10. GEOMETRIA ANALITYCZNA
10.1. Prosta
a) Równanie kierunkowe prostej:
y
=
ax
+
b
, gdziea
,
b
∈
R
a
– współczynnik kierunkowy,b
- współczynnik stałyProsta
y
=
ax
+
b
przecina oś OY w punkcie( )
0
,
b
( )
0
,
b
i jest nachylona do osi OX pod kątemα
α
Prosta
y
=
ax
+
b
w zaleŜności od znaku współczynnikaa
a > 0
a < 0
a = 0
αα
∈
(
0
°
,
90
°
)
α
tg
a
=
αα
∈
(
90
°
,
180
°
)
(
°
−
α
)
−
=
tg
180
a
y
=
b
α
=
0
°
Prosta nachylona do osi OX pod kątem
α
=
90
°
nie ma równania kierunkowego .α MoŜna ją zapisać za pomocą równania
x
=
c
.( )
c
,
0
Prosta ta przecina oś OX w punkcie( )
c
,
0
b) Równanie ogólne prostej
c) Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
·
A(
y
−
y
A)(
x
B−
x
A) (
=
x
−
x
A)(
y
B−
y
A)
gdzie
A
=
(
x
A,
y
A)
;
B
=
(
x
B,
y
B)
·
BJeśli
x
A=
x
B , to otrzymamy prostą o równaniux
=
c
( prosta pionowa). Jeśliy
A=
y
B , to otrzymamy prostą o równaniuy
=
b
(prosta pozioma). d) Odległość punktu od prostejWzór na odległość punktu od prostej
( )
2 2
,
B
A
C
By
Ax
l
P
d
P P+
+
+
=
lgdzie
P
=
(
x
P,
y
P)
il
:
Ax
+
By
+
C
=
0
·
d·
Pe) Równoległość i prostopadłość prostych
k
:
y
=
a
kx
+
b
kl
:
y
=
a
lx
+
b
lWarunek równoległości prostych
l k
l
║k
⇔
a
k=
a
lProste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe
Warunek prostopadłości prostych
l k
l
┴k
⇔
l ka
a
=
−
1
S 10.2. Odcinek a) Wzór na długość odcinka A
AB
=
(
x
B−
x
A) (
2+
y
B−
y
A)
2 , gdzieA
=
(
x
A,
y
A)
;
B
=
(
x
B,
y
B)
B b) Środek odcinkaA Współrzędne środka odcinka
+
+
=
2
,
2
B A B Ax
y
y
x
S
gdzieA
=
(
x
A,
y
A)
;
B
=
(
x
B,
y
B)
•S B c) Symetralna odcinka k – symetralna odcinka AB kSymetralna odcinka – prosta prostopadła do odcinka i przechodząca
• X przez jego środek S
• Symetralna odcinka jest zbiorem punktów płaszczyzny, których A S B odległości od końców tego odcinka są równe.
AX
=
BX
10.3. Okrąg
Równanie okręgu o środku
S
=
( )
a
,
b
i promieniur
(
x
−
a
) (
2+
y
−
b
)
2=
r
2
