6. Ró»niczkowanie pod znakiem caªki - przygotowanie do
sprawdzianu
Zad. 6.1 Dla t ∈ (a, +∞), a > 0 oblicz pochodn¡ ∂ ∂t Z A f (t, x)µ(dx), gdzie A := (1, +∞), f (t, x) = 1 xexp(−t √ x), µ := l.
Zad. 6.2 Oblicz pochodn¡ funkcji g(a) = Z (0,∞) 1 − e−ax2 x2 l(dx); a ≥ 1. Zad. 6.3 Niech Γ(α) = Z ∞ 0 xα−1e−x l(dx), α > 0. Oblicz Γ0(α).
Zad. 6.4 Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ gªadk¡ o no±niku zwartym, za± g : R → R ograniczon¡ funkcj¡ mierzaln¡ . Pokaza¢ »e splot f ∗ g, zadany wzorem
[f ∗ g](t) := Z
R
f (t − s)g(s)ds,
jest równie» funkcj¡ gªadk¡ oraz zachodzi zale»no±¢: [f ∗ g](k) = f(k)∗ g. Zad. 6.5 Niech (ak)k∈Z b¦d¡ nieujemne i takie, »e P
∞ n=−∞|n|kan < ∞dla ka»dego k ∈ N. Okre±lamy ψ(x) := ∞ X n=−∞ anexp(inx).
Pokaza¢ , »e ψ jest funkcj¡ gªadk¡ oraz ∂k ∂xkψ(x) = ∞ X n=−∞ an(in)kexp(inx).
