Kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności szeregów

(1)

Kryterium porównawcze

zbieżności i rozbieżności

szeregów

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

2019

(2)

Kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności szeregów

Autor: Katarzyna Czyżewska

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze

Jeżeli istnieje liczba naturalna taka, że dla wszystkich wyrazów ciągów i o indeksach większych od zachodzą nierówności , to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu , a z rozbieżności szeregu

wynika rozbieżność szeregu .

Komentarz Komentarz

Zauważamy, że kryterium porównawcze można zastosować zarówno wtedy, gdy chcemy pokazać, że badany szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, jak i w przypadku gdy pokazujemy, że jest on rozbieżny. Istota kryterium porównawczego kryje się w tym, czy wyrazy badanego szeregu o wyrazach nieujemnych ograniczamy od góry, czy od dołu. Oczywiście ograniczenie od góry przez wyrazy nowego szeregu, który jest zbieżny, stosujemy, gdy podejrzewamy, że badany szereg jest zbieżny, natomiast w przeciwnym przypadku szukamy szeregu o wyrazach mniejszych, o którym wiemy, że jest rozbieżny. Cała trudność kryterium porównawczego leży w znalezieniu odpowiedniego szeregu, który ma wyrazy większe, albo mniejsze od badanego i którego zbieżność potrafimy określić. W tym celu często stosuje się standardowe zasady mówiące jak ograniczać ułamki, a także znane nierówności dla funkcji elementarnych lub też wykorzystuje się monotoniczność tych funkcji.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Zauważamy, że szereg ma wyrazy nieujemne, gdyż , dla .

Skorzystamy z nierówności , dla , czyli , dla .

Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , zatem jest szeregiem zbieżnym. Korzystając z kryterium porównawczego, ponieważ szereg o wyrazach większych jest zbieżny, to szereg o wyrazach mniejszych

też jest zbieżny.

n

0

( )

a

n

( )

b

n

0

0 ⩽

a

n

⩽

b

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞n=1

a

n

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

b

n

∑

∞ n=1 ln nn3

ln x ⩾ 0

x ⩾ 1

ln x ⩽ x

x > 0

ln n

⩽

=

n3 _nn3 _n12

n ⩾ 1

∑

∞ n=1 n12

2 ∑

∞ n=1 n12

∑

∞ n=1 ln nn3

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Badany szereg ma wyrazy nieujemne, gdyż , a wiemy, że funkcja ma w przedziale wartości nieujemne, jak również wyrażenie jest nieujemne dla .

Skorzystamy z nierówności , dla . Ponieważ otrzymujemy

.

Szereg jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym, czyli szereg też jest rozbieżny.

Ponieważ szereg o wyrazach mniejszych jest rozbieżny, to z kryterium porównawczego szereg o wyrazach większych też jest rozbieżny.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:05:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=85bdc056751a1cc87224b2fa461c5f43

Autor: Katarzyna Czyżewska

sin(

) ⋅ (n +

)

∑

∞ n=1 n n√1

√

n

0 <

1

⩽ 1 <

n n√ π2

sin x

[0, ]

π2

(n +

√

n

)

n ⩾ 1

⩽ sin x

2x π

x ∈ [0, ]

π2

∈ (0, )

1 n n√ π2

= ⋅

⋅

(n +

) ⩽ sin (

) ⋅ (n +

)

4 πn π2 n n2 n√√

⩽

(bo ≤n)√n 2π n n√1

√

n

n n√1

√

n

∑

∞ n=1 n1

∑

∞n=1 πn4

sin(

) ⋅ (n +

)

∑

∞ n=1 _{(n n}_√1

√

n