Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory

(1)

Funkcja pierwotna. Całka

nieoznaczona. Podstawowe

wzory

Autorzy:

Konrad Nosek

2019

(2)

Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory

Autor: Konrad Nosek

DEFINICJA

Definicja 1: Funkcja pierwotna

Rozważmy przedział zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym punkcie przedziału nazywamy funkcją pierwotną funkcji funkcją pierwotną funkcji w przedziale w przedziale , jeżeli w każdym punkcie zachodzi

(tj. gdy w każdym punkcie z przedziału pochodna funkcji równa się wartości funkcji ).

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Rozważmy wielomian . Wówczas wielomian określony wzorem jest funkcją

pierwotną funkcji na przedziale , gdyż . Istnieją też inne funkcje pierwotne funkcji , np.:

, , , ...

UWAGA

Uwaga 1:

Z powyższego przykładu wynika, że funkcja pierwotna danej funkcji nie jest wyznaczona jednoznacznie, a jednak mając jedną funkcję pierwotną łatwo wyznaczyć wszystkie pozostałe.

Spostrzeżenie to precyzuje następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: O funkcji pierwotnej

O funkcji pierwotnej

Dwie dowolne funkcje pierwotne tej samej funkcji różnią się o stałą tzn.

Jeśli i są funkcjami pierwotnymi na przedziale do funkcji , to .

I

I ⊂ R

I

f

I

x ∈ I

(x) = f(x)

F

′

_I

_F

_f

f(x) =

x

3

− 3

_x

2

_{F(x) =}

1

_{− + 2016}

4

x

4

x

3

f

(−∞, ∞)

F

′

= f(x) ∀ x ∈ R

_f

(x) =

− + 2

F

1 1₄

x

4

x

3

F

2

(x) =

1₄

x

4

− −

x

3

2

10

F

3

(x) =

1₄

x

4

−

x

3

f

F G

I

f

∃ c ∈ R ∀ x ∈ I : F(x) = G(x) + c

(3)

UWAGA

Uwaga 2:

Prawdziwość powyższego twierdzenia wynika z własności pochodnych, tj. wzoru na pochodną sumy oraz z faktu, iż pochodna ze stałej wynosi zero.

DEFINICJA

Definicja 2: Całka nieoznaczona

Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji w przedziale nazywamy całką nieoznaczoną funkcji całką nieoznaczoną funkcji w przedziale w przedziale i oznaczamy ją symbolem . Zatem

UWAGA

Uwaga 3:

Wprost z powyższej definicji wynika ważna własność całki nieoznaczonej, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, czyli

PRZYKŁAD

Przykład 2:

PRZYKŁAD

Przykład 3:

c

f

I

f

I

∫ f(x) dx

∫ f(x) dx = F(x) + c ⇔ (x) = f(x) .

F

′

= f(x) .

(∫ f(x) dx)

′

∫ sin xdx = − cos x + c ,

bo

(− cos x)

′

= sin x.

∫

1

dx = arctgx + c ,

bo

=

.

(4)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: Wzory podstawowe

Wzory podstawowe

1. , gdy (całka z funkcji potęgowej) ;

2. ;

3. , gdy i (całka z funkcji wykładniczej) ;

4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. .

UWAGA

Uwaga 4:

Powyższe wzory łatwo sprawdzić - wystarczy pokazać, że pochodna wyniku jest równa funkcji podcałkowej. Przykładowo

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Obliczmy całkę .

Korzystając z działań na potęgach oraz ze wzoru 1. powyższego twierdzenia otrzymujemy

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Obliczmy całkę .

Korzystając ze wzoru na całkę nieoznaczoną dla funkcji wykładniczej (por. twierdzenie - wzory podstawowe ) otrzymujemy

gdyż .

∫

x

α

dx =

xα+1

+ c

α+1

α ≠ −1

∫

dx

= ln |x| + c

x

∫ dx =

a

x ax

+ c

ln a

a > 0 a ≠ 1

∫ sin xdx = − cos x + c

∫ cos xdx = sin x + c

∫

dx

= tg x + c

x cos2

∫

dx

= −ctg x + c

x sin2

∫

dx

= arcsinx + c

1−x2 √

∫

dx

= arctgx + c

1+x2

=

⋅ ln a ⋅

= .

( )

ax ln a ′ ln a1

( )

a

x ′ ln a1

a

x

a

x

∫

dx x3 √

∫

dx

= ∫

dx =

+ c = −

+ c .

x3 √

x

− 3 2 x − 1₂ −1 2 2 x √

∫ dx

e

x

∫ dx =

e

x ex

+ c = + c ,

ln e

e

x

ln e = 1

(5)

{OPENAGHCONCLUSION (name="Z twierdzenia Wzory podstawowe")} W szczególności prawdziwe są wzory:

1. ;

2. , gdy , więc tym samym np. ;

3. ;

{OPENAGHCONCLUSION}

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3:

Twierdzenie 3: O całce sumy

O całce sumy

Jeżeli funkcje oraz mają funkcje pierwotne w przedziale , to suma ma również funkcję pierwotną w przedziale . Ponadto zachodzi równość:

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Obliczmy całkę z funkcji .

Skorzystamy tu z twierdzenia o całce sumy oraz ze wzoru podstawowego na całkę z funkcji potęgowej.

PRZYKŁAD

Przykład 7:

Obliczmy całkę .

Stosując proste dopełnienie algebraiczne, otrzymujemy

TWIERDZENIE

Twierdzenie 4:

Twierdzenie 4: o wyciąganiu stałej przed znak całki

o wyciąganiu stałej przed znak całki

Jeżeli funkcja ma funkcję pierwotną w przedziale , to dla dowolnej stałej iloczyn ma również funkcję pierwotną w przedziale .

Ponadto dla dowolnej stałej prawdziwa jest równość:

∫

1

dx = 2

+ c

x √

√

x

∫

1

dx = −

+ c

xα _(α−1)x1 α−1

α ≠ 1

∫ dx = − + c

_x12 _x1

∫ dx = + c

e

x

_e

x

f

g

I

f + g

I

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.

f(x) =

x

5

+

x+1

+

x5 √ x15

∫ ( +

x

5 x+1

+ ) dx = ∫ ( +

+

) dx = ∫ dx + ∫

dx + ∫

dx

x5 √ x15

x

5

x

1− 5 2

x

−52

x

−5

x

5

x

−32

x

−52

x

−5

=

x6

− 2

−

+ c .

6

x

− 1 2 2₃

x

−32 x−4₄

∫

x2+2

dx

+1 x2

∫

x2+2

dx = ∫ (

+

) dx = ∫ 1 dx + ∫

dx = x + arctgx + c .

+1 x2 x+1 2 +1 x2 _x21₊₁ _1+x12

f

I

a

a ⋅ f

I

a

∫ a ⋅ f(x) dx = a ⋅ ∫ f(x) dx.

(6)

Należy przy tym pamiętać, że przed całkę można wyciągnąć stałą, ale nie zmienną (czyli nic z -em, jeśli całkujemy funkcję od ).

PRZYKŁAD

Przykład 8:

Obliczmy całkę .

Korzystając z działań na potęgach oraz z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki mamy

PRZYKŁAD

Przykład 9:

Obliczmy całkę .

Dlaczego pisząc symbol całki należy zawsze pisać człon , oznaczający że całkujemy po tłumaczą następujące przykłady.

PRZYKŁAD

Przykład 10:

, gdyż .

Całkę nieoznaczoną, a potem oznaczoną stosujemy głównie w fizyce, gdzie rzadko kiedy argumenty funkcji są oznaczane jako , np. — funkcja drogi od czasu (t — time).

W pierwszym przytoczonym przykładzie dopisek oznacza, że poszukujemy funkcji pierwotnej od funkcji o argumencie . Czyli widzimy, że całkujemy funkcję względem .

W drugim zaś przykładzie jest stałą, którą wolno wziąć przed całkę. Wówczas całkujemy funkcję względem . {OPENAGHCONCLUSION (name="Z twierdzenia ((Automatycznie|#thr:NieoznaczonaKN-SumaCalek|o całce sumy i z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki")} Jeżeli funkcje oraz mają funkcje pierwotne w przedziale , to różnica ma również funkcję pierwotną w przedziale . Ponadto zachodzi równość

{OPENAGHCONCLUSION}

x

∫

2

x−2

dx

∫

2

x−2

dx = ∫ dx = ∫ dx = ⋅

2x

+ c =

+ c .

22 1₄

2

x 1₄ 2 x ln 2 2 x ln 16

∫

sin 2x

dx

cos x

∫

sin 2x

dx = ∫

dx = 2 ∫ sin xdx = −2 cos x + c .

cos x 2 sin x cos xcos x

dx

∫ xdx =

1

+ c

2

x

2

(

12

x

2 ′

)

= ⋅ 2x = x

12

∫ xdt = x∫ dt = xt + c

(xt)

′

= x

_(t)

′

= x

x

s = s(t)

dx

x

f(x) = x

x

f(t) = 1

t

f

g

I

f − g

I

∫ (f(x) − g(x)) dx = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx.

(7)

PRZYKŁAD

Przykład 11:

Obliczmy całkę .

{OPENAGHCONCLUSION (name="Z twierdzenia O całce sumy i z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki"

anchor="cl:NieoznaczonaKN-WN3")} Jeżeli funkcje oraz mają funkcje pierwotne w przedziale , to dla dowolnych liczb i funkcja ma również funkcję pierwotną w przedziale oraz

{OPENAGHCONCLUSION}

PRZYKŁAD

Przykład 12:

Obliczmy całkę z wielomianu .

PRZYKŁAD

Przykład 13:

Obliczmy całkę .

Żeby można było użyć wzorów podstawowych, zastosujemy tutaj proste dopełnienie algebraiczne oraz wykorzystamy powyższy wniosek.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 10:10:59

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=5a991cc9d5a978fc5db39a89d6f19353

∫ (cos x − ) dx

1

x

∫ (cos x − ) dx = ∫ cos xdx − ∫ dx = sin x − ln |x| + c .

1

x x1

f

g

I

a b

a ⋅ f + b ⋅ g

I

∫ (af(x) + bg(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx.

W(x) = 5 − 6 − x + 5

x

4

_x

2

∫ (5 − 6 − x + 5) dx = 5 ∫ dx − 6 ∫ dx − ∫ xdx + 5 ∫ dx =

x

4

_x

2

_x

4

_x

2

_x

5

− 2 −

_x

3 1

+ 5x + c .

2

x

2

∫

x2

dx

2 +2x2

∫

x2

dx = ∫ (

−

) dx = ∫ ( − ⋅

) dx = ∫ 1 dx − ∫

dx = − arctgx + c .

2 +2x2 1₂ x+1 2 +1 x2 _x21₊₁ 1₂ 1₂ _x21₊₁ 1₂ 1₂ _x21₊₁ x₂ 1₂

(8)