prof. dr hab. in. Zdzisaw Gosiewski, gosiewski@pb.edu.pl
mgr in. Andrzej Piotr Koszewnik, akoszewnik@pb.edu.pl
Politechnika Biaostocka, Wydzia Mechaniczny, Katedra Automatyki i Robotyki
AKTYWNE STEROWANIE DRGANIAMI BELKI
Z PIEZOELEMENTAMI PRZY POMOCY REGULATORA LQR
W referacie zostanie przedstawiony aktywny ukad tumienia drga w zastosowaniu do belki wspornikowej z przyklejonymi w quasi-optymalnym poo-eniu piezoelementami. Uzyskany w procesie identyfikacji i zredukowany model matematyczny obiektu posuy do zweryfikowania wczeniej otrzymanych warto-ci pierwszych czterech czstotliwowarto-ci drga wasnych belki jak równie do zapro-jektowania odpowiedniego regulatora LQR.
W nastpnym etapie bada wybrane prawo sterowania zostao przebadane symu-lacyjnie oraz eksperymentalnie. Zarejestrowane przebiegi czasowe i czstotliwociowe zarówno z bada symulacyjnych jak i badawczych wykazay, e zaprojektowany i zbudowany ukad silnie tumi drgania belki konsolowej.
LQR CONTROL OF SMART BEAM WITH PIEZOELECTRIC ELEMENTS
An active vibration damping system with the use of piezoelements in quasi-optimal location is presented in the paper. Identified and reduced mathematical model of open-loop system was used to verify earlier obtained the first four natu-ral frequencies of the beam. This model was also used to design appropriate lin-ear quadratic state-feedback regulator (LQR).
In the next stage control law was chosen and it was checked out in simulation and experimental investigations. Obtained time and frequencies domain plots have proved that designed controller very strongly damps the vibration of the active beam.
1. WSTP
Aktywne tumienie drga konstrukcji mechanicznych w ostatnich latach stao si istotnym zagadnieniem poruszanym przez wielu badaczy. Wprowadzenie na rynek coraz to lejszych materiaów i wiotkich elementów spowodowao powstanie nowoczesnych konstrukcji, które ze swojej natury s podatne na wszelkiego rodzaju wymuszenia. Z tego te powodu w wikszoci przypadków wybór odpowiedniego sposobu sterowania i samo zaprojektowanie waciwego prawa sterownia zapewniajcego stabilno ukadu, stao si przedmiotem wielu prac [1, 2].
Jednym z rozwiza zapewniajcych aktywne tumienie drga jest wykorzystanie elementów piezoelektrycznych. Odpowiednie ich ulokowanie w tzw. quasi-optymalnym po-oeniu, waciwie przeprowadzona identyfikacja obiektu, daje gwarancj, e w póniejszym etapie zaprojektowane prawo sterowania zapewni nam oczekiwan stabilno ukadu. W zwizku z tym w niniejszym referacie chcemy przedstawi wanie ten sposób sterowania, które zostao wzbogacone o zaprojektowany optymalny regulator LQR.
2. MODELOWANIE BELKI Z WYKORZYSTANIEM MES
Obiektem bada jest aktywna stalowa belka konsolowa (jednostronnie utwierdzona) wraz z przyklejonymi do niej elementami piezoelektrycznymi. Obie wstgi piezoelektryczne o parametrach zamieszczonych w tab. 1 zostay umieszczone na belce w quasi-optymalnym miejscu tj. w odlegoci 125 mm od miejsca jej utwierdzenia [3], co przedstawia rys. 1. Jeden z wyej wymienionych piezo-elementów pracuje jako aktuator, drugi za jako sensor. Korzy-stajc z dostpnych bibliotek programu Ansys elementy stalowe zostay modelowane jako elementy bryowe - Solid 45, elementy piezoelektryczne poprzez elemety– Solid 5, za war-stwa kleju czca belk z piezoelementami poprzez – Combin 14. Utworzony w ten sposób model belki posuy do przeprowadzenia bada symulacyjnych, które miay na celu przeana-lizowanie dynamiki caej konstrukcji i wyznaczenie pierwszych czterech postaci drga, które zostay przedstawione na rys. 2.
Rys. 1. Badana belka konsolowa
Tab. 1. Parametry konstrukcji
Parametry stalowa belka aktuator sensor
materia stal piezo-cristal piezo-cristal
wymiary (l) [m] 0.35x0.025x0.002 0.05x0.025x0.00076 0.05x0.025x0.00038
masa (m) [kg] 0.1365 0.00675 0.00342
gsto (U) [kg/ m3] 7800 7200 7200
objto(V) [m3] 17,5*10-6 0.9375*10-6 0.475*10-6
modu Younga (E) [GPa] 200 0.18 0.18
wspó. Poisson ( ) 0.3 0.28 0.28
f1=13,81 [Hz]
f2=84,04 [Hz]
f3=241,18 [Hz]
f4=509,89 [Hz]
Uzyskane wartoci czstoci drga wasnych w nastpnym kroku zostay zweryfikowane na stanowisku laboratoryjnym poprzez zdjcie odpowiednich charakterystyk czstotliwocio-wych. Otrzymane w ten sposób rezultaty ukazuj poprawno wczeniej przeprowadzonych bada symulacyjnych.
W kolejnym etapie bada przeprowadzono proces identyfikacji i redukcji modelu obiektu, który opisywaby dynamik belki. W tym celu w pierwszej kolejnoci zarejestrowano sygna wejciowy i wyjciowy w dziedzinie czasu. Na podstawie odwrotnej transformaty Fouriera wyznaczono eksperymentalne charakterystyki czstotliwociowe: amplitudow i fazow. Po-prawne dopasowywanie charakterystyk identyfikowanego modelu matematycznego do wyni-ków eksperymentalnych uzyskano metod najmniejszej sumy kwadratów. Obliczone w ten sposób estymowane wspóczynniki wielomianu licznika i mianownika transmitancji wyko-rzystano w metodzie LMFD (Left Matrix Fraction Description) celem uzyskania postaci obserwowalnej kanonicznej modelu w przestrzeni stanu.
Dla zredukowania rzdu identyfikowanego modelu zostaa wykorzystana metoda Balance. Uzyskana w ten sposób transmitancja (1) jest minimaln realizacj zredukowanego modelu podatnej konstrukcji. Wyszczególnione w niej czstotliwoci rezonansowe - to bieguny transmitancji, za czstotliwoci antyrezonansowe - to zera tej transmitancji [4]. W ten sposób stworzona transmitancja posuya do projektowania odpowiedniego prawa sterowania.
) 6 179 , 2 41 , 10 )( 5 82 , 2 58 , 13 )( 7737 359 , 0 ( ) 6 354 , 2 03 , 68 )( 5 947 , 2 67 , 15 )( 8020 18 , 1 ( 0085 . 0 ) ( 2 2 2 2 2 2 e s s e s s s s e s s e s s s s s Gest (1)
3. PROJEKTOWANIE UKADU STEROWANIA ZWYKORZYSTANIEM REGULATORA LQR
Jednym z kryteriów sterowania aktywnych konstrukcji mechanicznych jest sterowanie opty-malne przy pomocy regulatora LQR ( ang. Linear Quadratic Regulator). Wyznaczanie prawa sterowania w tej metodzie oparte jest o zaprojektowanie regulatora z sygnaami sterujcymi w funkcji wektora stanu. Zgodnie z przyjta zasad poszukujemy takiego sygnau sterowania, który sprowadzi system do stanu zerowego, a tym samym zminimalizuje wskanik jakoci opisany równaniem (2).
>
@
) min(E x Qx u RuJ o T T (2)
Opisane w równaniu macierze wagowe Q i R powinny by odpowiednio dodatnio i pódodatnio okrelone, a ich dobór zaley od projektanta ukadu sterowania. Przy zaoeniu, e ptla sprzenia zwrotnego jest realizowana od penego stanu otrzymujemy prawo stero-wania opisane równaniem:
Gx u (3) gdzie: P B R G 1 T (4)
Wystpujca w równaniu (4) macierz P wyznaczana jest z równania Ricattiego opisanego równaniem (5) 0 1 A P Q PBR B P PA T T (5)
Ostatecznie równanie stanu ukadu zamknitego sterowanych drga konstrukcji przyjmie na-stpujc posta [5,6]:
A BG
x
x
.
Wówczas schemat blokowy przedstawiajcy sterowanie LQR przedstawia si nastpujco: -G Du Cx y Bu Ax x . + + u x
Rys. 3. Ukad sterowania z regulatorem LQR
4. BADANIA SYMULACYJNE
Badania symulacyjne modelu ukadu aktywnej belki z piezoelementami zostay przeprowa-dzone w dziedzinie czasu i czstotliwoci. Po odpowiednim przeksztaceniu modelu transmi-tancyjnego zostay uzyskane macierze w przestrzeni stanu o nastpujcych rozmiarach: A(6x6),
B(1x6), C(6x1), D(1x1). Zgodnie z przyjtym zaoeniem w nastpnym etapie bada na nasz
mo-del zostay naoone odpowiednie wagi Q i R. Na sygna od wektora stanu zostaa naoona waga o wartoci Q=0,01, wówczas macierz Q(6x6)=diag(0,01), za na sygna sterujcy waga
R=1. Przyjte parametry wagowe umoliwiy wyznaczenie wartoci macierzy wzmocnie K
regulatora, które zapewniby optymalne tumienie w ukadzie.
Pierwsze wyniki bada - w dziedzinie czasu - udowodniy, e zastosowanie ukadu z regulatorem od stanu w ptli sprzenia zwrotnego zapewnia silne tumienie drga belki. wiadcz o tym zarejestrowane przebiegi, zarówno dla wymuszenia impulsowego (rys. 4), jak równie dla wymuszenia sinusoidalnego u=2,5sin(2t) (rys. 5). W obu przypadkach
sygna-em wejciowym byo napicie przyoone do piezoaktuatora, wyjciem za przemieszczenie belki mierzone w rodkowym punkcie piezosensora.
Podobny rezultat uzyskujemy, take dla przeprowadzonych bada w dziedzinie czstotliwo-ci. Na podstawie uzyskanej charakterystyki Bodego (rys. 6) mona zaobserwowa znaczne zwikszenie tumienia dla pierwszych trzech postaci drga (I posta – wzrost o 18 dB, II po-sta – wzrost o 3 dB, III popo-sta – wzrost o 11 dB).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Odpowiedz modelu obiektu na wymuszenie impulsowe
czas[s] (sec) A mpl itu d a Obiekt Uklad z regulatorem LQR
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Linear Simulation Results
czas [s] (sec) Na pi ci e[ V] Przemieszczenie belki
Rys. 5. Odpowied ukadu na zadane wymuszenie sinusoidalne
-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 From: u To: y A m plit u d a ( d B) 100 101 102 -135 -90 -45 0 45 F a z a( d e g) f (Hz) Obiekt Uklad z regulatorem LQR
Rys. 6. Charakterystyka Bodego obiektu i ukadu zamknitego
5. BADANIA EKSPERYMENTALNE
Przeprowadzone badania na stanowisku laboratoryjnym umoliwiy zaprezentowanie zmiany amplitudy drga belki pracujcej w torze otwartym w stosunku do drga ukadu zamknitego. Efekt przeczania ptli otwarta/zamknita zosta zrealizowany poprzez umieszczony w ptli sprzenia zwrotnego przecznik, co przedstawia schemat zamieszczony na rys. 7. Zaprojek-towany regulator LQR przed zaimplementowaniem do procesora sygnaowego DSP zosta poddany dyskretyzacji z czasem próbkowania T = 0,001 s.
Podczas trwania eksperymentu belka bya pobudzana do drga poprzez przyoenie napicie
u=2,5sin(2t) do piezoaktuatora. Przemieszczenie za belki byo rejestrowane w punkcie
rodkowym piezosensora. W wyniku zaczonego w 1,4 s ukadu sterowania uzyskano znacz-nie wiksze tumieznacz-nie, a tym samym osignito gwatowany spadek amplitudy drga do bar-dzo maych wartoci. Asymetryczny efekt odpowiedzi ukadu na podane wymuszenie spowo-dowane jest zastosowaniem unipolarnego wzmacniacza napicia pomidzy DSP a piezoaktuatorem. Rezultaty bada przedstawione s na rys. 8.
Rys. 7. Schemat ukadu sterowania z regulatorem LQR (Matlab / RTW) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 czas [s] A mpl it u d a
An impulse response of active beam
Rys. 8. Odpowied impulsowa aktywnie sterowanie belki
6. WNIOSKI
W artykule opisano badania aktywnego ukadu tumienia drga na przykadzie belki wsporni-kowej. W pierwszej kolejnoci wyznaczono pierwsze cztery czstotliwoci wasne drga bel-ki z przyklejonymi do niej piezo-elementami w quasi-optymalnym miejscu. Uzyskany na drodze identyfikacji model matematyczny udowodni poprawno otrzymanych na drodze obliczeniowej wartoci czstotliwoci wasnych drga belki oraz sta si podstaw do zapro-jektowania waciwego prawa sterowania opartego na regulatorze od stanu LQR.
Przeprowadzone badania symulacyjne oraz badania eksperymentalne udowodniy, e zapro-jektowany i realizowany przez procesor sygnaowy DSP regulator powoduje zwikszenie tumienia w ukadzie, a tym samym obnia amplitud drga belki do bardzo maych wartoci.
[1] Guang M., Wenming Z.: Active Vibration Control of Micro-Cantilever Beam in MEMS, Proc. 2004 International Conference on Intelligent Mechatronics and
Auto-mation, Chengdu, China, 2004, pp. 272-276.
[2] Yaman Y., Waechter D.: Active vibration control of a smart beam, Proceedings mate-rials of Cansmart symposium held, Montreal, 2001, pp.125-134.
[3] Gosiewski Z., Koszewnik A.: The influence of the piezo-element placement on the active vibration damping system. Materiay 8 Midzynarodowej Konferencji „Aktyw-na Redukcja Drga i Haasu”, Krasiczyn 2007, p. 69.
[4] Gosiewski Z., Koszewnik A.: Frequency domain identification of the active beam model for the vibration control system, 4 Midzynarodowa Konferencja : Mechatronic systems and materials, Biaystok, 2008, p.106.
[5] Koziski W.: Projektowanie regulatorów. Wybrane metody klasyczne i optymalizacyjne, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2004. [6] Gosiewski Z., Siemieniako F.: Automatyka, Synteza ukadów, t. II, Wydawnictwo
Politechniki Biaostockiej, Biaystok, 2007.
