Wykad nr 3 (Informacja o nieliniowych rwnaniach rniczkowych czstkowych pierwszego rzdu)

(1)

3 Informacja o nieliniowych równaniach

ró»nicz-kowych cz¡stró»nicz-kowych pierwszego rz¦du

Rozwa»my nieliniowe równanie ró»niczkowe cz¡stkowe pierwszego rz¦du, dla funkcji u = u(x, y),

(NL) F (x, y, u, ux, uy) = 0.

Oznaczmy p := ux, q := uy. Równanie (NL) ma teraz posta¢ F (x, y, u, p, q) =

0

O wszystkich funkcjach zakªadamy, »e s¡ na tyle regularne, »e wszystkie wyst¦puj¡ce w rachunkach pochodne cz¡stkowe s¡ ci¡gªe (w szczególno±ci, zachodzi równo±¢ pochodnych mieszanych drugiego rz¦du)

Ró»niczkuj¡c (NL) wzgl¦dem x i y otrzymujemy nast¦puj¡cy ukªad qu-asiliniowych równa« ró»niczkowych cz¡stkowych pierwszego rz¦du:

(3.1)            ∂F ∂x + ∂F ∂up + ∂F ∂ppx+ ∂F ∂qpy = 0 ∂F ∂y + ∂F ∂uq + ∂F ∂pqx+ ∂F ∂q qy = 0 (niewiadomymi s¡ u, p i q).

Zauwa»my, »e niewiadome p i q s¡ jako± zale»ne od niewiadomej u. Dla-tego te» nie ka»de rozwi¡zanie ukªadu (3.1) musi odpowiada¢ jakiemu± roz-wi¡zaniu wyj±ciowego równania (NL). Okazuje si¦ jednak, »e po doª¡czeniu pewnego warunku rzeczywi±cie tak jest. Opiszemy teraz pokrótce, bez dowo-dów, ide¦. Równania wst¦g charakterystycznych to (3.2)                                            dx dt = Fp dy dt = Fq dp dt = −Fx− pFu dq dt = −Fy− qFu du dt = pFp+ qFq

(ostatnie z równa« wzi¦ªo si¦ ze zró»niczkowania to»samo±ci u(x(t), y(t)) = u(t) po t).

(2)

Niech ` b¦dzie krzyw¡ klasy C , o parametryzacji (x0(s), y0(s), u0(s)),

s ∈ I.

Formalnie rzecz bior¡c, zagadnienie Cauchy'ego dla równania (NL) to: (NL-ZC)    F (x, y, u, ux, uy) = 0, u(x0(s), y0(s)) = u0(s) dla s ∈ I.

Jednak»e mo»e to nie wystarczy¢. Mianowicie, trzeba te» w ka»dym punkcie krzywej ` zada¢ warto±ci pochodnych cz¡stkowych, ux i uy. Zatem trzeba

jeszcze zada¢

p0(s) = ux(x0(s), y0(s)), q0(s) = uy(x0(s), y0(s)), s ∈ I.

Pierwszy warunek, który musi by¢ speªniony »eby zagadnienie Cauchy'ego w ogóle miaªo sens, to

F (x0(s), y0(s), u0(s), p0(s), q0(s)) = 0, s ∈ I.

Dla ustalonego punktu (x0(s), y0(s), u0(s))krzywej ` powy»sze równanie

mo-»e mie¢ jedno, wi¦cej ni» jedno, b¡d¹ w ogóle nie mie¢ rozwi¡za« (p0(s), q0(s)).

Dalej, ró»niczkuj¡c obie strony to»samo±ci u(x0(s), y0(s)) = u0(s) po s

otrzymujemy

p0(s)x00(s) + q0(s)y00(s) = u 0

0(s), s ∈ I

(0 _{oznacza ró»niczkowanie po s). Warunek}

(3.3)    F (x0(s), y0(s), u0(s), p0(s), q0(s)) = 0, s ∈ I p0(s)x00(s) + q0(s)y00(s) = u 0 0(s), s ∈ I

nazywamy warunkiem wst¦gi charakterystycznej .

Zaªó»my, »e wybrali±my (p0(s), q0(s)), s ∈ I, speªniaj¡ce warunek (3.3), i

zale»ne w sposób C1 _{od s ∈ I.}

Podobnie jak w przypadku równania quasiliniowego dowodzi si¦ teraz, »e rodzina zagadnie« pocz¡tkowych

(3.4)                                            dx dt = Fp, x(0) = x0(s) dy dt = Fq, y(0) = y0(s) du dt = pFp+ qFq, u(0) = u0(s) dp dt = −Fx− pFu, p(0) = p0(s) dq dt = −Fy − qFu, q(0) = q0(s)

(3)

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie

ξ = ξ(t, s), η = η(t, s), υ = υ(t, s), ϕ = ϕ(t, s), ψ = ψ(t, s) okre±lone na (−δ, δ) × I, gdzie δ > 0, i zale»ne w sposób C1 _{od (t, s).}

Je±li ponadto speªniony jest warunek

Fp(x0(s), y0(s), u0(s), p0(s), q0(s)) x00(s) Fq(x0(s), y0(s), u0(s), p0(s), q0(s)) y00(s) 6= 0, s ∈ I,

to dwie pierwsze skªadowe rozwi¡zania mo»na rozwikªa¢, t = t(ξ, η), s = s(ξ, η), i funkcja

u(x, y) := υ(t(x, y), s(x, y))

przedstawia lokalnie jednoznaczne rozwi¡zanie zagadnienia Cauchy'ego. Do-wód tego faktu jest analogiczny jak w przypadku równania quasiliniowego. 3.0.1 Interpretacja geometryczna

Ustalmy punkt (x0, y0, z0) na wykresie pewnego rozwi¡zania równania

nieli-niowego (NL). Pªaszczyzna styczna do wykresu tego rozwi¡zania w punkcie (x0, y0, z0) ma równanie

z − z0 = p(x − x0) + q(y − y0),

Ponadto zachodzi

F (x0, y0, z0, p, q) = 0.

Sto»kiem Monge'a(1) _{w punkcie (x}

0, y0, z0)nazywamy powierzchni¦ sto»kow¡,

o wierzchoªku w punkcie (x0, y0, z0) (czyli sum¦ póªprostych o pocz¡tku w

(x0, y0, z0) (tworz¡cych)), tak¡ »e, po pierwsze, jest ona styczna w ka»dym

swym punkcie do pªaszczyzny stycznej w (x0, y0, z0) do wykresu pewnego

rozwi¡zania, i, po drugie, dla ka»dego rozwi¡zania pªaszczyzna styczna w (x0, y0, z0) do jego wykresu jest styczna do pewnej tworz¡cej tej powierzchni

sto»kowej.(2) _{Przy zaªo»eniu, »e F}

p i Fq nie s¡ nigdzie równocze±nie równe

zeru mo»na wykaza¢, »e rzeczywi±cie taka powierzchnia sto»kowa istnieje. Przyporz¡dkowuj¡c ka»demu punktowi (x, y, z) sto»ek Monge'a w tym punkcie otrzymujemy pole sto»ków. Powierzchnia u = u(x, y) jest wykresem rozwi¡zania równania (NL) wtedy i tylko wtedy, gdy w ka»dym jej punkcie pªaszczyzna styczna zawiera pewn¡ tworz¡c¡ sto»ka Monge'a w tym punkcie.

(1)_{Gaspard Monge (17461818), od 1808 Comte de Péluse et de l'Empire, matematyk i}

polityk francuski

(2)_{Mówi si¦, »e sto»ek Monge'a jest obwiedni¡ rodziny powierzchni stycznych do wykresu}

(4)

3.1 Przykªad: równanie eikonaªu

Równaniem eikonaªu nazywamy nieliniowe równanie ró»niczkowe cz¡stkowe pierwszego rz¦du

(E) (ux)2+ (uy)2 =

1

c2, c > 0.

Równanie eikonaªu pojawia si¦ w optyce geometrycznej. Poziomic¦ funkcji u odpowiadaj¡c¡ warto±ci t interpretujemy jako miejsce, w którym w chwili t znajduje si¦ czoªo fali.

Zauwa»my, »e w ka»dym punkcie pªaszczyzny styczne do wykresu rozwi¡-zania równania (E) tworz¡ z osi¡ OZ k¡t ϑ = arc tg c. Zatem sto»ek Monge'a to prawdziwa powierzchnia sto»kowa o pionowej osi symetrii i k¡cie wierz-choªkowym 2ϑ.

Zapiszmy

F (x, y, u, p, q) := 1₂(c2p2 + c2q2− 1). Równania wst¦g charakterystycznych (3.2) przyjmuj¡ posta¢

                                           dx dt = c 2_p dy dt = c 2_q dp dt = 0 dq dt = 0 du dt = 1.

Rozwa»my krzyw¡ ` klasy C1, o parametryzacji (x

0(s), y0(s), u0(s)), s ∈ I.

Warunek wst¦gi charakterystycznej (3.3) ma posta¢

   (p0(s))2+ (q0(s))2 = _c12 s ∈ I p0(s)x00(s) + q0(s)y00(s) = u00(s), s ∈ I. Gdy (x0 0(s))2+ (y 0 0(s))2 < c2(u 0

0(s))2 dla s ∈ I (w teorii wzgl¦dno±ci mówi

si¦ wtedy, »e ` jest krzyw¡ czasow¡), warunki wst¦gi charakterystycznej nie mog¡ by¢ speªnione dla »adnego s, zatem zagadnienie Cauchy'ego nie ma rozwi¡za«.

Zaªó»my teraz, »e (x0

0(s))2+ (y00(s))2 > c2(u00(s))2 dla s ∈ I (` jest krzyw¡

(5)

W szczególno±ci, niech u0(s) ≡ 0. Wówczas warunek wst¦gi charaktery-stycznej, (3.5)    (p0(s))2+ (q0(s))2 = _c12 s ∈ I p0(s)x00(s) + q0(s)y00(s) = 0, s ∈ I.

daje, dla ka»dego s ∈ I, dwa rozwi¡zania. Ustalmy (p0(s), q0(s)) zale»ne w

sposób C1 od s ∈ I (da si¦ to zrobi¢ na dokªadnie dwa sposoby, poniewa»

(x0₀(s), y₀0(s)) jest wektorem niezerowym dla wszystkich s ∈ I). Zagadnienie pocz¡tkowe (3.4) ma rozwi¡zanie

(3.6)                    ξ(t, s) = x0(s) + c2tp0(s) η(t, s) = y0(s) + c2tq0(s) υ(t, s) = t ϕ(t, s) = p0(s) ψ(t, s) = q0(s).

eby uzyska¢ poj¦cie o rozwi¡zaniu u(x, y) warunku Cauchy'ego, b¦dziemy analizowali jego poziomice, czyli zbiory

`t:= { (x, y) : u(x, y) = t} dla ustalonego t > 0.

Przypominam, »e interpretacja zyczna takiej poziomicy to czoªo fali w chwili t, czyli miejsce, do którego dotarªo ±wiatªo wychodz¡ce, z pr¦dko±ci¡ c, z krzywej `0.

Z trzech pierwszych równo±ci w (3.6) wynika, »e zbiór `t ma

przedstawie-nie parametryczne

x(s) = x0(s) + c2tp0(s), y(s) = y0(s) + c2tq0(s), s ∈ I.

Druga równo±¢ w (3.5) mówi nam, »e w ka»dym punkcie krzywej `0 wektor

(p0(s), q0(s)) jest wektorem normalnym do tej krzywej. Zatem, póªprosta

{ (x0(s) + c2tp0(s), y0(s) + c2tq0(s)) : t 0}

to normalna do krzywej `0 w punkcie (x0(s), y0(s)). W interpretacji zycznej,

jest to promie« wychodz¡cy z (x0(s), y0(s)). Szybko±¢, z jak¡ porusza si¦ czoªo

fali, jest równa

v u u t ∂ξ ∂t !2 + ∂η ∂t !2 = c2q(p0(s))2+ (q0(s))2 = c.

(6)

Zatem krzyw¡ `t mo»na otrzyma¢ przez odªo»enie odlegªo±ci ct na

normal-nych do krzywej `0.

Ponadto, z dwóch ostatnich równo±ci w (3.6) wynika, »e krzywa `t, czyli

czoªo fali w chwili t, jest w ka»dym swym punkcie prostopadªa do promienia w tym punkcie.

Zauwa»my, »e funkcja (zadana w postaci uwikªanej) (3.7) c2(u − z0)2 = (x − x0)2+ (y − y0)2,

gdzie (x0, y0, z0)jest ustalonym punktem, jest rozwi¡zaniem równania (E)(3)

Gdy z0 = 0, poziomice (górnej) funkcji zadanej wzorem (3.7), czyli okr¦gi

o ±rodku w (x0, y0) i promieniu ct, to czoªa fal koªowych wychodz¡cych z

punktu (x0, y0).

Mo»na wykaza¢, »e wykres rozwi¡zania równania (E) przechodz¡cy przez krzyw¡ ` zawart¡ w pªaszczy¹nie XOY jest w ka»dym swym punkcie styczny do powierzchni sto»kowej (3.7) dla pewnego (x0, y0, 0) z krzywej `(4). Jest to

matematyczny wyraz znanej z zyki zasady Huygensa, nieformalnie sformu-ªowanej w postaci: dowolna fala jest sum¡ fal koªowych.

(3)_{Zauwa»my, »e jest to równanie sto»ka Monge'a w punkcie (x}₀_{, y}₀_{, z}₀₎_{. Warto}

zaakcen-towa¢, »e w przykªadu ogólnego równania nieliniowego (NL) sto»ek Monge'a mo»e nie by¢ wykresem »adnego rozwi¡zania.