Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona

1 Funkcja pierwotna

Definicja Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I ⊂ R, jeżeli

F⁰(x) = f (x), x ∈ I.

Przykłady

Funkcja F (x) = sin x jest funkcją pierwotną funkcji f (x) = cos x dla x ∈ R, gdyż F⁰(x) = (sin x)⁰ = cos x = f (x).

Funkcja F (x) = e^x jest funkcją pierwotną funkcji f (x) = e^x dla x ∈ R, gdyż F⁰(x) = (e^x)⁰ = e^x = f (x).

Funkcja F (x) = x³ jest funkcją pierwotną funkcji f (x) = 3x² dla x ∈ R, gdyż F⁰(x) = (x³)⁰ = 3x² = f (x).

Twierdzenie Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy

a) G(x) = F (x) + C₀, gdzie C₀ ∈ R, jest funkcją pierwotną funkcji f na I,

b) każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F (x) + C, gdzie C ∈ R.

Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale I, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.

2 Całka nieoznaczona

Definicja

Z

f (x) dx ≡ F (x) + C,

jeżeli F⁰(x) = f (x) dla x ∈ I.

Przykłady

1

R cos x dx = sin x + C, ponieważ (sin x)⁰ = cos x.

R e^x dx = e^x+ C, ponieważ (e^x)⁰ = e^x.

R 3x² dx = x³+ C, gdyż (x³)⁰ = 3x². Twierdzenie

a) [^R f (x) dx]⁰ = f (x),

b) ^R f⁰(x) dx = f (x) + C.

2.1 Wzory podstawowe

1. ^R x^α dx = _α+1¹ x^α+1+ C, α 6= −1,

2. ^R x⁻¹ dx ≡^{R 1}_x dx = ln |x| + C,

3. ^R sin x dx = − cos x + C,

4. ^R cos x dx = sin x + C,

5. ^R e^x dx = e^x+ C.

2.2 Reguły całkowania

1. ^R (f (x) + g(x)) dx =^R f (x) dx +^R g(x) dx,

2. ^R (f (x) − g(x)) dx =^R f (x) dx −^R g(x) dx,

3. ^R (λf (x)) dx = λ^R f (x) dx, λ ∈ R,

4. ^R f (x)g⁰(x) dx = f (x)g(x) −^R f⁰(x)g(x) dx (wzór na całkowanie przez części),

5. ^R g(f (x))f⁰(x) dx =^R g(t) dt (wzór na całkowanie przez podstawienie).

Przykłady

R (x + cos x − 2e^x) dx = ¹₂x²+ sin x − 2e^x+ C,

R _x²−x+1√

x dx =^{R }x³² − x¹² + x^−12 dx = ²₅x⁵² − ²₃x³² + 2x¹² + C,

R x sin x dx =











f (x) = x g⁰(x) = sin x f⁰(x) = 1 g(x) = − cos x









= −x cos x +^R cos x dx = −x cos x + sin x + C,

2

R(2x − 5)⁷ dx =



















2x − 5 = t 2dx = dt dx = ¹₂dt



















= ¹₂^R t⁷ dt = ₁₆¹t⁸+ C = ₁₆¹(2x − 5)⁸+ C,

R _dx

2+√ x =



















2 +√ x = t x = (t − 2)² dx = 2(t − 2)dt



















= 2^{R t−2}_t dt = 2t − 4 ln |t| + C = 4 + 2√

x − 4 ln |2 +√

x| + C,

R tg x dx =^R _{cos x}^{sin x} dx =











cos x = t

− sin xdx = dt









= −^{R dt}_t = − ln |t| + C = − ln | cos x| + C,

R ln x dx =











f (x) = ln x g⁰(x) = 1 f⁰(x) = ¹_x g(x) = x









= x ln x −^R dx = x ln x − x + C,

R x²e^−x dx =











f (x) = x² g⁰(x) = e^−x f⁰(x) = 2x g(x) = −e^−x









= −x²e^−x+ 2^R xe^−x dx =

=











f (x) = x g⁰(x) = e^−x f⁰(x) = 1 g(x) = −e^−x









= −x²e^−x+ 2 (−xe^−x+^R e^−x dx) =

= −x²e^−x− 2xe^−x− 2e^−x+ C = −e^−x(x²+ 2x + 2) + C,

R x√

1 + x dx =



















1 + x = t² x = t²− 1 dx = 2tdt



















=^R(t²− 1) · t · 2t dt = 2^R(t⁴− t²) dt =

= ²₅t⁵− ²₃t³+ C = ²₅^q(1 + x)⁵− ²₃^q(x + 1)³+ C.

2.3 Wzory podstawowe /cd/

6. ^R _1+x¹ 2 dx = arctg x + C,

7. ^{R √ 1}

1−x² dx = arc sin x + C.

Przykłady

R _x²_dx

1+x² =^R dx −^R _1+x^dx2 = x − arctg x + C,

R _√x⁷_dx

1−x¹⁶ =



















x⁸ = t 8x⁷dx = dt x⁷dx = ¹₈dt



















= ¹₈^{R √dt}

1−t² = ¹₈arc sin t + C = ¹₈arc sin x⁸+ C.

3