Stabilizacja układów inercyjnych ułamkowego rzędu z opóźnieniem za pomocą ułamkowego regulatora PID / PAR 2/2009 / 2009 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

dr in
. Andrzej Ruszewski

Politechnika Biaostocka, Wydzia Elektryczny

STABILIZACJA UK
ADÓW INERCYJNYCH U
AMKOWEGO

RZDU Z OPÓNIENIEM ZA POMOC U
AMKOWEGO

REGULATORA PID

W pracy rozpatrzono problem stabilno
ci ukadów regulacji automatycznej zoonych z regulatora PID uamkowego rzdu oraz obiektu inercyjnego uamkowego rzdu z opónieniem. Wykorzystujc klasyczn metod podziau D podano proste analityczno-komputerowe metody wyznaczania obszarów stabilno
ci na paszczynie parametrów rozpatrywanego regulatora. Zaproponowane metody zastosowano take do wyznaczania obszarów stabilno
ci dla zadanych zapasów moduu i fazy.

STABILIZATION OF FRACTIONAL-ORDER INERTIAL PLANTS WITH TIME DELAY USING FRACTIONAL PID CONTROLLERS

The paper presents the stability problem of control systems composed of a fractional-order PID controller and a inertial plant of a fractional order with time delay. Using the classical D-partition method, a simple and efficient computational method for determining stability regions in the controller parameters space are given. The presented method is also used for obtaining stability regions for specified gain and phase margins requirements.

1. WSTP

Regulator proporcjonalno-cakujco-ró
niczkujcy (PID) jest nadal podstawowym urzdzeniem wykorzystywanym w przemysowych ukadach automatyki. Spowodowane jest to midzy innymi prostot dziaania, atwoci instalacji oraz niskim kosztem. Literatura na temat doboru wartoci parametrów regulatora zapewniajcych okrelone kryteria jakoci (syntezy parametrycznej) jest obszerna, np. [1, 7, 14, 15].

W ostatnich latach obserwuje si wzrost zainteresowania ukadami dynamicznymi opisanymi uamkowymi równaniami ró
niczko-cakowymi oraz regulatorem PID uamkowego rzdu, np. [8, 9, 10, 16]. W regulatorze PID uamkowego rzdu, okrelanym jako PIODP [11], rzd cakowania O oraz ró
niczkowania P s w ogólnym przypadku dowolnymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Problem doboru nastaw regulatorów uamkowego rzdu dla obiektów regulacji bez opónienia transportowego rozpatrywany by miedzy innymi w pracach [4, 6, 10, 17]. Wykazano tam,
e zastosowanie regulatora uamkowego PIODP o piciu stopniach swobody poprawia wskaniki jakoci regulacji. Badania przeprowadzono dla modeli obiektów regulacji cakowitego i uamkowego rzdu. W pracy [5] rozpatrzono problem stabilnoci ukadów regulacji zo
onych z uamkowego regulatora i obiektów uamkowego rzdu z opónieniem.

W niniejszej pracy rozpatrzony zostanie problem badania stabilnoci ukadów regulacji automatycznej zo
onych z regulatora PIODP i obiektu inercyjnego uamkowego rzdu z opónieniem. Zostan podane analityczno-komputerowe metody wyznaczania obszarów stabilnoci w przestrzeni parametrów regulatora PIODP. Proponowane metody oparte s na klasycznej metodzie podziau D oraz podejciu przedstawionym w pracach [12, 13].

2. G
ÓWNY REZULTAT

Wemy pod uwag ukad regulacji automatycznej pokazany na rys. 1. Obiekt regulacji opisany jest transmitancj operatorow w postaci czonu inercyjnego uamkowego rzdu z opónieniem , 1 ) ( _D Ts Ke s G sh   , 0 t h K !0, (1)

gdzie D jest dodatni liczb rzeczywist. Bdziemy przyjmowa,
e D(0,1]. Przy D 1

transmitancja (1) opisuje czon inercyjny pierwszego rzdu z opónieniem. Regulator jest natomiast uamkowym regulatorem PID o transmitancji

, ) ( _O k sP s k k s C i _d p   (2)

gdzie O i P s uamkowymi rzdami czci cakujcej i ró
niczkujcej regulatora. W przypadku ogólnym O i P s dodatnimi liczbami rzeczywistymi, bdziemy przyjmowa

, 2 

O P 2. Dla O 1, P 1 otrzymamy transmitancj operatorow klasycznego regulatora PID.

Rys. 1. Rozpatrywana struktura ukadu regulacji automatycznej

Na rys. 1 w torze gównym sterowania wystpuje tzw. tester zapasu moduu i fazy )

exp( jI

A  , gdzie A i I s to odpowiednio zapas moduu i zapas fazy. Tester ten nie wystpuje w rzeczywistym ukadzie regulacji, wykorzystywany jest on tylko przy syntezie parametrycznej regulatora. Wartoci parametrów regulatora dobiera si tak, aby ukad regulacji charakteryzowa si okrelonymi zapasami stabilnoci moduu i fazy. W typowych ukadach sterowania zapas fazy wynosi od 30q do 60q, natomiast zapas moduu od 5 dB do 10 dB. Zapasy te zwizane s ze wskanikami jakoci okrelanymi na podstawie odpowiedzi skokowych ukadu regulacji automatycznej, tj. przeregulowaniem, czasem regulacji. Wielkoci te zale
 przede wszystkim od zapasu stabilnoci fazy [18].

Quasi-wielomian charakterystyczny rozpatrywanego ukadu regulacji ma posta

, ) 1 ( ) exp( ) ( ) exp( ) , (s A jI K k sO k k sO P sh TsD sO w q  _p  _i  _d     (3)

gdzieq jest wektorem parametrów regulatora, tj. q [k_p,k_i,k_d,O,P].

Podstawowym wymaganiem stawianym ukadom regulacji automatycznej jest ich stabilno asymptotyczna. W przypadku ukadów uamkowego rzdu rozpatrujemy stabilno w sensie ograniczone wejcie-ograniczone wyjcie, któr dalej bdziemy krótko nazywa stabilnoci, np. [3]. Rozpatrywany ukad regulacji automatycznej jest stabilny, gdy jego quasi-wielomian charakterystyczny uamkowego stopnia (3) jest stabilny, tzn. wszystkie jego zera maj ujemne czci rzeczywiste [5]. Zera quasi-wielomianu charakterystycznego s cigymi funkcjami

) ( 0 t y -) (t y ) (t u ) (s G ) (s C I j Ae

jego wspóczynników. Przy ustalonej transmitancji obiektu (1) stabilno quasi-wielomianu (3) zale
y od wartoci parametrów regulatora (2). Wykorzystujc klasyczn metod podziau D [2] mo
emy wyznaczy obszary stabilnoci w przestrzeni parametrów regulatora. Obszary te okrelaj zbiór wartoci parametrów regulatora, dla których rozpatrywany ukad regulacji automatycznej jest stabilny. Granice stabilnoci (podziau D) odpowiadaj takim wartociom parametrów regulatora, dla których quasi-wielomian charakterystyczny (3) ma przynajmniej jedno zero poo
one na osi urojonej, w tym w nieskoczonoci. Mo
e to by zero rzeczywi-ste, para zer urojonych sprz
onych o skoczonej wartoci czci urojonej lub para zer urojo-nych sprz
ourojo-nych o nieskoczenie du
ej czci urojonej. Wobec tego granice podziau D dzielimy na granice: zer rzeczywistych, zer zespolonych i zer w nieskoczonoci. Granice te wyznaczamy z równania , 0 ) ]( ) ( 1 [ ) exp( ] ) ( ) ( [ ) exp( ) , (jZ A jI K k jZ O k k jZ OP jZh  T jZ D jZ O w q _{p i d} (4)

które otrzymuje si przyrównujc do zera quasi-wielomian (3) przy s jZ.

Niech Q_g

^

q:w(jZ,q) 0,Zt0

`

bdzie zbiorem wartoci parametrów regulatora, przy których ukad regulacji jest na granicy stabilnoci. Granicom podziau D odpowiada wektor q o wartociach le
cy na granicy:

x zer rzeczywistych - Q_gr

^

q:w(jZ,q) 0,Z 0

`

, x zer w nieskoczonoci - Q_gn

^

q:w(jZ,q) 0,Z f

`

, x zer zespolonych - Q_gz

^

q:w(jZ,q) 0,Z !0

`

.

Dowolnemu punktowi na granicy zer rzeczywistych odpowiada quasi-wielomian (3), który ma zero s 0. Z równania (4) dla Z 0 otrzymamy opis granicy zer rzeczywistych k_i 0. Granica zer w nieskoczonoci zale
y od postaci czonu dominujcego quasi-wielomianu (3), który jest wielomianem zmiennej exp( sh ), (patrz np. [2, 12]). W quasi-wielomianie (3) czon o najwikszych potgach s ma posta

. ) exp( O D P O _{sh Ts}  s Kk_d (5)

W zale
noci od rzdu P i D quasi-wielomian (3) mo
e by typu neutralnego (P D), wyprzedzonego )(P !D lub opónionego (P D). Je
eli quasi-wielomian (3) jest typu wyprzedzonego to jest on zawsze niestabilny przy k_d z0. atwo zauwa
y,
e je
eli quasi-wielomian (3) jest typu opónionego to granica zer w nieskoczonoci nie istnieje. Granica ta istnieje tylko dla quasi-wielomianów typu neutralnego i ma ona posta k_d rT / K.

Granic zer zespolonych wyznacza si rozwizujc wzgldem parametrów regulatora równanie (4) dla Z !0. Równanie zespolone (4) jest spenione, gdy odpowiednio jego czci rzeczywiste i urojone s równe 0, tj.

, 0 )] , ( Re[w jZ q (6) . 0 )] , ( Im[w jZ q (7)

Rozwizujc ukad równa (6), (7) wzgldem dwóch wybranych parametrów, przyjmujc pozostae jako zadane, otrzymamy opis parametryczny krzywej na paszczynie parametrów. Rozwizujc ukad równa wzgldem k i _p k odpowiednio otrzymamy _i









, 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 1 » ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § _  ¸ ¹ · ¨ © § _{ }  ¸ ¹ · ¨ © § _{  } ¸ ¹ · ¨ © §  _Z S _{O D Z I} S _{O Z I Z} S _{O P} O S D d P p T h h AKk AK k (8)

 

. 2 sin sin 2 sin 2 sin 1 » ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © §   ¸ ¹ · ¨ © § _{ } ¸ ¹ · ¨ © §   S_{D Z I Z Z Z} S _P Z O S OD O d O P i T h h AKk AK k (9)

Linia krzywa o opisie parametrycznym (8), (9), wykrelona w funkcji Z, przy zadanych wartociach ,k ,_d O P wyznacza na paszczynie (k_p,k_i) granic zer zespolonych quasi-wielomianu (3).

Otrzymane granice podziau D dziel przestrze parametrów regulatora na obszary D(k) o skoczonej liczbie zer quasi-wielomianu (3) o dodatniej czci rzeczywistej. Dowolny punkt w D(k) odpowiada takim wartociom parametrów regulatora, dla których quasi-wielomian (3) ma dokadnie k zer o dodatniej czci rzeczywistej. Je
eli obszar D(0) istnieje (nie jest pusty), to jest on obszarem stabilnoci rozpatrywanego ukadu regulacji automatycznej. W celu sprawdzenia, czy dany obszar jest obszarem stabilnoci nale
y zbada stabilno quasi-wielomianu (3) dla jednego punktu z tego obszaru, stosujc np. uogólnione na przypadek quasi-wielomianów uamkowego stopnia kryterium Michajowa [3].

Przyjmujc 0k_d w (8), (9) otrzymamy opis parametryczny granicy zer zespolonych dla przypadku ukadu regulacji z regulatorem PI. W pracy [13] przeanalizowano wpyw uamkowego rzdu modelu obiektu D oraz uamkowego rzdu czonu cakujcego regulatora

O na obszary stabilnoci. Otrzymano,
e przy uamkowym rzdzie D obszary stabilnoci s wiksze ni
przy cakowitym rzdzie D. Wpyw wartoci D na obszary stabilnoci dla przypadku z regulatorem PID jest taki sam jak z regulatorem PI, dlatego te
w niniejszej pracy przyjto do oblicze D 1 oraz pozostae wartoci parametrów obiektu jako K 1,

, 5 . 0

h T 2.

Obszary stabilnoci quasi-wielomianu (3) w przypadku uamkowego rzdu czci cakujcej regulatora pokazane s na rys. 2. Obszary stabilnoci zostay wyznaczone przy A 1, I 0q,

kd 1, P 1 dla wartoci O zmieniajcych si od 0,2 do 2 z krokiem 0,2 (regulator PIOD).

Z rys. 2 wynika,
e dla O1 obszar stabilnoci jest wikszy ni
dla O 1. Zwikszanie O powy
ej jedynki pocztkowo powoduje równie
powikszenie obszaru stabilnoci, po czym zaczyna on male, a
w kocu przy O 2 przestaje istnie.

Obszary stabilnoci quasi-wielomianu (3) wyznaczone przy A 1, I 0q, kd 1, O 1 dla

wartoci P zmieniajcych si od 0.2 do 2 z krokiem 0.2 (regulator PIDP) pokazane s na rys. 3. Z rys. 3 wynika,
e dla P 1 obszar stabilnoci jest mniejszy ni
dla P 1. Zwikszanie P powy
ej jedynki pocztkowo powoduje powikszenie obszaru stabilnoci, po czym zaczyna on si zmniejsza.

Zauwa
my,
e ró
nym wartociom O,P odpowiadaj ró
ne obszary stabilnoci. Zastosowanie regulatora PIODP pozwala na zwikszenie obszarów stabilnoci poprzez odpowiedni dobór uamkowego rzdu czci cakujcej i ró
niczkujcej regulatora.

-10 -5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 2 0 5 10 15 k_p O k_i

Rys. 2. Obszary stabilnoci quasi-wielomianu (3) wyznaczone przy A 1, I 0q, kd 1,

P 1 dla wartociO zmieniajcych si od 0,2 do 2 z krokiem 0,2 (regulator PIOD)

-5 0 5 10 15 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 6 8 k_p P k_i

Rys. 3. Obszary stabilnoci quasi-wielomianu (3) wyznaczone przy A 1, I 0q, kd 1,

O 1 dla wartociP zmieniajcych si od 0.2 do 2 z krokiem 0.2 (regulator PIDP)

Podstawowym zadaniem regulatora jest zapewnienie stabilnoci ukadu regulacji oraz okrelonych celów regulacji. Wartoci parametrów regulatora wyznacza si na przykad z uwzgldnieniem zadanych zapasów stabilnoci moduu i fazy.

Otrzymane opisy granic stabilnoci (podziau D) umo
liwiaj wyznaczenie obszarów stabilnoci dla zadanych zapasów moduu i fazy. Przy wyznaczaniu obszarów stabilnoci dla okrelonego zapasu moduu A nale
y przyj I 0, natomiast dla okrelonego zapasu fazy I nale
y przyj A 1. Wiksze znaczenie ma zapas fazy, gdy
jest on zwizany z oscylacyjnoci odpowiedzi skokowej ukadu regulacji [18].

Na rys. 4 pokazano obszary stabilnoci rozpatrywanego ukadu regulacji z regulatorem PI0.8D0.4 wyznaczone dla I 30D, A 1, przy k zmieniajcym si od 0 do 2 z krokiem 0,2. _d

Dowolny punkt z wyznaczonego obszaru zapewnia zapas fazy wikszy ni
I 30D. Przypadek 0k_d odpowiada ukadowi regulacji z obiektem (1) i regulatorem PI0.8. Z rysunku wynika,
e wystpowanie czci ró
niczkujcej regulatora k powoduje zwikszenie_d

obszarów stabilnoci dla przyjtego zakresu zmian k ._d

-4 -2 0 2 4 6 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 5 6 k_p k_d k_i

Rys. 4. Obszary stabilnoci quasi-wielomianu (3) wyznaczone przy A 1, I 30q,O 0.8,

P 0.4 dla wartoci k zmieniajcych si od 0 do 2 z krokiem 0.2 (regulator PId

0.8

D0.4) Na rys. 5 pokazano obszary stabilnoci quasi-wielomianu (3) z regulatorem PI0.8D0.4 wyznaczone dla kilku wartoci I przy A 1, k_d 1. Wybierajc punkt z obszaru ograniczonego lini krzyw wyznaczon dla zadanej wartoci I i linia prost k_i 0 otrzymamy wartoci nastaw regulatora, przy których ukad regulacji ma zapas stabilnoci fazy wikszy ni
warto I przyjta do wyznaczenia granicy zer zespolonych. Na rysunku oznaczono znakami u punkty z czterech obszarów odpowiadajce wartociom nastaw regulatora ,k_p 1 k_i 1,2,3,4. Dla tych punktów obliczono zapasy stabilnoci i zestawiono je w tab. 1. Z tabeli wynika,
e wszystkie ukady regulacji charakteryzuj si wikszym zapasem fazy od tego jaki przyjto do wyznaczenia granic zer zespolonych.

Tab. 1. Zapasy moduu i fazy

Nastawy regulatora PI0.8D0.4 Zapas moduu A [dB] Zapas fazy I [q] , 1 p k k_d 1, k_i 1 9.70 79.33 , 1 p k k_d 1, k_i 2 _{9.07 55.35} , 1 p k k_d 1, k_i 3 _{8.06 39.32} , 1 p k k_d 1, k_i 4 _{6.58 27.19}

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k p k_i I = 0o I = 30o I = 45o I = 60o

Rys. 5. Obszary stabilnoci quasi-wielomianu (3) wyznaczone dla kilku wartociI przy A 1, kd 1 (regulator PI0.8D0.4)

Rys. 6. Logarytmiczne charakterystyki czstotliwociowe moduu i fazy wyznaczone przy kp 1, kd 1, ki 1, 2, 3, 4 (regulator PI0.8D0.4) 10-1 100 101 -20 -10 0 10 20 30 Mo d u
( d B )

A = 9.7 dB (przy 0.95 rad/s), I = 79.33 o (przy 3.94 rad/s)

10-1 100 101 -360 -270 -180 -90 0 Czstotliwo (rad/s) Faza ( o) 10-1 100 101 -20 -10 0 10 20 30 Mo d u
( d B )

A = 9.07 dB (przy 1.20 rad/s), I = 55.35 o (przy 3.65 rad/s)

10-1 100 101 -360 -270 -180 -90 0 Czstotliwo (rad/s) Faza ( o) 10-1 100 101 -20 -10 0 10 20 30 Mo d u
(d B )

A = 8.06 dB (przy 1.42 rad/s), I = 39.32 o (przy 3.34 rad/s)

10-1 100 101 -360 -270 -180 -90 0 Czstotliwo (rad/s) Fa za ( o) 10-1 100 101 -20 -10 0 10 20 30 Mo d u
(d B )

A = 6.58 dB (przy 1.61 rad/s), I = 27.19 o (przy 3.0 rad/s)

10-1 100 101 -360 -270 -180 -90 0 Czstotliwo (rad/s) Fa za ( o) 1 i k k_i 2 3 i k k_i 4

Na rys. 6 pokazano logarytmiczne charakterystyki czstotliwociowe moduu i fazy wraz z zaznaczonymi zapasami stabilnoci. Tab. 1 i rys. 6 potwierdzaj rezultat otrzymany wczeniej na podstawie metody podziau D,
e punkt z wyznaczonego obszaru stabilnoci zapewnia okrelone wartoci zapasu fazy.

Na rys. 7 pokazano charakterystyki skokowe ukadu regulacji wyznaczone dla otrzymanych wartoci nastaw regulatora (punktów z obszarów stabilnoci). Z rysunku wynika,
e dla wikszego zapasu fazy I wystpuje mniejsze przeregulowanie.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Czas [s] y k i = 1 k i = 2 k_i = 3 k_i = 4

Rys. 7. Odpowiedzi skokowe ukadu regulacji wyznaczone dla kilku wartoci ki

przy kp 1, kd 1 (regulator PI0.8D0.4)

3. UWAGI KOCOWE

W pracy rozpatrzono problem badania stabilnoci ukadów regulacji automatycznej zo
onych z uamkowego regulatora PIODP i obiektu inercyjnego uamkowego rzdu z opónieniem. Wykorzystujc metod podziau D podano analityczno-komputerow metod wyznaczania obszarów stabilnoci w przestrzeni parametrów uamkowego regulatora PIODP. Dowolny punkt z wyznaczonego obszaru odpowiada takim wartociom parametrów regulatora, dla których ukad regulacji jest stabilny, tj. jego bieguny le
 w otwartej lewej pópaszczynie. Zaproponowan metod zastosowano tak
e do wyznaczania obszarów stabilnoci dla zadanych zapasów moduu i fazy, wówczas dowolny punkt z obszaru odpowiada takim wartociom parametrów regulatora, dla których ukad regulacji charakteryzuje si zapasem stabilnoci nie mniejszym od zadanego.

Z przeprowadzonych bada wynika,
e zastosowanie regulatora PIODP pozwala na zwikszenie obszarów stabilnoci poprzez odpowiedni dobór uamkowego rzdu czci cakujcej i ró
niczkujcej regulatora.

Prac wykonano w ramach projektu badawczego N N514 1939 33 finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wy
szego.

4. LITERATURA

1. Astrom K. J., Hagglund T.: PID Controllers: Theory, Design, and Tuning. 2nd ed. Research Triangle Park, NC: Instrument Society of America, 1995.

2. Busowicz M.: Odporna stabilno
 ukadów dynamicznych liniowych stacjonarnych

z opónieniami. Seria: Mon. Komitetu Automatyki i Robotyki PAN, Tom 1, Dzia

Wydawnictw i Poligrafii Politechniki Biaostockiej, Warszawa-Biaystok, 2000.

3. Busowicz M.: Frequency domain method for stability analysis of linear continuous-time

fractional systems, In: K. Malinowski and L. Rutkowski (Eds.): Recent Advances in

Control and Automation, Academic Publishing House EXIT, pp. 83-92, Warsaw 2008. 4. Chen Y.Q., Dou H., Vinagre B. M., Monje C.A.: A Robust Tuning Method for Fractional

Order PI Controllers, The Second IFAC Symposium on Fractional Derivatives and

Applications, Porto, Portugal 2006.

5. Hamamci S. E.: An Algorithm for Stabilization of Fractional-Order Time Delay Systems

Using Fractional-Order PID Controllers, IEEE Trans. on Automatic Control, 2007,

Vol. 52, pp. 1964-1969.

6. Monje C.A., Vinagre B.M., Chen Y.Q., Feliu V., Lanusse P., Sabatier J.: Proposals for

Fractional PIODP Tuning, The First IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its

Applications, Bordeaux, France 2004.

7. O’Dwyer A.: Handbook of PI and PID Controller Tuning Rules. Imperial College Press, World Scientific, New Jersey, London, Singapore, Hong Kong, 2003.

8. Ortigueria M.D.: Introduction to fractional linear systems, IEE Proc.-Vis. Image Signal Process., Vol. 147, No. 1, February 2000.

9. Ostalczyk P.: Zarys rachunku róniczkowo-cakowego uamkowych rzdów. Teoria i

zastosowania w automatyce. Wydawnictwo Politechniki ódzkiej, ód 2008.

10. Podlubny, I.: Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, California, 1999.

11. Podlubny I.: Fractional-order systems and PIODP -controllers, IEEE Trans. on Automatic

Control, 1999, Vol. 44, pp. 208-214.

12. Ruszewski A.: Synteza parametryczna regulatorów dla okre
lonej klasy obiektów o

niepewnych parametrach, Praca doktorska, Politechnika Biaostocka, Biaystok, 2008.

13. Ruszewski A., Sidorowicz A.: Stabilizacja ukadów inercyjnych uamkowego rzdu

z opónieniem za pomoc uamkowego regulatora PI. PAR, nr 2 (2008), CD-ROM - Mat.

XII Konferencji Naukowo-Technicznej Automation, Warszawa 2008.

14. Silva G. J., Datta A., Bhattacharyya S. P.: PID Controllers for Time-Delay Systems, Birkhauser, Boston, 2005.

15. Soylemez M.T., Munro N., Baki H.: Fast calculation of stabilizing PID controllers, Automatica, 2003, Vol. 39, pp. 121–126.

16. Valerio D.: Fractional robust system control, PhD Dissertation, Tech. Univ. of Lisbona, 2005.

17. Zhao C., Xue D., Chen Y.Q.: A Fractional Order PID Tuning Algorithm for A Class of

Fractional Order Plants, in Proc. of the IEEE International Conference on Mechatronics

& Automation, pp. 216-221, Niagara Falls, Canada 2005.

18. uchowski A.: Metoda doboru nastaw regulatora PID uwzgldniajca postulowany zapas