Ocena niepewności prostokątnych składowych impedancji wyznaczanych pośrednio z pomiarów składowych biegunowych i vice versa / PAR 3/2018 / 2018 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

Pełen tekst

(1)Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN 1427-9126, R. 22, Nr 3/2018, 61–67, DOI: 10.14313/PAR_229/61. ? F " "8 * 9 ! ! Zygmunt Lech Warsza " =A " "8=AA%R " .&.&.E/,C6. Jacek Puchalski Y8#FM%@ .&&E&&-6. Streszczenie: W artykule omówiono oszacowanie niepewności składowych prostokątnych impedancji wyznaczonych pośrednio z bezpośrednich pomiarów jego polarnych składowych i odwrotnie. Przedstawiono wzory i funkcje znormalizowanych niepewności bezwzględnych i względnych pary składowych impedancji wyznaczonej pośrednio z pomiarów pozostałej pary. Uwzględniono również ich współczynnik korelacji w funkcji kąta fazowego impedancji i niepewności mierzonej pary. Otrzymane zależności zostały szczegółowo przeanalizowane i omówione. -#

(2) < " " " . 1. Wprowadzenie Pierwszym podręcznym urządzeniem do pomiarów napięć przemiennych AC w szerokim zakresie amplitud i przesunięć fazowych we wszystkich czterech ćwiartkach, wyznaczanych względem napięcia odniesienia i bez obciążania badanego układu, był kompensator o współrzędnych biegunowych z maszynowym przesuwnikiem fazy opracowany w firmie Simens w 1918 r. przez dr. Włodzimierza Krukowskiego, późniejszego profesora Politechniki Lwowskiej [1, 2]. Obecnie do takich badań służą cyfrowe układy elektroniczne z prostownikami fazoczułymi, zwane też woltomierzami wektorowymi. Niekiedy są wyposażone w nastawianie częstotliwości, amplitudy i fazy odniesienia. W tej stosowanej od lat technice pomiarowej pojawiły się nowe zagadnienia wynikłe z rozpowszechniania się randomizowanej oceny dokładności pomiarów za pomocą niepewności. Zastąpiła ona stosowaną wcześniej ocenę przez błędy graniczne. W przypadkach, gdy np. z bezpośrednich pomiarów składowych biegunowych wielkości elektrycznych wyznaczamy pośrednio składowe prostokątne lub na odwrót, w wyniku otrzymuje się wartości ze sobą powiązane. Również powiązane są ich niepewności. Do ich wyznaczania trzeba więc stosować macierzowe równanie propagacji niepewności, tj. wyznaczyć macierz kowariancji wielkości. ) ! $. 9"I 6-0$C+9"% ". wyjściowych. Metoda ta jest opisana ogólnie w Suplemencie 2 do Przewodnika wyznaczania niepewności GUM [3]. W tej pracy jako przykład metodę tę zastosowano do wyznaczania niepewności prostokątnych składowych impedancji na podstawie pomiarów jej składowych biegunowych i vice versa. W literaturze nie znaleziono jak szacować niepewności przy pośrednim badaniu tych składowych.. Q5 ? ! $!. # % . % #. Mierzone bezpośrednio składowe biegunowe impedancji traktuje się jako wielkości wejściowe traktuje się je jako wielkości wejściowe, a składowe prostokątne jako wielkości wyjściowe, które otrzymuje się pośrednio ze znanych wzorów. Wartości tych składowych są ze sobą skojarzone, gdyż zależą od obu składowych biegunowych. Należy dokonać też oceny niepewności wielkości wyjściowych. Zależności między niepewnościami wejściowymi i wyjściowymi opisuje się macierzowym równaniem propagacji wariancji [3–5]. Proces ten prześledzi się dla impedancji Z (rys. 1). Jej moduł |Z| i kąt fazowy j otrzymano z pomiarów tej impedancji w układzie z szeregowym opornikiem wzorcowym. Oszacowane w pomiarach niepewności składowych biegunowych potraktuje się dla uproszczenia jako nieskorelowane. Zależności między parametrami impedancji. )! # .,%&,%.&-,% $-%&0%.&-,% ! "" # $%&. Zależność ogólna dla wieloparametrowych pomiarów pośrednich Y = F(X). 61.

(3) &

(4) ' b '_>

(5) > "'

(6) )

(7)

(8) > 'b '"

(9)

(10) > $>;;;. δ = 2 R. Rys. 1. Składowe biegunowe i prostokątne impedancji Z Fig. 1. Polar and rectangular components of the impedance Z. σ R2 R2. 2. =. 2 2 2 Z δ Z + σ ϕ tg ϕ. 1 + tg 2ϕ. R2. = δ Z2 + σ ϕ2 tg 2ϕ .. Stąd: Wektory wielkości wejściowych i wyjściowych , Y = [R, XLC]T. σR = σZ. Zależność pomiędzy macierzami kowariancji niepewności bezwzględnych wejściowych UX i wyjściowych UY jest następująca [5, 6]:. 2. 1+ Z. σ ϕ2 2 tg ϕ σ Z2. oraz. 1 + tg 2ϕ. .. Niepewności składowej urojonej:. UY = S ⋅ UX ⋅ ST gdzie: macierz niepewności nieskorelowanych wielkości wejściowych ⎡σ Z2 UX = ⎢ ⎢ 0 ⎣. 0⎤ ⎥, σ ϕ2 ⎥⎦. macierz czułości ⎡ ∂R ⎢ ⎢∂Z S =⎢ ⎢ ∂X LC ⎢ ⎣⎢ ∂ Z. ∂R ⎤ ⎥ ∂ϕ ⎥ ⎡cos ϕ ⎥=⎢ ∂X LC ⎥ ⎢⎣ sin ϕ ∂ϕ ⎥⎥ ⎦. − Z sin ϕ ⎤ ⎥, Z cos ϕ ⎥⎦. 2. tg ϕ + 2. σ LC = σZ. macierz niepewności wielkości wyjściowych. Z σ ϕ2. σ Z2. σ2 oraz δ LC = 1 + ϕ ctgϕ . 2 δZ. 1 + tg ϕ 2. δZ. Współczynnik korelacji. Wprowadzając oznaczenie z ≡ Z. σϕ σ = ϕ σ Z δZ. wyznaczono. zależność znormalizowanych niepewności bezwzględnych. σ R σ LC i w funkcji kąta j (rys. 2) oraz współczynnika koreσZ σZ. Związek wariancji niepewności bezwzględnych i względnych:. lacji ρRXLC (rys. 3) dla różnych wartości parametru z. Podobne wykresy stosunków niepewności względnych cji kąta j są na rysunku 4 i w funkcji. Niepewności, bezwzględna i względna składowej rzeczywistej:. 62. P. O. M. I. A. R. Y. •. A. U. T. O. M. A. T. Y. K. A. •. R. O. B. O. T. Y. K. A. δ R δ LC , w funkδZ δZ. δϕ – na rysunku 5. δZ. N R 3 /201 8.

(11) $" ` > =

(12)

(13) .

(14) !>

(15) . 20. 15. z. z. z. z. z. z. 10. 5. 0 -90. -70. -50. -30. -10. 10. Rys. 2. Zależność znormalizowanych niepewności bezwzględnych σ|Z| = 0,01 Ω i σϕ = 0,005; 0,01 i 0,02 rad Fig. 2. Dependence of normalized absolute uncertainties and σϕ = 0.005; 0.01 and 0.02 rad. i. 30. 50. w funkcji kąta φ dla. i. 70. 90. 5, 10, 20 oraz |Z| = 10 Ω,. as function of the angle φ for. 5, 10, 20 and |Z| = 10 Ω, σ|Z| = 0.01 Ω. 0,01 -90. -70. -50. -0,01 -10 -0,03. -30. 10. 30. 50. z=5. z=10. 70. 90. z=20. -0,05 -0,07 -0,09 -0,11 -0,13 Rys. 3. Współczynnik korelacji ρRX Fig. 3. Correlation coefficient ρRX. LC. -0,15. LC. w funkcji kąta φ dla δ|Z| = 0,001 = 0,1% i σφ = 0,005; 0,01; 0,02 rad. as function of the angle φ for δ|Z| = 0.001 = 0.1% and σφ = 0.005; 0.01; 0.02 rad. Rys. 4. Znormalizowane niepewności względne Fig. 4. Normalized relative uncertainties. ,. ,. w funkcji kąta φ dla. as functions of the angle φ for. = 1, (np. δ|Z| = 1%, σφ = 0,01 rad) = 1, (for example, δ|Z| = 1%, σφ = 0.01 rad). 63.

(16) &

(17) ' b '_>

(18) > "'

(19) )

(20)

(21) > 'b '"

(22)

(23) > $>;;; 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5. Rys. 5. Znormalizowane niepewności względne. i. Fig. 5. Normalized relative uncertainties. as functions of. and. 6. 7. 8. 9. 10. dla kąta φ = 35°. w funkcji. for the angle φ = 35°. Tabela 1. Znormalizowane niepewności bezwzględne i współczynnik korelacji w punktach osobliwych Table 1. Normalized absolute uncertainties and correlation coefficient in singular points. [rad]. Rezystancja. = –π/2. R. =0. 0. = π/2. R. Niepewność bezwzględna. z. (R = |Z|). 0. (R = |Z|). XLC. (R = |Z|). 0. 1. z. Niepewność bezwzględna. Reaktancja. 1. z. 1. Współczynnik korelacji. (LC = |Z|). 0. (LC = |Z|). 0. (LC = |Z|). 0. UdY jest następujące [5, 6]:. Szczegółową analizę tych przebiegów pozostawiamy dociekliwości Czytelnika. Z analizy formuł wynikają wartości znormalizowanych niepewności bezwzględnych i współczynnika korelacji w punktach osobliwych zestawione w tabeli 1. Podobne formuły i wykresy można wyznaczyć też dla niepewności modułu |Z| i kąta j impedancji Z z niepewności dla pomiarów jej składowych prostokątnych R, XLC i ich współczynnika korelacji rRX .. UδY = Sδ ⋅ UδX ⋅ SδT Macierz UdX dla nieskorelowanych niepewności wielkości wejściowych i macierz czułości Sd mają teraz następujące postacie. LC. T5. #. % #. ! $!. Korzysta się z tych samych, co poprzednio zależności między parametrami impedancji Z:. Jest to zagadnienie odwrotne do poprzedniego. Wektory wielkości wejściowych i wyjściowych są teraz następujące. Wybranie wielkości wyjściowej w postaci tg j uprości znacznie obliczenia, które będą tu wykonane dla niepewności względnych. Tak jak i poprzednio, współczynnik korelacji niepewności wielkości względnych jest taki sam jak wielkości bezwzględnych, gdyż jest to ogólna zasada. Macierzowe równanie zależności między macierzami kowariancji niepewności względnych wejściowych UdX i wyjściowych. 64. P. O. M. I. A. R. Y. •. tgϕ =. 2 Z = R 2 + X LC ;. X = [R, XLC]T, Y = [|Z|, tg ϕT. A. U. T. O. M. X LC , R. XLC = XL – XC, XL = wL, XC = 1/wC; {–½ π < j < ½ π}. Niepewności względne są określone jako δ R =. A. T. Y. K. A. •. R. O. B. O. T. Y. K. A. σR R. oraz. N R 3 /201 8.

(24) $" ` > =

(25)

(26) .

(27) !>

(28) . Rys. 6. Znormalizowane niepewności względne. Fig. 6. Normalized relative. and absolute. i bezwzględne. składowych biegunowych Z w funkcji kąta φ. uncertainties of polar components Z as a function of angle φ. Tabela 2. Znormalizowane niepewności względne i bezwzględne składowych impedancji oraz współczynnik korelacji dla wielkości wyjściowych w punktach osobliwych Table 2. Normalized relative and absolute uncertainties of the impedance components and the correlation coefficient for the output values in singular points. [rad]. = –π/2. (ĳ = dLC). (d|Z| = dLC). =0. ĳ = 0. (d|Z| = dR). = π/2. Współczynnik korelacji. Niepewność bezwzględna. Niepewność bezwzględna. (d|Z| = dLC). (ĳ = dLC). oraz niepewność bezwzględna dla kąta j dla j ≠ 0 Zatem macierz wielkości wyjściowych UδY jest teraz określona następująco. U δY = Sδ ⋅U δ X. 4 ⎡ R 4 2 X LC 2 δ LC ⎢ 4 δR + 4 ⎢Z Z ⋅ SδT = ⎢ ⎢X 2 R2 2 2 ⎢ LC δ LC δ − 2 R ⎢Z2 Z ⎣. 2 X LC. Z. 2. 2 δ LC −. R2 Z. 2 δ R2 + δ LC. Niepewności, względne dla modułu impedancji. δ Z2 =. R Z. 4 4. δ R2 +. X. 4 LC 4. Z. 2 δ LC =. δ + δ tg ϕ 2 R. 2 LC. 4. (1 + tg ϕ ) 2. 2. 1+ = δ R2. i niepewność względna dla tangensa kąta j. δ tg 4ϕ δ 2 LC 2 R. (1 + tg ϕ ) 2. 2. (. 2 σ ϕ2 = δ R2 + δ LC. 2. 2 LC 4. )R X Z. =. (. tg ϕ δ + δ 2. (. 2 R. 1 + tg ϕ 2. 2 LC. ). 2. ) =δ. 1+ 2 R. (. 2 δ LC δ R2. 1 + tg 2ϕ. ). 2. tg 2ϕ. ⎤. δ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. gdyż. .. i stąd. Znormalizowana niepewność względna d|Z| i znormalizowana niepewność bezwzględna sj kąta j wynoszą odpowiednio. 2. δZ δR. 2 2 δ LC δ LC 4 ϕ ϕ tg tg 1 + tg 2ϕ σϕ δ R2 δ R2 oraz = δR 1 + tg 2ϕ 1 + tg 2ϕ. 1+ =. Przykłady tych zależności w funkcji kąta fazowego przedstawiono na rysunku 6, a wartości charakterystyczne w punktach osobliwych w tabeli 2.. 65.

(29) &

(30) ' b '_>

(31) > "'

(32) )

(33)

(34) > 'b '"

(35)

(36) > $>;;;. Rys. 7. Współczynnik korelacji ρ|Z|φ w funkcji kąta φ dla δR = 0,1% i δLC = 0,1%, 0,5% oraz 2% Fig. 7. Correlation coefficient ρ|Z|φ as the angle function φ for δR = 0.1% and δLC = 0.1%, 0.5%, 2%. U5 , % . Współczynniki korelacji dla niepewności względnych i bezwzględnych są równe, tj. r|Z|tg = r|Z| i wynoszą. Do pomiarów amplitudy i fazy napięć przemienno-prądowych AC bez obciążania badanego obwodu profesor Włodzimierz Krukowski stworzył przeszło wiek temu kompensator o współrzędnych biegunowych z maszynowym przesuwnikiem fazy [1, 2]. Obecnie takie pomiary realizuje się za pomocą elektronicznych fazoczułych układów pomiarowych, zwanych też woltomierzami wektorowymi. W pracy wyznaczono elementy macierzy kowariancji wielkości wyjściowych. Przedstawiono też wzajemne zależności między niepewnościami bezwzględnymi i względnymi dla obu rodzajów składowych impedancji. Istotne znaczenie mają nie tylko wartości mierzonych bezpośrednio składowych biegunowych |Z| i j, ale i wzajemny stosunek ich niepewności. Z analizy wynika, że nawet gdy niepewności mierzonych bezpośrednio składowych, np. amplitudy i fazy nie są ze sobą skorelowane, to niepewności wyznaczanych z nich składowych, w tym przypadku prostokątnych, już będą skorelowane. Wartość i znak współczynnika korelacji zależy od wartości stosunku niepewności wielkości wejściowych. Wektorowe ujęcie propagacji niepewności dotyczy wszystkich wieloparametrowych pomiarów pośrednich, w tym wyznaczania parametrów układów elektrycznych. Przypadek skorelowanych wielkości wejściowych oraz przykłady pomiarów skojarzonych temperatur, składowych mocy prądu przemiennego, pola magnetycznego i obszar pokrycia 3D autorzy omówili w kwartalniku Pomiary Automatyka Robotyka 2/2018 [7]. Pomiary wielkości skojarzonych występują w szczególności w układach trójfazowych, np. przy przekształceniach trójkąt-gwiazda [8]. Zagadnienia te autorzy przedstawili też w trzech wystąpieniach na Sympozjum Podstawowych Problemów Metrologii PPM 2018 w Szczyrku [8].. i ostatecznie 2 δ LC tg 2ϕ − 1 δ R2. ρZ ϕ =. δ2 δ2 1 + LC2 1 + LC2 tg 4ϕ δR δR. .. Przebiegi wspołczynnika korelacii podano na rysunku 7.. 66. P. O. M. I. A. R. Y. •. A. U. T. O. M. A. T. Y. K. A. •. R. O. B. O. T. Y. K. A. N R 3 /201 8.

(37) $" ` > =

(38)

(39) .

(40) !>

(41) . Y

(42) 1 1. Prace Włodzimierza Krukowskiego. PWN Warszawa 1956, Opracowanie zbiorowe Komisji Polskiej Akademii Nauk w składzie: Przewodniczący J. Groszkowski, vice-przewodniczący A. Metal, członkowie: H. Dziewulski (redaktor naczelny), K. Idaszewski, P. Nowacki i in., sekretarz: M. Nałęcz. 2. Warsza Z.L., Prace profesora Włodzimierza Krukowskiego (1887–1941) w dziedzinie układów pomiarowych i ich rola w rozwoju metrologii elektrycznej. „Pomiary Automatyka Kontrola”, Vol. 58, Nr 1, 2012, 144–153. 3. Evaluation of measurement data – Supplement 2 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” – Extension to any number of output quantities. JCGM 102:2011 BIPM. 4. Warsza Z.L., Ezhela V.V., Wyznaczanie parametrów multimezurandu z pomiarów wieloparametrowych. Część 1 Podstawy teoretyczne – w zarysie, „Pomiary Automatyka Robotyka”, Nr 2, 2011, 55–61.. 5. Warsza Z.L., About evaluation of multivariate measurements results. „Journal of Automation, Mobile Robotics & Intelligent Systems”, Vol. 6, No. 4, 2012, 27–32. 6. Warsza Z.L., Metody rozszerzenia analizy niepewności pomiarów. Monografia. Oficyna Wydawnicza PIAP 2016, ISBN 978-83-61278-31-3. 7. Warsza Z.L., Puchalski J., Estymacja macierzowa niepewności wieloparametrowych pomiarów pośrednich z przykładami, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 22, Nr 2, 2018, 31–39, DOI: 1014313/PAR_228/312. 8. Warsza Z.L., Puchalski J., Estimation of uncertainty of indirect measurement in multi-parametric systems with few examples. Prezentacja ppt. Materiały Sympozjum PPM ’18 Szczyrk 04–06. 05. 2018.. @! ( ( 9 " ( " " ( "" " ( " ! ! Abstract: The paper discusses the estimation of the uncertainties of rectangular components of the impedances determined indirectly from direct measurements of its polar components and vice versa. Patterns and functions for normalized absolute and relative uncertainties of a pair of impedance components determined indirectly from measurements of the remaining pair are given. Their correlation coefficient as a function of the phase angle of the impedance and the uncertainty of the measured pair is also included. The dependencies received were discussed in detail. Keywords " " " " ! "K. + ,+J)* : <

(43)

(44) . ,+E

(45) "

(46) ! ". -0$C+9"% ". % +9"%9 !%. A* 6 @ 9 6 -0D0 E -0CB -0B&% > = @ -0D,;-0C$ -00/;-00D 6 -0C&;B& _ -0B&;-0B, O 9 6 N H "P ?9 >? AE " = M E 9Y 6 -0B,;-0,. A " "8= " " -0,$;-00.%

(47) M@ X -00.;-00D H "-0,$;.&&.%?* 98 " "=E A " "8=A%A $/&* C" 9( * -- 8 E " . 8% 9 N M 9 9 % AH A "M 9#%. A* 6JN E M " O-0,C %P 6 @ E O-0,, %P 6E % 6 -0,B;-00D 6E -00D% * F%' -& *G 9(E " F " FE F % 9 E ( " M J8 F ( %?.&&C% Y8"# M%" " F 9 " 8 " 8 E 9 " * 98" 9 " " " E " %. 67.

(48)