Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.
Zastosowania.
I. Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej (zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich)
Je»eli funkcja podcaªkowa f jest nieujemna, to caªk¦ oznaczon¡ Rb
a
f (x)dx interpretujemy jako pole P obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b (patrz Rysunek 1 a)):
P =
b
Z
a
f (x)dx, je»eli f(x) ≥ 0 dla x ∈ [a, b].
a) b)
Rysunek 1: Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej.
Je»eli funkcja f jest niedodatnia na przedziale [a, b], to pole P obszaru pªaskiego ograniczo- nego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b równe jest −Rb
a
f (x)dx (patrz Rysunek 1 b)).
P = −
b
Z
a
f (x)dx, je»eli f(x) ≤ 0 dla x ∈ [a, b].
Je»eli funkcja f na przedziale [a, b] zmienia znak, to pole P obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b równe jest sumie pól poªo»onych powy»ej osi Ox i poni»ej osi (patrz rysunek 2a), gdzie:
P = P1+ P2+ P3 =
c
Z
a
f (x)dx −
d
Z
c
f (x)dx +
b
Z
d
f (x)dx.
a) b)
Rysunek 2: Zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich.
Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza,
»e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b (patrz rysunek 2b) wyra»a si¦ wzorem:
P =
b
Z
a
[f (x) − g(x)]dx.
II. Dalsze zastosowania caªki oznaczonej
1. Pole obszaru pªaskiego w obszarze biegunowym:
Je»eli w ukªadzie biegunowym jest dana krzywa r = f(ω), ω ∈ [α, β] przy czym funkcja f(ω) jest ci¡gªa w [α, β] i dodatnia w (α, β), to pole obszaru pªaskiego ograniczonego funkcj¡ r = f(ω) oraz promieniami wodz¡cymi f(α) i r(β) (patrz rysunek 3a) wyra»a si¦ wzorem:
P = 1 2
β
Z
α
f2(ω)dω.
a) b)
Rysunek 3: a) pole obszaru pªaskiego w obszarze biegunowym b) dªugo±¢ ªuku.
2. Pole obszaru pªaskiego we wspóªrz¦dnych parametrycznych:
Pole obszaru ograniczonego ªukiem danej krzywej w postaci parametrycznej:
(x = x(t),
odcinkiem osi Ox oraz dwiema prostymi x = x(t1), x = x(t2) wyra»a si¦ wzorem:
P =
t2
Z
t1
|y(t)x0(t)|dt,
gdzie funkcje x0(t), y(t)s¡ ci¡gªe, x(t) jest monotoniczna, a y(t) jest staªego znaku w przedziale [t1, t2].
3. Dªugo±¢ krzywej:
Dªugo±¢ krzywej Γ : y = f(x) dla x ∈ [a, b] (patrz rysunek 4b) wyra»a si¦ wzorem:
|Γ| =
b
Z
a
p1 + (f0(x))2dx.
Dªugo±¢ krzywej wyra»onej w postaci biegunowej r = f(ω) dla α ≤ ω ≤ β (patrz rysunek 4a) wyra»a si¦ wzorem:
|Γ| =
β
Z
α
s
r2+ dr dω
2
dω.
Dªugo±¢ ªuku krzywej pªaskiej danej równaniami parametrycznymi:
(x = x(t),
y = y(t), gdzie t ∈ [t1, t2] wyra»a si¦ wzorem:
|Γ| =
t2
Z
t1
px02(t) + y02(t)dt,
gdzie funkcje x(t), y(t) ∈ C1([t1, t2]) oraz x02(t) + y02(t) > 0 dla ka»dego t ∈ [t1, t2].
4. Obj¦to±¢ bryª obrotowych:
Obj¦to±¢ V bryªy powstaªej z:
a) obrotu wokóª osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (rysunek 5a) wyra»a si¦ wzorem:
V = π
b
Z
a
f2(x)dx,
b) obrotu wokóª osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (innymi sªowy obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu obszaru "pod krzyw¡"y = f(x)) (rysunek 5b) wyra»a si¦ wzorem:
V = 2π
b
Z
a
xf (x)dx.
c) obrotu wokóª osi Ox ªuku danej krzywej w postaci parametrycznej (x = x(t),
y = y(t), gdzie t ∈ [t1, t2] wyra»a si¦ wzorem:
V = π
t2
Z
t1
y2(t)|x0(t)|dt,
gdzie x0(t), y(t) ∈ C([a, b]), ponadto funkcja x(t) jest w tym przedziale stale monotoniczna (x0(t) jest staªego znaku), a funkcja y(t) przybiera warto±ci nieujemne.
a) b)
Rysunek 4: Obj¦to±¢ bryª powstaªych z obrotu f(x) wokóª: a) osi Ox b) Osi Oy.
5. Pole powierzchni bryª obrotowych:
Pole powierzchni powstaªej z obrotu:
a) wokóª osi Ox wykresu funkcji f(x) dla a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem:
P = 2π
b
Z
a
f (x)p
1 + (f0(x))2dx,
b) wokóª osi Oy wykresu funkcji f(x) dla 0 ≤ a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem:
P = 2π
b
Z
a
xp
1 + (f0(x))2dx.
c) obrotu wokóª osi Ox ªuku danej krzywej w postaci parametrycznej (x = x(t),
y = y(t), gdzie t ∈ [t1, t2]
a) b)
Rysunek 5: Pole powierzchni bryª powstaªych z obrotu f(x) wokóª: a) osi Ox b) Osi Oy.
wyra»a si¦ wzorem:
P = 2π
t2
Z
t1
|y(t)|p
x02(t) + y02(t)dt,
gdzie x0(t), y0(t) ∈ C([a, b]).
III. Twierdzenia o warto±ci ±redniej
Twierdzenie 1. (twierdzenie o warto±ci ±redniej)
Niech funkcja f(x) b¦dzie caªkowalna w przedziale [a, b] oraz dla ka»dego x z przedziaªu [a, b] jest speªniona nierówno±¢ m ≤ f(x) ≤ M. Wówczas istnieje liczba µ ∈ [m, M] taka, »e:
b
Z
a
f (x)dx = µ(b − a). (1)
Twierdzenie 2. (uogólnione twierdzenie o warto±ci ±redniej)
Niech funkcja f(x) b¦dzie caªkowalna w przedziale [a, b] oraz dla ka»dego x z przedziaªu [a, b] jest speªniona nierówno±¢ m ≤ f(x) ≤ M. Ponadto, niech funkcja g(x) ma staªy znak w przedziale [a, b]
(nieujemna lub niedodatnia). Wówczas istnieje liczba µ ∈ [m, M] taka, »e:
b
Z
a
f (x)g(x)dx = µ
b
Z
a
g(x)dx. (2)
Twierdzenie 3. (II-gie twierdzenie o warto±ci ±redniej)
Niech funkcje f(x), g(x) b¦d¡ caªkowalne na przedziale [a, b] oraz funkcja g(x) b¦dzie monotoniczna.
Wówczas istnieje liczba ξ ∈ [a, b] taka, »e::
b
Z
a
f (x)g(x)dx = g(a)
ξ
Z
a
f (x)dx + g(b)
b
Z
ξ
f (x)dx. (3)
De nicja 4. Niech funkcja f(x) b¦dzie caªkowalna na przedziale [a, b], to funkcj¦:
F (x) =
x
Z
a
f (t)dt, dla x ∈ [a, b]
okre±lon¡ na przedziale [a, b] nazywa¢ b¦dziemy funkcj¡ górnej granicy caªkowania.
Twierdzenie 5. Niech dla ka»dego x funkcja f jest ci¡gªa na przedziale [a(t), b(t)], gdzie a(t), b(t) to funkcje klasy C1. Wówczas:
d dx
b(x)
Z
a(x)
f (t)dt = b0(x) · f b(x) − a0(x) · f a(x). (4)
Zadania
1. Korzystaj¡c z interpretacji caªki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego:
a) y = ln x, x = e, y = 0; b) y = x2− 6x + 5, y = 5 − x;
c) y = x2, y = 2x2, y = 8, x ≥ 0; d) y = x3− x2− x, y = x;
e) y = x3, y = 4x2− 3x; f) y2 = 4 + x, y2+ x = 2;
g) y = x2 − x − 6, y = −x2+ 5x + 14; h) y = x√1ln x, y = 0, x ∈ (1, e];
i) y2 = x2(4 − x2); j) y = 1+x1 2, x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Oblicz pole gury ograniczonej parabol¡ y = x2+ 4x + 9 i stycznymi do niej poprowadzonymi w punktach o odci¦tych −3 i 0.
3. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzyw¡ o równaniu biegunowym r = f(ω) oraz promieniami wodz¡cymi r(α) i r(β) :
a) f(ω) = 3 − cos 2ω, α = 0, β = π2; b) f(ω) = 2√
cos2ω, α = 0, β = π4. 4. Oblicz pole obszaru ograniczonego przez kardioid¦ o równaniu: f(ω) = r(ω) = 1 + cos ω.
5. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzyw¡ w postaci parametrycznej a) x(t) = t2, y(t) = t − 13t3; gdzie t ∈ [0,√
3];
b) x(t) = 5 sin2t, y = 4 cos2t; a osiami Ox i Oy;
c) pole p¦tli krzywej x(t) = 2t − t2, y = 2t2− t3. 6. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej:
a) y = 12x2− 14ln x dla 1 ≤ x ≤ e; b) y = ln(cos x) dla 0 ≤ x ≤ π3; c) y = 12(ex+ e−x) dla 0 ≤ x ≤ 1; d) y = (4 − x23)32 dla 1 ≤ x ≤ 8.
7. Oblicz obwód kardioidy okre±lonej w postaci biegunowej: f(ω) = 2 − 2 sin ω.
8. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej okre±lonej w postaci parametrycznej:
a) x(t) = t2y(t) = 13t3, t ∈ [0,√ 3];
b) x(t) = 2(cos t + t sin t), y(t) = 2(sin t − t cos t), t ∈ [0,√ 2].
9. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi OX, gdzie N : a) y = 2x − x2, y = 0; b) y = x√2− 4x, y = 0;
10. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi Oy : a) N : 0 ≤ y ≤ tg x2, 0 ≤ x ≤ pπ
3; b) N : y2 = 4 − x, x = 0.
11. Oblicz obj¦to±¢:
a) kuli o promieniu R; b) elipsoidy obrotowej.
12. Znale¹¢ obj¦to±¢ cz¦±ci wspólnej kuli x2+ y2+ z2 = R2 i sto»ka x2 = y2+ z2, gdzie x ≥ 0.
13. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu jednego ªuku cykloidy x(t) = t − sin t, y(t) = 1− cos t wokóª osi Ox.
14. Oblicz pole powierzchni powstaªej z obrotu funkcji:
a) y = ln x dla 1 ≤ x ≤√
3wokóª osi Oy; b) y = 6x dla 0 ≤ x ≤ 1 wokóª osi Ox;
c) y = sin x dla 0 ≤ x ≤ π wokóª osi Ox; d) y = √
25 − x2 dla − 2 ≤ x ≤ 3wokóª osi Ox.
15. Oblicz pole powierzchni:
a) kuli o promieniu R; b) bocznej sto»ka o promieniu r i wysoko±ci h.
16. Korzystaj¡c z de nicji caªki oznaczonej wyznacz granice:
(a) lim
n→∞
1
n+1+ n+21 + · · · + n+n1 ; (b) lim
n→∞
1 n
sinπn+ sin2πn + · · · + sin(n−1)πn
; (c) lim
n→∞
3 n√
n
√3 + n +√
6 + n + · · · +√
3n + n ;(d) lim
n→∞
√ 1
4n2−12 + √ 1
4n2−22 + · · · + √ 1
4n2−n2
. 17. Wyznacz pochodn¡ funkcji f(x) :
(a) f(x) =
√3
x
R
0
cos t3dt; (b) f(x) = ln(2+sin x)
R
−x2 et
|t|+1dt; (c) f(x) =
√x
R
x
e−t3dt, x ∈ [0, +∞).
18. Oblicz granice:
(a) lim
x→0 Rx
0 cos t2dt
x ; (b) lim
x→∞
Rx 0 et2dt2
Rx
0 e2t2dt ; (c) lim
x→0+ Rsin x
0
√tg tdt Rtg x
0
√ sin tdt. 19. Wyznacz ekstrema funkcji:
f (x) :=
x
Z
0
et2(t2 − 3t + 2)dt.
20. Niech funkcja f ∈ C([0, +∞)) b¦dzie rosn¡ca na przedziale [0, +∞). Poka», »e funkcja:
g(x) := 1 x
x
Z
0
f (t)dt
jest rosn¡ca na (0, +∞).
21. Znajd¹ funkcj¦ f ∈ C([0, +∞)), która dla ka»dego x > 0 speªnia warunek:
sin
x
Z
0
f (t)dt
= x
1 + x.
22. Znajd¹ funkcj¦ f(x), o ile
f0(ln x) =
(1 dla x ∈ (0, 1]
x dla x ∈ (1, +∞) ponadto f(0) = 0.
23. Znajd¹ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f(x) =Rx
0 2t+1
t2−2t+2dt na przedziale [−1, 1].
24. Wyznacz funkcj¦ górnej granicy caªkowania dla f(x) =
(x − 2 dla x ∈ [0, 2]
2x − 4 dla x ∈ (2, 3] na przedziale [0, 3].
25. Oblicz ±redni¡ warto±¢ funkcji f(x) =√
x na przedziale [0, 100].
26. Korzystaj¡c z twierdze« o warto±ci ±redniej, wyka» nierówno±ci:
(a) 163 <
4
R
1
√
1+sin2x
x2 dx < 3√
2; (b) 34 <
4
R
1
√
1+sin2x
x2 dx < 3
√2 4 ; (c) 4(e−1)9 <
1
R
0 ex
2+x−x2dx < e−12 ; (d) sin 1 < R1
−1 cos x
1+x2dx < 2 sin 1;
(e) 13 <
1
R
0
x2exdx < e3.
27. Niech funkcja f ∈ C([−a, a]). Udowodnij:
a) je»eli f jest parzysta na [−a, a], to
a
Z
−a
f (x)dx = 2
a
Z
0
f (x)dx;
a) je»eli f jest nieparzysta na [−a, a], to
a
Z
−a
f (x)dx = 0.
28. Niech funkcja f ∈ C([−a, a]). Wyznacz warto±¢ caªki: Ra
−a
[f (x) − f (−x)] dx.
29. Nie obliczaj¡c rozstrygnij, która z warto±ci jest wi¦ksza.
(a)
π
R2
0
sin3xdx czy
π
R2
0
sin7xdx; (b)
π
R2
0
sin xdx czy Rπ
0
sin xdx;
(c) Rπ
0
sin xdx czy
3 2π
R
0
sin xdx; (d) R1
−1 x3
√4
x2+1dx czy 1.
