Algorytm wyznaczania realizacji dodatniej układów dwuwymiarowych z opóźnieniami / PAR 2/2009 / 2009 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

dr in
. Konrad Andrzej MARKOWSKI

Politechnika Warszawska, Wydzia Elektryczny, Instytut Sterowania i Elektroniki Przemysowej,

ALGORYTM WYZNACZANIA REALIZACJI DODATNIEJ

UK
ADÓW DWUWYMIAROWYCH Z OPÓNIENIAMI

W artykule przedstawiono metod
wyznaczania realizacji dodatniej ukadu dwuwymiarowego z opónieniami opisanego za pomoc modelu ogólnego. Do wyznaczania realizacji uyto teorii wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa. Zaproponowan metod
zilustrowano prostymi przykadami numerycznymi.

ALGORITHM OF DETERMINATION REALIZATION OF POSITIVE TWO DIMENSIONAL SYSTEMS WITH DELAYS

In this paper a method for determination positive realization of two dimensional systems described by general model with delays using multidimensional digraphs theory is presented. The proposed method is illustrated by numerical examples.

1. WSTP

Ukady dodatnie spotykamy w biologii, medycynie, bioinformatyce, naukach spoecznych, ekonomii i w wielu innych dziedzinach. Przykadem ukadów dodatnich s: procesy zachodzce w reaktorze chemicznym, kolumna destylacyjna, model pogody, obwody elektryczne itp. Ka
dy ukad rzeczywisty mo
emy opisa równaniami ró
niczkowymi zwyczajnymi lub równaniami ró
niczkowymi czstkowymi. Nastpnie poddajc taki model linearyzacji i dyskretyzacji otrzymujemy ukad opisany za pomoc liniowego modelu jednowymiarowym lub wielowymiarowym. Cel, do którego d
ymy jest nastpujcy. Majc opis ukadu dynamicznego za pomoc macierzy transmitancji nale
y znale realizacj tego modelu, czyli wyznaczy jego macierze. Jako narzdzie posu
 nam w tym celu wielowymiarowe grafy skierowane oddziaywa.

W artykule zaproponowano metod wyznaczania realizacji dodatniej ukadu rzeczywistego, któr nastpnie zilustrowano przykadem numerycznym.

2. WPROWADZENIE

2.1 Opis ukadu dwuwymiarowego z opónieniami

Niech bdzie dany ukad dwuwymiarowy z opónieniami opisany modelem ogólnym z opónieniami [9] opisany równaniami









^

`

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1, 1 1, , 1 0 0 0 1 2 1, , 1 0 0 , , , 0,1, q q i j k l i k j l k l i k j l k l i k j l k l p p k l i k j l k l i k j l k l i k j l k l ij ij ij x x x x u u u y x u i j                           

¦¦

¦ ¦

A A A B B B C D ' ! (1)

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 , , , , 0,1, 2; 0,1, ; 0,1, ; 0,1, ; 0,1, ; t n n t n m p n p m k l k l t k q l q k p l p u u u u     A B C D ! ! ! !     (2) Warunki brzegowe dla (1) maj posta

^

`

1, 1, 1, 1, 1 0,1, 1; 1 0,1, 2; , 0,1,

i k l k j l

x_{ } x_{ } k !q l !q i j'_ ! (3)

Definicja 1. Ukad opisany równaniem (1) nazywamy dwuwymiarowym ukadem ogólnym

z (q1; q2) opónieniami w wektorze stanu oraz (p1; p2) opónieniami w wektorze wymuszenia. Definicja 2. Ukad opisany zalenoci (1) nazywamy wewn
trznie dodatnim modelem

ogólnym z opónieniami, jeeli dla wszystkich warunków brzegowych

^

`

1, 1 , 1, 1 , 1 0,1, 1; 1 0,1, 2; , 0,1,

n n

i k l k j l

x_{ } _ x_{ } _ k !q l !q i j'_ ! (4)

oraz kadego cigu wymusze uij m, i = -p1;-p1+1,…; j=-p2,-p2 + 1,…; mamy xij n oraz yij pdla i; j +.

Twierdzenie 1. Model (1) jest modelem dodatnim wtedy i tylko wtedy, gdy

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 , , , , 0,1, 2; 0,1, ; 0,1, ; 0,1, ; 0,1, ; t n n t n m p n p m k l k l t k q l q k p l p u u u u         A B C D ! ! ! !     (5) Dowód tego twierdzenia mo
na znale w pracy [9].

2.2 Wielowymiarowe Grafy Skierowane Oddziaywa

W istniejcej literaturze mo
na spotka wiele ró
nych definicji grafu. Obserwowane dynamiczne zmiany sposobu definiowania grafu wynikaj z potrzeby obejmowania teori grafów coraz szerszej klasy struktur. W naszych rozwa
aniach tak klas struktur s dodatnie ukady dwuwymiarowe opisane modelem ogólnym (1).

Definicja 3. Wielowymiarowym grafem skierowanym oddziaywa D(n) nazywamy

( , ,A1,A2,…;B1,B2,…;), gdzie = {s1, s2,…,sm} jest ródem, = {v1, v2,…,vn} jest zbio-rem wierzchoków, A1, A2,…; s podzbiorami u których elementy nazywamy A1-ukami, A2-ukami,… orazB1,B2,…; s podzbiorami u , których elementy nazywamy B1-ukami,B2

-uakmi,…;

Wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa mo
emy wyznaczy za pomoc jego macierzy ssiedztwa [3]. W sytuacji kiedy mamy do czynienia z wielowymiarowym digrafem, który opisuje dodatni ukad dwuwymiarowy (1) macierz ssiedztwa s pary (A0, B1), (A1, B1), (A2, B2).

Definicja 4. Sum prost dwóch wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa

D1(n) = ( 1, 1,A11,A21,…; B11,B21,…) oraz D2(n)=( 1, 1,A11,A21,…;B11,B21,…) nazywamy wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa D(n)=( , ,A1,A2,…;B1,B2,…) gdzie

= 1‰ 2, = 1‰ 2, A1 = A11‰A12, A2 = A21‰A22, B1 = B11‰B12, B2 = B21‰B22 i oznaczamy D(n) = D1(n)†D2(n).

Nale
y zauwa
y,
e powy
sza definicja jest suszna równie
, gdy mamy do czynienia z wicej ni
dwoma digrafami wielowymiarowymi.

Z powy
szych rozwa
a wynika, i
ka
dy digraf mo
na w dowolny sposób zdekomponowa na wiele poddigrafów bez utraty informacji na temat struktury takiego digrafu.

Definicja 5. Tras w danym grafie skierowanym oddziaywa nazywamy skoczony cig

kraw
dzi (typu uki lub p
tle), w którym kade dwa kolejne wierzchoki vi, i = 1, 2,… s albo ssiednie albo identyczne co zapisujemy (vi, vi+1)K, gdzie vi jest pocztkiem uku, vi+1 jest kocem uku,K jest ukiem powstaym od odpowiedniej macierzy.

Definicja 6. Tras nazywamy ciek prost, jeeli wszystkie wierzchoki s róne.

Definicja 7. Tras
<v1, v2,…,vk> nazywamy cyklem, jeeli pocztkowy i kocowy wierzchoek w trasie jest taki sam v1 = vki trasa zawiera co najmniej jedn kraw
d (typu uki lub p
tle).

Definicja 8. Cykl nazywamy prostym jeeli wierzchoki <v1, v2,…,vk> s róne.

3. SFORMU
OWANIE ZADANIA

Niech bdzie dany ukad dwuwymiarowy z opónieniami opisany modelem ogólnym o postaci (1). Jego macierz transmitancji dana jest zale
noci

















1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 , , q q k l k l k l k l k l p p k l p m k l k l k l k l z z z z z z z z z z z z z z      u  ª º    u « » ¬ ¼ ª º     « » ¬ ¼

¦¦

¦ ¦

T C I A A A B B B D  (6)

przy czym pum(z1,z2) jest zbiorem macierzy wymiernych o wspóczynnikach rzeczywistych. Macierz transmitancji (6) mo
emy zapisa w postaci





1 2 1 2









1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 2 2 , , , q q p p k l k l k l k l k l k l k l k l z z z z z z z z z z d z z       !  ! ª º ª º « _ » « »_ « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼

¦¦

¦ ¦

N T C I A B D (7) gdzie 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1,0 00 0, 1 00 1,1 01 1, 1 10 0 1 2 , , 1, , 1 1 1 1 2 0 1 0 2 0 1, 1, , , 1 , 1 , , , 1 2 1,0 00 0, 1 00 1,1 , , , , 0,1, 1; 0,1, 1; , , , , k l k l k l k l q q q q q q q q q q q q q q q q k q l q                    A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B ! ! 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 01 1, 1 10 0 1 2 , , 1, , 1 2 1 2 2 0 1 0 2 0 1, 1, , , 1 , 1 , , , , , , 0,1, 1; 0,1, 1; , , k l k l k l k l p p p p p p p p p p p p p p p p k p l p              B B B B B B B B B B B B B B B ! ! (8) oraz

























1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 1 , 1 2 , 1 1 2 1, 1 2 10 1 01 2 00 , , , , , , , , m p pm N N ij k l ij kl k l k l N N N N N N N N ij ij ij ij ij ij N N N N N N n z z n z z z z n z z n z z n z z n z z n z z n z z n z z n z n z n  d      ª º « » « » « » ¬ ¼      

¦¦

N ! # % # ! ! (9)





  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 1 1 2 , 1 1 2 1, 1 2 10 1 01 2 00 , nq nq nq nq k l kl k l k l n q q nq nq nq nq nq nq nq nq nq nq d z z z z d z z z z d z z d z z d z d z d  d            

¦¦

! (9)

Mno
c licznik i mianownik zale
noci (3.51) przez z1-nq1z2-nq2 otrzymujemy



 



 





















1 1 1 1 11 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 _{1 1 1 1} 1 2 1 2 _{1 1 1 1} 1 1 2 1 2 , , , ₁ , , , , , , m p pm n z z n z z z z z z d z z d z z n z z n z z                 ª º « » « » « » « » ¬ ¼ N T ! # % # ! (10) gdzie









1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 , 1 2 , 1 1 2 1, 1 2 1 1 10 1 2 01 1 2 00 1 2 1 1 1 1 1 2 , 1 2 1, 1 , , 1 N nq N nq N nq N nq N nq N nq ij ij ij ij N N N N N N nq nq nq nq nq nq ij ij ij nq nq nq nq n z z n z z n z z n z z n z z n z z n z z d z z d z d z d                                   ! ! ! 1 1 2 1 1 2 1 2 10 1 2 01 1 2 00 1 2 nq nq nq nq nq nq z z d z z d z z (11)

Macierz transmitancji T(z1; z2) ukadu dwuwymiarowego z opónieniami (1) dana jest wzorem (7).

Dla danych macierzy

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 , , , , 1, 0,1, ; 1, 0,1, ; 1, 0,1, ; 1, 0,1, ; k l k l k  q l  q k  p l  p A B C D ! ! ! ! (12)

istnieje tylko jedna macierz transmitancji (7), natomiast dla danej macierzy waciwej T(z1,z2) istnieje wiele ró
nych macierzy (12) speniajcych równo (7).

Definicja 3.13. Macierze (12) speniajce zaleno (7) nazywamy realizacj macierzy

transmitancji. Realizacj
t
oznacza b
dziemy R(T).

Definicja 3.14. Realizacj
R(T) nazywamy realizacj minimaln, jeeli macierz stanu ma

najmniejszy wymiar sporód wszystkich realizacji macierzy T(z1,z2). Realizacj
minimaln

oznacza b
dziemy Rmin(T).









1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 2 2 , , q q p p k l k l sw k l k l k l k l k l k l z z z z z z z z z z       !  ! ª º ª º « » « »  _«  _{» « »} « » « » ¬ ¼ ¬ ¼

¦¦

¦ ¦

T T D C I A B (13)

Majc macierz waciwa T(z1,z2) i korzystajc z zale
noci (13) mo
emy wyznaczy macierz cile waciw Tsw(z1,z2).

Problem realizacji mo
na sformuowa nastpujco. Dana jest macierz cile waciwa Tsw(z1,z2) wyznaczy realizacj R(Tsw) tej macierzy. Dana jest macierz cile waciwa

Tsw(z1,z2) wyznaczy realizacj minimaln Rmin(Tsw) tej macierzy.

Problem wyznaczania realizacji oraz realizacji minimalnej mo
na podzieli na dwa podzadania.

Podzadanie pierwsze sprowadza si do wyznaczenia elementów macierzy stanu A.

Podzadanie drugie sprowadza si do wyznaczenia elementów macierzy B i C. Wyznaczenie elementów tych macierzy dokonuje si przez wyznaczenie równa za pomoc grafów skierowanych oddziaywa a nastpnie rozwizania ich znanymi metodami.

4. ROZWIZANIE ZADANIA

4.1 Podzadanie 1 – Wyznaczanie elementów macierzy stanu A

Niech bdzie dany ukad dwuwymiarowy z wieloma opónieniami (q1, q2) w wektorze stanu opisany równaniem (1).Wielomian charakterystyczny takiego ukadu ma posta





1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 , 2 1 , 1 2 1, 1 10 1 2 01 1 2 00 1 2 nq nq nq nq nq nq nq nq nq nq d z z d _ z d _ z  ! d z z d z z d z z (14)

Dla ukadów dwuwymiarowych z wieloma opónieniem w wektorze stanu q1 i q2 do

wyznaczania elementów macierzy stanu Ak1,l1, k1=-1,0,1,…,q1; l1=-1,0,1,…,q2 bdziemy u
ywali teorii wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywaD(n).

Metoda polega na dekompozycji wielomianu charakterystycznego opisanego równaniem (14) na odpowiedni liczb jednomianów oraz na odpowiednim doborze wag uków i ptli w digrafie.

Wielomian charakterystyczny (14) mo
emy przedstawi w postaci



1 1





1 1

 

1 1





1 1



1 , 2 1 1 1 , 2 2 1 , 2 l 1 , 2 , 1, 2,

d z z d z  z d z z  ! d z  z l ! (15)

Ka
demu z powstaych jednomianów w (15) mo
emy przypisa odpowiedni wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa D(n), przypisujc ka
demu ukowi lub ptli odpowiedni wag w(vi,vj)A-1,0z2-1 gdy uk lub ptla nale
y do macierzy A-1,0, wag w(vi,vj)

A0,-1z1-1 gdy uk lub ptla nale
y do macierzy A0,-1, wag w(vi,vj)A00z1-1 z2-1 gdy uk lub ptla nale
y do macierzy A00,…, wag w(vi,vj)A-1,q2z2

-q2-1 _{gdy uk lub ptla nale
y do macierzy A}

-1;q2,…, wag w(vi,vj)Aq1,-1z-q1-1 gdy uk lub ptla nale
y do macierzy Aq1,-1,…, wag w(vi,vj)Aq1,q2z1-q1-1z2-q2-1 gdy uk lub ptla nale
y do macierzy Aq1,q2. Iloczyn wszystkich wag w

cyklu daje informacje na temat jednomianu. Zgodnie z Definicj 4 mo
emy dokona sumowania prostego wyznaczonych wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa, otrzymujc digraf odpowiadajcy szukanemu wielomianowi charakterystycznemu (14). Nale
y zauwa
y,
e je
eli po dokonaniu sumowania prostego wszystkich wielowymiaro-wych digrafów w powstaym digrafie pojawi si dodatkowe cykle proste, wówczas jest to równoznaczne z pojawieniem si dodatkowego jednomianu w wielomianie

charakterystycz-nym. A zatem taki wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa nie spenia wielomianu charakterystycznego (14).

Gównym problemem pojawiajcym si podczas wyznaczania wielowymiarowych digrafów odpowiadajcym jednomianom wielomianu charakterystycznego jest znalezienie odpowiedniej liczby uków lub ptli powstaych od macierzy Ak1,l1, k1=-1,0,1,…,q1; l1= -1,0,1,…,q2.

Z powy
szych rozwa
a wynika,
e jednomiany z1-1z2-1, z1-1, z2-1,…,z1-q1-1z2-q2-1, z1-q1z2-q2-1, z1-q1 -1

z2-q2 s peltami w wielowymiarowym grafie skierowanym oddziaywa natomiast

nietrywialny jednomiany o pozostaych potgach tworz cykle proste. Nale
y zauwa
y, i
dla ka
dego jednomianu tworzcego cykl prosty istnieje wiele mo
liwoci wyrysowania wielowymiarowego digrafu.

4.2 Podzadanie 2 – Wyznaczanie elementów macierzy stanu B i C

Niech bdzie dana macierz transmitancji cile waciwa (13) ukadu (1).Wielomian (11) mo
emy przedstawi w postaci



1 1

 

1 1

 

1 1





1 1



1 , 2 1 1 , 2 2 1 , 2 k 1 , 2 , 1, 2,

n z z n z  z n z z  ! n z z k ! (16)

Majc dany wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa, wyznaczony za pomoc metody zaprezentowanej w Podzadaniu 1, dorysowujemy ródo, które zgodnie z Definicj 4 odpowiada macierzy Bk2l2, k2=-1,0,1,…,p1; l2= -1,0,1,…,p2. Nastpnie rysujemy odpowiednie uki ze róda sp, p=1,…,m do wierzchoka v1,v2,…,vnprzypisujc im: wag w(sp,vi)B-10z2-1,

i = 1,2,…,n gdy uk pochodzi od macierzy B-10; wag w(sp,vi)B0-1z1-1, i = 1,2,…,n gdy uk pochodzi od macierzy B0-1; wag w(sp,vi)B00z1-1z2-1, i = 1,2,…,n gdy uk pochodzi od macierzy B00,…, wag w(sp,vi)Bp1,-1z1-p1-1, i = 1,2,…,n gdy uk pochodzi od macierzy Bp1,-1,…, wag w(sp,vi)B-1,p2 z2-p2-1, i = 1,2,…,n gdy uk pochodzi od macierzy B-1,p2,…, wag w(sp,vi)Bp1,p2z1

-p1_z

2-p2-1, i = 1,2,…,n gdy uk pochodzi od macierzy Bp1,p2.

W kolejnym kroku dekomponujemy digraf na czci skadowe, tak
eby ka
dy z powstaych digrafów zawiera drog skoczon ze róda sp do wierzchoka kocowego vk, gdzie vk jest

wskazywany przez macierz C. Wierzchoek kocowy zostaje wybrany jako ten, który jest czci wspóln dla wszystkich cykli prostych. Iloczyn wag w drodze skoczonej daje informacj o jednomianie w wielomianie (16).

Porównujc wspóczynniki wielomianu (11) z (16) otrzymujemy ukad równa, którego rozwizanie pozwala wyznaczy elementy macierzy Bk2l2, k2=-1,0,1,…,p1; l2=-1,0,1,…,p2. Zatem macierze B i C bd miay posta.

















































, 1 2 0 1 10 00 , 0 1 10 00 1 2 1 2 0 , 1 10 00 1 1 1 1 2 2 2 2 10 0 1 00 , , , , , , , , , , , , , , , , , p p p p p p p p p p p p p p p p n p n p n p n w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v         ª º ª º ª º « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ B B B ! B # # # # B B B B B B B B B B B B

>

@

, 1 2 0 0 p k v ª º « » « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ C ! ! (17)

Schemat 1. Algorytm wyznaczania realizacji 5. PRZYK
AD NUMERYCZNY

Niech bdzie dana transmitancja cile waciwa o postaci





1 1 2 2 1 2 -1 3 2 3 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 4 2 6 3 6 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 5z 4z 3z z z z z z z z , 1 2z z z z sw T z z z z z z z z                                 (18)

Nale
y wyznaczy realizacj ukadu.

Rozwizanie. Na podstawie wielomianu charakterystycznego (5.74) okrelamy liczb opó-nie. Zaó
my,
e ukad bdzie rozmiaru 3u3 a opónienia q1=1 i q2=2. Wielomian charakte-rystyczny d(z1-1,z2-1) zo
ony jest z piciu nietrywialnych jednomianów oraz jednomianu o wartoci równej 1. Ka
dy nietrywialny jednomian wielomianu charakterystycznego mo
na zrealizowa za pomoc potg: z2-1, z2-2, z2-3, z1-1, z1-2, z1-1z2-1, z1-1z2-2, z1-1z2-3, z1-2z2-1, z1-2z2-2, z1 -2

z2-3. Wyznaczamy jedn z mo
liwych realizacji ka
dego z jednomianów oraz okrelamy liczb wierzchoków w wielowymiarowym digrafie oraz okrelamy informacj jakie symbo-liczne wagi s przypisane ukom. Na rys. 1 pokazano wielowymiarowe grafy skierowane od-dziaywa odpowiadajce poszczególnym jednomianom wielomianu charakterystycznego. W kolejnym etapie dokonujemy sumowania prostego wszystkich wielowymiarowych digra-fów z rys. 1. Wynik sumowana pokazano na rys. 2.

Rys. 1. Wielowymiarowe grafy skierowane oddziaywa

Rys. 2. Wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa powstay w wyniku sumowania digrafów z rys. 1

W wyniku sumowania prostego w wielowymiarowym grafie skierowanym oddziaywa z rys. 2 nie powsta
aden dodatkowy cykl prosty a zatem istnieje jednoznaczne rozwizanie w postaci macierzy stanu. Nastpnie wyznaczamy wspóczynniki wag poszczególnych uków i piszemy macierze stanu w nastpujcej postaci

        10 00 02 01 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 10 00 1 3 1 1 1 2 02 2 1 01 0 0 , _{0 0 1} , 0 0 _{2 0 0} 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 _{1 0 0} 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 , w v v z w v v z z w v v z z w v v        ª º _{ª º} ª º _{ª º} « » _{« »} « » _{« »} « » _{« »} « » _{« »} « » _{«¬ »¼} « » _{«¬ »¼} « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ª _{º ª º} « _{» « »} « _{» « »} « _{» « »} ¬ ¼ « » ¬ ¼ A A A A A A A A       01 01 01 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 , _{0 1 1} , 0 0 1 0 0 , 0 1 0 0 , 0 z z w v v z z w v v z z w v v z z         ª _{º ª º} « _{» « »} « _{» « »} « _{» « »} ¬ ¼ « » ¬ ¼ A A A (20)

Rys. 3. Uzupeniony wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa

Zgodnie z Procedur 2 uzupeniamy wielowymiarowy graf skierowany oddziaywa o ródo

sp, p=0,1,2,…,m i uki czce ródo z ka
dym wierzchokiem v1,v2,…,vn (rys. 3). Wyznacz

macierz C tak,
eby niezerowy element znajdowa si na wierzchoku vi, który jest czci wspóln dla wszystkich cykli prostych w wielowymiarowym digrafie. Wierzchokiem wspólnym dla wszystkich cykli prostych jest wierzchoek v1.

C

>

1 0 0

@

(21)

Rys. 4. Dekompozycja digrafu z rys. 3

Dokonujemy dekompozycji digrafu na odpowiedni liczb wielowymiarowych digrafów tak,
eby ka
dy z nich posiada dokadnie jedn drog skoczon do wierzchoka vi. Czciow

dekompozycj pokazano na rys. 4. Nastpnie dla ka
dej drogi skoczonej wyznaczamy iloczyn wag.

Tabela 1. Iloczyn wag drogi skoczonej

Rysunek Waga Rysunek Waga

rys. 4 (a-1) w(s1,v1)B-1,0z2-1 … …

rys. 4 (a-2) w(s1,v1)B0,-1z1-1 rys. 4 (f-2) w(s1,v3)B0,-1 z1-1˜z1-1z2-2

rys. 4 (a-3) w(s1,v1)B00z1-1z2-1 rys. 4 (f-3) w(s1,v3)B00 z1-1z2-1˜z1-1z2-2

rys. 4 (a-4) w(s1,v1)B1,-1z1-2 rys. 4 (f-4) w(s1,v3)B1,-1 z1-2˜z1-1z2-2

Wyznaczamy n(z1-1,z2-1) poprzez zsumowanie wszystkich wag dróg skoczonych a nastpnie porównujemy wspóczynniki wielomianów. W wyniku otrzymujemy liniowy ukad równa. Tabela 2. Ukad równa

Potga Równanie Potga Równanie Potga Równanie

z1-1 w(s1,v1)B0,-1=4 z1-1z2-4 w(s1,v2)B-1,0=0 z1-3z2-2 w(s1,v2)B1,-1+ +w(s1,v3)B1,-1=0 z1-2 w(s1,v1)B1,-1=3 z1-2z2-1 w(s1,v1)B10+w(s1,v3)B1,-1=0 z1-3z2-3 w(s1,v2)B10+w(s1,v2) B1,-1+ +w(s1,v3)B10=0 z2-1 w(s1,v1)B-1,0=5 z1-2z2-2 w(s1,v2)B0,-1+ +w(s1,v3)B0,-1 +w(s1,v3)B10=0 z1-3z2-4 w(s1,v2)B10+ +w(s1,v2)B0,-1=0 z2-2 w(s1,v3)B-1,0=1 z1-2z2-3 w(s1,v2)B00+w(s1,v2)B0,-1+ +w(s1,v3)B00=1 z1-3z2-5 w(s1,v2)B00=0 z1-1z2-1 w(s1,v1)B00+ +w(s1,v3)B0,-1=0 z1-2z2-4 w(s1,v2)B00=0 z1-4z2-4 w(s1,v2)B1,-1=0 z1-1z2-2 w(s1,v3)B00=1 z1-2z2-5 w(s1,v2)B-1,0=0 z1-4z2-5 w(s1,v2)B10=0 z1-1z2-3 w(s1,v2)B-1,0+ +w(s1,v3)B-1,0=1 z1-3z2-1 w(s1,v3)B10=0

Rozwizujemy powstay ukad równa. W wyniku otrzymujemy nastpujce macierze B.





































1,0 0 , 1 00 1,0 0 , 1 00 00 1,0 0 , 1 1 1 1 1 1 1 1,0 1 2 0, 1 1 2 00 1 2 1 3 1 3 1 3 , ₅ , ₄ , ₀ , 0 , , 0 , , 0 , 1 0 _, 1 , , w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v w s v         ª º _{ª º} ª º _{ª º} ª º _{ª º} « » _{« »} « » _{« »} « » _{« »} « » _{« »} « » _{« »} « » _{« »} « » « » _{« »} « » « » « » « » ¬ ¼ « » ¬ ¼ «_¬ »_¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ B B B B B B B B B B B B

























1, 1 10 1, 1 10 10 1, 1 1 1 1 1 1, 1 1 2 10 1 2 1 3 1 3 , ₃ , ₀ , 0 , , 0 0 _, 0 , w s v w s v w s v w s v w s v w s v     ª º _{ª º} ª º _{ª º} « » _{« »} « » _{« »} « » _{« »} « » « » « » _{« »} « » _{« »} « » ¬ ¼ «_¬ »_¼ ¬ ¼ ¬ ¼ B B B B B B B B (22)

Transmitancja cile waciwa (18) ma realizacj dodatni cile waciw R(Tsw), gdzie

macierze dane s (20), (21) i (22).

Z powy
szych rozwa
a wynika bardzo wa
ny wniosek. Nie zawsze istnieje realizacja dodania mino, i
jestemy w stanie wyznaczy elementy macierzy stanu. eby realizacja bya zawsze mo
liwa do wyznaczenia nale
aoby skonstruowa j w postaci kanonicznej. W postaci kanonicznej realizacji tracimy na rozmiarze ukadu.

6. WNIOSKI I SPOSTRZE ENIA

Problem realizacji mo
na podzieli na dwa podzadania. Podzadanie pierwsze zwizane jest z wyznaczeniem macierzy stanu ukadu opisanego za pomoc macierzy transmitancji. Mo
na je rozwiza u
ywajc teorii wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa, która zostaa zaprezentowana w Punkcie 2.2. Podzadanie drugie zwizane jest z wyznaczeniem pozostaych macierzy ukadu. W zadaniu tym wielowymiarowe grafy skierowane oddziaywa su
 do wyznaczenia ukadu równa, który nastpnie mo
e zosta rozwizany za pomoc znanych metod numerycznych.

Nale
y zauwa
y, i
si tej metody jest to, i
uzyskany ukad równa´ nie jest zale
y od iloczynu wspóczynników wielomianu n(z1-1,z2-1), a zatem jest to ukad liniowy. Istnieje wiele metod numerycznych, które w efektywny i szybki sposób wyznaczaj rozwizanie takiego ukadu równa.

Najwikszym problemem z punktu widzenia u
ytkownika, który chciaby "rcznie" rozwiza zadanie, jest du
a ilo wielowymiarowych grafów skierowanych oddziaywa, uzyskiwanych w wyniku dekompozycji digrafu wyjciowego. Problem ten znika w przypadku zastosowania metody jako algorytmu komputerowego. Wówczas dekompozycja wielowymiarowego digrafu jest zagadnieniem bardzo prostym, a analiza digrafów nie posiadajcych cykli ani obwodów jest bardzo szybka. Kolejn zalet jest to, i
algorytmy grafowe s z punktu widzenia oblicze komputerowych algorytmami bardzo prostymi, a zarazem bardzo szybkimi, a zatem rozmiar ukadu nie bdzie mia wielkiego wpywu na szybko´ wyznaczenia ukadu równa bd´ wielu ukadów równolegle. Trzeba równie
doda, i
macierze rozpatrywanych ukadów liniowych s macierzami rzadkimi, co zdecydowanie skraca czas pracy algorytmu komputerowego i powoduje mniejsze wymagania, je
eli chodzi o moc obliczeniow komputera.

LITERATURA

1. Benvenuti L., Farina L., Andrson B.D.O and De Bruyne F.: Minimal positive realization of

transfer functions with positive Real poles , IEEE Trans. Circuit Syst. I, vol. 47, pp.

1370-1377, Sept. 2000.

2. Benvenuti L., De Santis A. and Farina L., Positive Systems, ser. Lecture Notes on Control and Information Sciences 294, Berlin, Germany: Springer-Verlag, 2003.

3. Chartrand G., Lesniak L. Graphs & Digraphs. Chapman & Hall/CRC.

4. Eising R., Realization and stabilization of 2-D systems, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-23, No. 5, October 1997, pp. 793-799.

5. Farina L., Positive realizations of linear systems, Syst. Control Lett., vol. 26, no. 1, pp. 1-9, Sept. 1995.

6. Fornasini E., Valcher M.E., Primitivity of Positive Matrix Pair: Algebraic

Characterization, Graph Theoretic Description and 2D System Interpretation, SIAM J.

Matrix Anal. Appl., vol. 19, no. 1, pp. 71-88, January 1998.

7. Fornasini E. and Valcher M.E., Controllability and reachability of 2D positive systems:

a graph theoretic approach. IEEE Transaction on Circuits and Systems I Regular Papers,

vol. 52, No. 3, March 2005, pp. 576- 585.

8. Kaczorek T., Positive 1D and 2D Systems. Springer-Verlag London 2002.

9. Kaczorek T. Positive 2D systems with delays. 11th IEEE Intern. Conf. on Methods and Models in Automation and Robottics (CD), Midzyzdroje 2005.