1
Geometria analityczna pªaszczyzny A. Mróz
1. Dane s¡ wierzchoªki trójk¡ta A = (5, 2), B = (1, −1) i C = (11, −6). Oblicz dªugo±¢ jego obwodu i pole.
2. Udowodnij, »e trójk¡t o wierzchoªkach A = (0, 0), B = (3, 1) i C = (1, 7) jest trójk¡tem pros-tok¡tnym.
3. Opisz wszystkie punkty M = (x, y), które s¡ równo oddalone od punktów A = (7, −3) i B = (−2, 1).
4. Znajd¹ wspóªrz¦dne ±rodka okr¦gu przychodz¡cego przez punkt A = (−4, 2) i stycznego do osi odci¦tych w punkcie B = (2, 0).
5. Znajd¹ ±rodek i promie« okr¦gu opisanego na trójk¡cie o wierzchoªkach A = (−1, 6), B = (3, −2) i C = (−4, −3).
6. Oblicz pole pi¦ciok¡ta, którego wierzchoªkami s¡ punkty A = (−2, 0), B = (0, −1), C = (2, 0), D = (3, 2), E = (−1, 3).
7. Oblicz pole rombu, maj¡c dane jego dwa przeciwlegªe wierzchoªki A = (2, −1) i B = (−4, −9) i dªugo±¢ boku równ¡ 5√10.
8. Dane s¡ trzy wierzchoªki trójk¡ta A = (0, 6), B = (−2, 3) i C = (−1, −1). Oblicz dªugo±¢ wysoko±ci tego trójk¡ta poprowadzonej z wierzchoªka C.
9. Dane s¡ dwa wierzchoªki trójk¡ta A = (0, 1) i B = (1, −2). Wyznacz wspóªrz¦dne trzeciego wierzchoªka C le»¡cego na osi Ox wiedz¡c, »e pole tego trójk¡ta jest równe 4.
10. Dane s¡ punkty A = (x1, y1) i B = (x2, y2). Wyprowad¹ wzór na wspóªrz¦dne punktu C
dziel¡cego odcinek AB w stosunku λ, tj. λ = |AC| |CB|.
11. rodek ci¦»ko±ci jednorodnego pr¦ta le»y w punkcie M = (5, 1); jeden koniec pr¦ta le»y w punkcie A = (−1, −3). Znajd¹ wspóªrz¦dne drugiego ko«ca.
12. Dane s¡ dwa punkty A = (4, −2) i B = (−8, 7). Znajd¹ wspóªrz¦dne punktów C i D dziel¡cych odcinek AB na trzy równe cz¦±ci.
13. Dane s¡ ±rodki boków trójk¡ta P = (−2, −1), Q = (−2, −4) i R = (3, 0). Znajd¹ wspóªrz¦dne wierzchoªków trójk¡ta.
14. Wyznacz wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci trójk¡ta o wierzchoªkach A = (2, 5), B = (−4, 1) i C = (−1, 0).
15. rodek ci¦»ko±ci trójk¡ta znajduje si¦ w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych; jeden z jego wierz-choªków le»y na osi odci¦tych w odlegªo±ci a, drugi na osi rz¦dnych w odlegªo±ci b od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych. Znajd¹ wspóªrz¦dne trzeciego wierzchoªka trójk¡ta.
16. Dany jest ukªad n punktów A1 = (x1, y1), A2 = (x2, y2), . . . ,An= (xn, yn), w których znajduj¡
si¦ masy m1, m2, . . . , mn. Wyka», »e wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci tego ukªadu wyra»aj¡ si¦
wzorami: x = x1m1+ x2m2+ . . . + xnmn m1+ m2+ . . . + mn , y = y1m1+ y2m2+ . . . + ynmn m1+ m2+ . . . + mn .
17. Dany jest trójk¡t o wierzchoªkach A = (4, 1), B = (7, 5) i C = (−4, 7). Znajd¹ wspóªrz¦dne punktu przeci¦cia dwusiecznej k¡ta A z przeciwlegªym bokiem BC.
18. Wyznacz punkty A i B wiedz¡c, »e punkt C = (−5, 4) dzieli odcinek AB w stosunku 3
4, a punkt
2 Geometria analityczna pªaszczyzny - prosta
19. Napisz równania kierunkowe i odcinkowe (a) prostej 3x + 4y − 8 = 0,
(b) prostej przechodz¡cej przez punkt (1, −4) i nachylonej do osi odci¦tych pod k¡tem 45◦.
20. Dla jakich warto±ci wspóªczynników A i B prosta Ax + By + 1 = 0 tworzy z osi¡ Oy k¡t 30◦?
21. Napisz równania prostych zawieraj¡cych boki trójk¡ta o wierzchoªkach A = (−1, 2), B = (5, 0) i C = (7, 4).
22. Dane s¡ równania prostych zawieraj¡cych boki trójk¡ta
AB : 2x − y + 2 = 0, BC : x − y = 0, AC : x + y − 2 = 0. Oblicz pole tego trójk¡ta.
23. Znajd¹ punkty przeci¦cia prostej 2x − 3y + 6 = 0 z osiami ukªadu wspóªrz¦dnych.
24. W trójk¡cie ABC dane s¡: wierzchoªek A = (0, −3), ±rodek S = (8, −1) boku AB i wektor BC = [−7, 8]. Znajd¹ równanie prostej zawieraj¡cej bok AC.
25. Na przykªadzie trójk¡ta o wierzchoªkach A = (0, 0), B = (2, 4) i C = (4, 0) wyka» analitycznie, »e ±rodkowe przecinaj¡ si¦ w jednym punkcie.
26. Rozwa»my dwie proste (o równaniach ogólnych):
s : Ax + By + C = 0, s0 : A0x + B0y + C0= 0.
Kiedy proste s i s0 przecinaj¡ si¦ w dokªadnie jednym punkcie, kiedy s¡ sobie równe, a kiedy s¡
równolegªe i ró»ne?
27. Wyznacz równanie prostej przechodz¡cej przez punkt A = (2, −1) i równolegªej do prostej 2x + 3y + 7 = 0.
28. Znajd¹ punkt B symetryczny do punktu A = (−1, −3) wzgl¦dem prostej x + 2y − 2 = 0. 29. Wyznacz k¡t mi¦dzy prostymi 2x + y = 0 i y = 3x − 4.
30. Znajd¹ równania prostych przechodz¡cych przez punkt A = (2, 1) i tworz¡cych k¡ty 45◦ z prost¡
2x − 3y = 6.
31. Znajd¹ odlegªo±¢ punktu A = (1, −2) od prostej 8x − 6y + 19 = 0. 32. Znajd¹ równania dwusiecznych k¡tów zawartych pomi¦dzy prostymi
2x + 2y + 7 = 0, 7x + y − 4 = 0. 33. Wyka», »e proste
3x − 4x + 10 = 0, 6x − 8y + 15 = 0 s¡ równolegªe i znajd¹ odlegªo±¢ mi¦dzy nimi.
34. Wyka», »e prosta 5x − 2y − 1 = 0 jest jednakowo oddalona od prostych 5x − 2y + 7 = 0, 5x − 2y − 9 = 0.
35. Znajd¹ równania prostych równolegªych do prostej 12x + 5y − 52 = 0 i odlegªych od niej o 2. 36. Z p¦ku prostych
3x − 2y + 5 + λ(4x + 3y − 1) = 0 wybierz prost¡
(a) przechodz¡c¡ przez punkt (1, 1), (b) prostopadª¡ do prostej y = x.
