Obliczanie objętości brył obrotowych

Obliczanie objętości brył

obrotowych

Autorzy:

Witold Majdak

Obliczanie objętości brył obrotowych

Obliczanie objętości brył obrotowych

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o objętości bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej

o objętości bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej

zmiennej wokół osi

zmiennej wokół osi

Niech krzywa będzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej Objętość bryły powstałej z obrotu łuku krzywej wokół osi wyraża się wzorem

Rysunek 1: Bryła uzyskana w wyniku obrotu wykresu funkcji wokół osi

OX

Γ

f : [a, b] → R.

V

Γ

OX

V = π

∫

(x)dx.

f

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Korzystając z twierdzenia o objętości bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi obliczymy objętość stożka, którego wysokość jest równa , a promień jego podstawy wynosi . Zauważmy, że stożek ten powstaje z obrotu odcinka o końcach w punktach i ( , ) wokół osi . Ogólnie odcinek łaczący punkty o współrzędnych oraz możemy opisać za pomocą równania

W naszej sytuacji przyjmuje ono postać

Rysunek 2: Stożek, którego objętość obliczamy

Szukaną objętość możemy zatem obliczyć w następujący sposób:

Niech będzie krzywą zadaną parametrycznie:

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o objętości bryły powstałej z obrotu łuku krzywej zadanej w

o objętości bryły powstałej z obrotu łuku krzywej zadanej w

postaci biegunowej

postaci biegunowej

Jeżeli funkcje i mają ciągłe pochodne, funkcja jest rosnąca lub malejąca, a funkcja jest nieujemna, to objętość bryły powstałej z obrotu łuku krzywej wokół osi wyraża się wzorem

OX

h

r

A = (0, 0) B = (h, r) h > 0 r > 0

OX

( , )

x

y

( , )

x

y

y −

y

=

(x − ), gdzie x ∈ [ , ].

x

x

x

y = x, gdzie x ∈ [0, h].

V = π ( x dx = π

∫

dx = π

= π h.

)

∫

x

x

∣∣

r

Γ

Γ = {(x, y) ∈

R

: x = φ(t), y = ψ(t), t ∈ [a, b]}.

x = φ(t) y = ψ(t)

φ

ψ(t) ≥ 0

V

Γ

OX

V = π

∫

(t)| (t)|dt.

ψ

_φ

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Znajdźmy objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi figury zawartej między osiami układu a krzywą

Zauważmy, że tak zadana krzywa położona jest w górnej półpłaszczyźnie oraz przecina osie układu współrzędnych w punktach przy oraz przy . Korzystając z twierdzenia o objętości bryły powstałej z obrotu łuku krzywej zadanej w postaci biegunowej, znajdujemy szukaną objętość

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:54:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=95c2997ee9492454f3def8b637aba601

Autor: Witold Majdak

OX

Γ = {(x, y) ∈

R

: x = − 1, y =

_t

_√

_t

, t ≥ 0}.

Γ

OXY

(−1, 0)

t = 0

(0, 1)

t = 1

V = π (

∫

|2t| dt = π 2 dt = π

= π.

t

√ )

_∫

t

t

∣∣