8. Trygonometria - zadania.pdf

(1)

8. TRYGONOMETRIA – zadania

Zad.8.1. Uzupełnij tabelkę

a b c d x 3 y 2 z 5 4 6

α

sin

α

cos

3

1 α

tg

₃

α

ctg

3

Zad.8.2. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów α i β

Zad.8.3. Boki trójkąta prostokątnego mają długości odpowiednio równe:

3, 4, 5.

Jaką wartość przyjmuje wyraŜenie

sin

2

α

−

cos

2

α

, jeŜeli

α

jest najmniejszym kątem w tym trójkącie.

Zad.8.4.W trójkącie prostokątnym kąt ostry ma

30 °

. Oblicz przeciwprostokątną trójkąta, jeśli Przyprostokątna leŜąca naprzeciw kąta

30 °

jest równa

3

2

.

Zad.8.5. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest równe

10,

a tangens jednego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy

3

. Oblicz obwód tego trójkąta.

Zad.8.6. Ramię trójkąta równoramiennego ma

12

cm i tworzy z podstawą kąt

45 °

. Oblicz długość podstawy tego trójkąta.

Zad.8.7. Drabina oparta o ścianę tworzy z nią kąt

55

o. Jej dolny koniec oddalony jest od ściany o

1,5

m. Wyznacz długość drabiny

.

Wynik zaokrąglij do pełnych metrów.

Zad.8.8. Latarnia rzuca cień którego długość wynosi 10 m gdy promienie słoneczne tworzą z powierzchnia ziemi kat

54

o. Oblicz wysokość latarni.

.

Wynik zaokrąglij do pełnych metrów.

α

x

y

z

3

4

4 α

β

8

•

(2)

Zad.8.9. Oblicz wartość liczbową wyraŜenia:

°

−

°

⋅

°

60

45 cos

60

30 sin

ctg

tg

Zad.8.10. Posługując się wzorem:

sin

(

α

−

β

)

=

sin

α

⋅

cos

β

−

cos

α

⋅

sin

β

. Oblicz

sin

15 °

. Zad.8.11. Podaj wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

α

wiedząc Ŝe:

a)

4

3 sin

α

=

b)

5

1 cos

α

=

−

c)

ctg

α

=

5

d)

3

1 −

=

α

tg

Zad.8.12. Oblicz wartość wyraŜenia: a)

tg

40 °

⋅

tg

50 °

b)

1

15 sin

2

15 cos

2

15 sin

2

2 2 2

−

°

−

°

Zad.8.13. Sprawdź, czy liczby

a

=

sin

60 °

+

cos

60 °

b

=

sin

2

25 °

−

cos

30 °

+

cos

2

25 °

są pierwiastkami wielomianu

w

(

x

)

=

4 x

2

−

8 x

+

2

3

Zad.8.14. Podane wyraŜenia doprowadź do najprostszej postaci: a)

(

1 +

tg

2

α

)

⋅

cos

2

α

b)

α

ctg

tg

+

Zad.8.15. Udowodnij toŜsamość a)

α

sin

cos

sin

1 +

ctg

=

+

b)

α

2

sin

=

+

ctg

tg

c)

α

2 2

cos

1

1 ₌

+

tg

d)

α

2 2 2 4

1 tg

ctg

tg

=

+

e)

α

sin

2 sin

cos

1 cos

1 sin

₊

+

₌

+

Zad.8.16. Oblicz

α

2 sin

α

2

1 +

tg

, jeśli

3

2 cos

α

=

,

0 °

<

α

<

90 °

(3)

ODPOWIEDZI: Zad.8.1. a)

5

3 ,

3

5 ,

34

3 cos

,

34

5 sin

,

34 =

=

α

tg

α

ctg

α

y

b)

4

2 ,

2

2 ,

3

2

2 sin

,

2

3 ,

2 =

=

y

α

tg

α

ctg

α

x

c)

3

3 ,

2

1 cos

,

2

3 sin

,

3 ,

1 =

=

z

α

ctg

α

x

d)

3

1 ,

10

3 cos

,

10

10 sin

,

10

6 ,

18 =

=

y

α

tg

α

x

Zad.8.2

2

2 ,

3

3 cos

,

3

6 sin

α

=

α

=

tg

α

=

ctg

α

=

2 ,

2

2 ,

3

6 cos

,

3

3 sin

β

=

β

=

tg

β

=

ctg

β

=

Zd.8.3.

25

7

Zad.8.4.

6

2

Zad.8.5.

4

10 +

10

Zad.8.6.

12

2

Zad.8.7. około

2

m Zad.8.8. około

14

m Zad.8.9.

2

6

3 −

Zad.8.10.

4

2

6 −

Zad.8.11. a)

3

7 ,

7

3 ,

4

7 cos

α

=

tg

α

=

ctg

α

=

b)

5

6

2 sin

α

=

,

tg

α

=

2

6

,

12

6 =

α

ctg

c)

26

26 sin

α

=

,

5

1 ,

26

5 cos

α

=

tg

α

=

d)

10

10 sin

α

=

,

10

3 cos

α

=

,

ctg

α

=

3

Zad.8.12. a)

1

b)

2

Zad.8.13.

a

jest pierwiastkiem wielomianu

w

,

b

nie jest pierwiastkiem wielomianu

w

Zad.8.14. a)

1

b)

sin

2

α

Zad.8.16.

12

5

11