo zupeny dla stanu ( , ) 1
1 n i t x w punkcie (t,i)RuZ, t tf !0, i kt1.
Jeeli jest speniony warunek (22), to wektor warunków brzegowych x (11a), dla którego 0 rozwizanie równania (1a) dla t tf !0, i kt1 jest równe zadanemu stanowi
, ) , ( 1 1 1 n f f x t k
x mona wyznaczy ze wzoru
, ] [ 1 1T 1 1 T 1 0 x f x D D D (23)
za warto skadowej ( , ) 2
2 2
n f
f x t k
x wektora stanu (7) ukadu (1) wyznacza si ze wzoru
.
0 2
2 x
x f D (24)
gdzie macierze D1, D2 s odpowiednimi wierszami macierzy D o postaci (11b).
Lemat 5. Jeeli rankD2 n2 oraz
, ] [ T 1 [( 1)1 2] 2 2 2 T 2 n n n k u D D D (25)
to dodatni ukad cigo-dyskretny (1) jest wzgldnie punktowo zupeny dla stanu
2 ) , ( 2 n i t x w punkcie (t,i)RuZ, t tf !0, i kt1.
Jeeli jest speniony warunek (25), to wektor warunków brzegowych x (11a), dla którego 0 rozwizanie równania (1b) dla t tf !0, i kt1 jest równe zadanemu stanowi
2 ) , ( 2 2 n f f x t k
x mona wyznaczy ze wzoru
, ] [ 2 2T 1 2 T 2 0 x f x D D D (26)
za warto skadowej ( , ) 1,
1 1
n f
f x t k
x wektora stanu (7) ukadu (1) wyznacza si ze wzoru
0 1
1 x
x f D , (27)
gdzie macierze D1, D2 s odpowiednimi wierszami macierzy D o postaci (11b). Dowód powyszych lematów przeprowadza si podobnie jak lematu 2.
4. PRZYKAD
Naley zbada punktow zupeno w punkcie(t,i)uZ, t tf 1, i k 2
dodatniego ukadu cigo-dyskretnego (1) o macierzach: , 2 0 0 1 11 » ¼ º « ¬ ª A , 0 1 12 » ¼ º « ¬ ª A A21
> @
1 2, A22> @
2. (24)Dla rozpatrywanego ukadu macierz podstawowa ma posta
, 0 0 ) ( 2 11 » ¼ º « ¬ ª ) A t t t e e e t (25) operator (5) 2 0 0 12 0 1 0 ) ( ) ( » ¼ º « ¬ ª ³ » ¼ º « ¬ ª ³) f f f f t t t t f f e e d A t t P W W W (26)
jest wektorem kolumnowym, za macierz (13)
1 22 21 ( ) 3 tf f A e t P A D (27)
. 9281 . 6 0 0 2707 . 0 3679 . 0 7124 . 0 9683 . 0 0 1353 . 0 0 0 0 0 0 3794 . 4 0 3679 . 0 1711 . 0 2325 . 0 4503 . 0 6121 . 0 ) 3 ( 0 ) 1 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 2 2 2 1 1 1 1 2 1 » » » ¼ º « « « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª D D D D D D D D D D (28)
atwo sprawdzi, e macierz (28) ma n1 n2 3 liniowo niezalene kolumny, przy czym tylko dwie z nich s monomialne. Zatem nie jest speniony warunek 2) twierdzenia 3, co oznacza, e rozpatrywany ukad nie jest punktowo zupeny w badanym punkcie.
Natomiast z lematu 3 wynika, e ukad (1) o macierzach (24) jest wzgldnie punktowo zupeny w badanym punkcie dla stanu x1(t,i)2.
Poniewa macierz 2 7 1 1 1 1 0 2192 . 0 3891 . 7 0 0 0184 . 0 0 0086 . 0 0 0116 . 0 0 0225 . 0 0 0306 . 0 ] [ u » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « ¬ ª T T DD D (29)
ma nieujemne elementy, warunek (22) jest speniony i warunki brzegowe (3) mona wyznaczy ze wzoru (23) . 2192 . 0 3891 . 7 0184 . 0 0086 . 0 0116 . 0 0225 . 0 0306 . 0 ] [ ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( 7 11 12 11 11 11 11 11 1 1 1 1 1 2 12 11 12 11 12 11 0 » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « ¬ ª » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « ¬ ª f f f f f f f f T T x x x x x x x x t x x x x x x x x D D D (30)
Przyjmijmy, e w punkcie (tf,k) (1,2) skadowa 2 1
1 x (1,2)
x f wektora stanu (7)
ukadu (1) jest równa
. 1 1 ) 2 , 1 ( 12 11 1 1 » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª f f f x x x x (31)
Warto skadowej x2f x2(1,2)1 wektora stanu (7) ukadu (1), która bdzie osignita w punkcie )(tf,k) (1,2 dla powyszych warunków brzegowych, jest równa
. 5713 . 1 0 2 2 x x f D (32)
W celu sprawdzenia otrzymanych wyników wyznaczymy rozwizanie równa (1) o macier-zach (24) w punkcie (tf,k) (1,2) dla wektora warunków brzegowych (30).
Z ogólnego rozwizania równania (1a), o postaci
), , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1 2 1 t i t x i P t x t i x ) (33)
oraz równania (1b) dla i 0,1,2, odpowiednio otrzymamy
, 0225 . 0 1886 . 0 2192 . 0 ) 0 , ( 2 1 » ¼ º « ¬ ª t t e e t x (34) , 045 . 0 1886 . 0 6577 . 0 ) 1 , ( 2 2 t t e e t x (35a) , 0086 . 0 045 . 0 2336 . 0 8347 . 0 6577 . 0 ) 1 , ( 2 3 2 1 » ¼ º « ¬ ª t t t t e e e e t x (35b) , 045 . 0 3408 . 0 2119 . 1 9731 . 1 ) 2 , ( 2 3 2 t t t e e e t x (36a) . 3891 . 7 045 . 0 3858 . 0 5527 . 1 1667 . 3 9732 . 1 ) 2 , ( 2 4 3 2 1 » ¼ º « ¬ ª t t t t t e e e e e t x (36b)
Z powyszych rozwiza obliczamy wartoci wektora stanu w punktach (tf,k)RuZ dla 1
f
t oraz k 0,1,2, odpowiednio dla skadowej x1(t,i)2:
» ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª 1 1 ) 2 , 1 ( , 0012 . 0 3800 . 0 ) 1 , 1 ( , 0030 . 0 1498 . 0 ) 0 , 1 ( 1 1 1 1 x x x f x (37)
oraz dla skadowej x2(t,i)1:
. 5713 . 1 ) 2 , 1 ( , 5944 . 0 ) 1 , 1 ( 2 2 2 x x f x (38) 5. UWAGI KOCOWE
W pracy rozpatrzono problem punktowej zupenoci i wzgldnej punktowej zupenoci dodatnich liniowych dwuwymiarowych ukadów cigo-dyskretnych, opisanych równaniami stanu (1) przy zaoeniach (3) i (6).
Sformuowano podstawowe definicje oraz podano warunki konieczne i wystarczajce punktowej zupenoci i wzgldnej punktowej zupenoci. Podano prost metod wyznaczania nieujemnych warunków brzegowych, dla których trajektoria stanu ukadu wzgldnie punktowo zupenego przechodzi przez dowolny zadany nieujemny stan kocowy.
Powysze rozwaania mona atwo uogólni na dodatnie dwuwymiarowe ukady cigo-dyskretne uamkowego rzdu.
LITERATURA
1. Busowicz M., Kociszewski R., Trzasko W.: Punktowa degeneracja i punktowa zupeno liniowych dodatnich ukadów dyskretnych z opónieniami, Zesz. Nauk. Pol. lskiej, ser. Automatyka, vol. 145, s. 51-56, 2006.
3. Choundhury A. K.: Necessary and sufficient conditions of pointwise completeness of linear time-invariant delay-differential systems, Int. J. Control, vol. 16, no. 6, pp. 1083-1100, 1972.
4. Kaczorek T.: Positive 2D hybrid linear systems”, Bull. Pol. Ac.: Sci. Tech. 55 (4), pp. 351–358, 2007.
5. Kaczorek T.: Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London, 2002.
6. Marchenko V.M., Poddubnaya O.N.: Relative controllability of stationary hybrid sys-tems”, 10th IEEE Int. Conf. Methods and Models in Automation and Robotics, pp. 267– 272, 2004.
7. Popov V. M.: Pointwise degeneracy of linear time-invariant delay-differential equations,” J. Diff. Equation, vol. 11, pp. 541-561, 1972.
8. Trzasko W.: Reachability and controllability of cone discrete-time linear systems with delays in state and control, XVI KKA, Challenging problems of science Control and Automation Recent Advances in Control and Automation, Academic Publishing House EXIT, Warszawa 2008, Rozdzia II Stability, Controllability and Observability, s. 114-124.
9. Trzasko W., Busowicz M., Kaczorek T.: Pointwise Completeness of Discrete-Time Cone-Systems with Delays, in Proc. of EUROCON 2007 (CD), 2007.
10. Weiss L.: Controllability for various linear and nonlinear systems models, Lecture Notes in Mathematics, vol. 144, Seminar on Differential Equations and Dynamic System II, Springer Verlag, pp. 250-262, 1970.
* * *
Praca naukowa finansowana ze rodków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyszego jako projekt badawczy nr G/WE/5/07.
