Nawigacja - monotoniczność i ekstrema

Rok I Temat 9 MONOTONICZNOŚĆ, EKSTREMA, PUNKTY PRZEGIĘCIA 1. Monotoniczność funkcji

2. Ekstrema funkcji

3. Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji 4. Punkty przegięcia

Monotoniczność funkcji

Pojęcie monotoniczności funkcji obejmuje dwa zagadnienia: wzrastania i zmniejszania się wartości funkcji wraz ze wzrostem argumentu. Badanie monotoniczności funkcji polega na wyznaczeniu przedziałów, w których funkcja jest rosnąca lub malejąca. Zagadnienie to rozwiązujemy na podstawie następującego twierdzenia.

Jeżeli pochodna funkcji f jest w każdym punkcie przedziału

(

a b,

)

dodatnia (ujemna), to funkcja jest w tym przedziale rosnąca (malejąca).

2. Ekstrema funkcji

Niech x→ f x( ) będzie funkcją ciągłą w przedziale a b, . Ponadto niech punkt x0 będzie punktem wewnętrznym przedziału a b, . Symbolem U0 oznaczmy otoczenie punktu x0, tzn. przedział otwarty

U₀ =(x₀−h, x₀+h), gdzie h>0

Definicja

Jeżeli istnieje otoczenie U0 punktu x0 całkowicie zawarte w przedziale a b, takie, że dla punktów x należących do tego otoczenia zachodzi nierówność f (x) < f (x0), to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum, jeżeli natomiast zachodzi nierówność f (x) > f (x0), to funkcja f ma w punkcie x0 minimum. Maksimum i minimum funkcji obejmujemy wspólną nazwą ekstremum funkcji. Pojęcie ekstremum odgrywa ważną rolę w naukach stosujących w swoich badaniach metody matematyczne.

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f różniczkowalna w punkcie x₀ ma ekstremum w tym punkcie, to: f′(x0)=0. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum) Założenie:

a) f′(x₀)=0

b) f′( )x >0 dla x< x₀, f ′( )x <0 dla x>x₀ Teza:

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum) Założenie:

a) f′(x0)=0

b) f′( )x >0 dla x>x₀, f′( )x <0 dla x< x₀ Teza:

Funkcja f ma w punkcie x0 minimum.

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum) Zakładamy, że funkcja f ∈C2

(

(

a b

)

)

, .

Funkcja f ma ekstremum w punkcie x0∈

(

a b,

)

wtedy i tylko wtedy, gdy a) f′

( )

x₀ =0,

b) f′′

( )

x₀ ≠0.

Jeżeli f′′

( )

x₀ <0, to funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum, jeżeli natomiast

( )

′′ >

f x₀ 0, to funkcja f ma w punkcie x0 minimum.

Ekstremum funkcji może również występować w punkcie, w którym funkcja jest ciągła, ale nie ma pochodnej (w punkcie x0 występuje ostrze). Badanie istnienia ostrzy przeprowadzamy

bezpośrednio korzystając z definicji ekstremum.

Najmniejsza i największa wartość funkcji

Funkcja ciągła w przedziale domkniętym a b, osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą (minimum absolutne) oraz wartość największą (maksimum absolutne).

Sposób wyznaczania najmniejszej lub największej wartości funkcji f x

( )

w przedziale a b,

Znajdujemy punkty, w których pochodna f′

( )

x równa się zeru lub nie istnieje, należące 1. do przedziału a b, i obliczamy wartości funkcji w tych punktach.

2. Obliczamy wartości f a

( )

i f b

( )

na końcach przedziału a b, .

Spośród wartości obliczonych w p. 1 oraz f a

( )

, f b

( )

wybieramy wartość największą i najmniejszą.

Przedziały wypukłości i wklęsłości

Funkcję f nazywamy wypukłą (wklęsłą) w przedziale

(

a b,

)

, jeżeli jej wykres „leży nad styczną” („leży pod styczną”) w tym przedziale.

Punktem przegięcia funkcji f nazywamy punkt, w którym wykres funkcji przechodzi z jednej strony stycznej na drugą.

Twierdzenie

Zakładamy, że f x

( )

∈C2

(

{ }

x

)

0

1. Jeżeli f ma drugą pochodną dodatnią (ujemną) w punkcie x₀, to jest wypukła (wklęsła) w tym punkcie.

2. Jeżeli punkt P x₀

(

₀, f x

( )

₀

)

jest punktem przegięcia funkcji f, to f′′

( )

x₀ =0 (warunek konieczny).

Punkt przegięcia może również wystąpić w punkcie, w którym druga pochodna nie istnieje. 3. Jeżeli funkcja f dwukrotnie różniczkowalna w otoczeniu U₀ punktu x₀ speł- nia warunki

a) f′′

( )

x₀ =0, b) f′′

( )

x0 >0 dlax>x0

( )

′′ < < f x₀ 0 dlax x₀ lub

( )

′′ > < f x₀ 0 dlax x₀

( )

′′ < > f x0 0 dlax x0

to x₀ jest punktem przegięcia (warunek konieczny i dostateczny).

4. Jeżeli funkcja f trzykrotnie różniczkowalna w otoczeniu U₀ punktu x₀ speł- nia warunki a) f′′

( )

x₀ =0,

b) f′′′

( )

x0 ≠0

oraz f′′′

( )

x₀ jest ciągła w punkcie x₀, to x₀ jest punktem przegięcia (warunek konieczny i dostateczny).

Przykłady

1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji _f

( )

_{x x}3_e−x2

= : Rozwiązanie Dziedzina funkcji f

( )

x :x∈R. ) 2 3 ( ) 2 ( 3 ) ( ' _{x x}2_e 2 _x3_e 2 _{x x}2_e 2 _x2 f ₌ −x ₊ −x _{⋅ − =} −x ₋ . Dziedzina pochodnej f'

( )

x :x∈R.

0 ) ( ' x > f gdy 3− x2 2 >0 , stąd , '( ) 0 2 3 , 0 0 , 2 3 <         ∪         − ∈ f x x , gdy         ∞         − ∞ − ∈ , 2 3 , 2 3 ,

x . Funkcja f

( )

x jest rosnąca w przedziale _       − 2 3 , 2 3 oraz malejąca w przedziałach _       ∞         − ∞ − , 2 3 , 2 3 , .

2. Obliczyć ekstrema lokalne funkcji f(x)₌x3lnx _{za pomocą pochodnej pierwszego rzędu.}

Rozwiązanie

Dziedzina funkcji f :x>0. Obliczamy pochodną '( )=3 2ln + 3⋅1 =x2(3lnx+1),x>0 x x x x x f .

Wyznaczamy punkty, w których może wystąpić ekstremum funkcji. f'(x)=0⇔x2(3lnx+1)=0⇔3lnx+1=0, stąd 3

1 −

= e

x .

Badamy znak f' x( ) w sąsiedztwie punktu 3 1 − = e x . , , 0 1 ln 3 0 ) 1 ln 3 ( 0 ) ( ' 3 1 2         ∞ ∈ ⇔ > + ⇔ > + ⇔ > x x x x e− x f f'(x)<0 dla _       ∈ −3 1 , 0 e x .

Ponieważ w sąsiedztwie punktu 3 1 −

= e

x pochodna zmienia znak z „- na +”, więc w tym punkcie funkcja ma minimum.

. 3 , , 3 , 1 3 1 min 1 3 1 min 3 1 min        − − =         = = − − − − − _e e P e e f y e x

3. Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji . ln ) ( x x x f = Rozwiązanie

Dziedzina funkcji: x∈

( ) (

0,1 ∪ 1,∞

)

. Obliczamy f' x( ) i f '' x( ): x x x f ₂ ln 1 ln ) ( ' = − , x x x x f ₃ ln ln 2 ) ( '' = − .

Dziedzina pochodnych jest taka jak dziedzina funkcji. Badamy znak drugiej pochodnej:

(

2

)

3 3 0 ln (2 ln ) 0 1, ln ln 2 0 ) ( '' x x x x e x x x x f > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ ∈ - funkcja wypukła, 0 ) ( '' x < f dla ∈

( )

0,1 ∪

(

2,∞

)

e x - funkcja wklęsła.

4. Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)=e−x2. Rozwiązanie

Obliczamy f' x( ) i f '' x( ): _f'(_x)₌₋2_xe−x2

, _{f ''(x)=−2e}−x2

(

_1−2x2

)

(

1 2

)

0 2 0 ) ( '' _{= ⇔−} − 2 ₋ 2 ₌ x e x f x _{, stąd} 2 2 − = x lub 2 2 = x .

Następnie badamy znak f '' x( ) w sąsiedztwie tych punktów.

(

)

, . 2 2 2 2 , 0 1 2 0 2 1 2 0 ) ( '' 2 2 2         ∞ ∪         − ∞ − ∈ ⇔ > − ⇔ > − − ⇔ > e− x x x x f x

Ponieważ w sąsiedztwie wyznaczonych punktów f '' x( ) zmienia znak, więc funkcja f ma

punkty przegięcia: , . 2 2 , , 2 2 ₂1 2 2 1 1                − e− P e− P Zadania

1. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f(x)=ln3x−3lnx. 2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji. 2

1 ) 2 ( ) (_{x = x− e}x− f

3. Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f(x)=sinx+cos2x w przedziale

π

, 0 .

4. Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji a) f(x)₌2x2₊lnx_{; b)} x e x x f       = ) ( .

5. Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji: a)

x x x f ln ) ( = ; b) f(x)=e x. Odpowiedzi 1. (0,1>∪<e,∞) e - funkcja rosnąca,      e e, 1 - funkcja malejąca. 2. P_min(3,e); 3. . 8 9 , 0 = = M m 4. a)       ∞       , 2 1 , 2 1 , 0 ; b) wypukła dla x>0; 5. a) _      2 , 2 2 e e ; b)

( )

1,e . Lp. Literatura Rozdział

1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie

III § 14-17 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt

dla studentów AM w Szczecinie

IV § 4.8.3.-4.8.7. 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.

Supremum, 2006.