Odporna stabilność ciągłych układów ułamkowych rzędu współmiernego o funkcji charakterystycznej zależnej liniowo od niepewnych parametrów / PAR 2/2009 / 2009 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

Prof. dr hab. in
. Mikoaj Busowicz

Politechnika Biaostocka, Wydzia Elektryczny Mgr in
. Tomasz Kalinowski

Studium Doktoranckie, Wydzia Elektryczny PB

ODPORNA STABILNO
 CIGYCH UKADÓW UAMKOWEGO

RZDU WSPÓMIERNEGO O FUNKCJI CHARAKTERYSTYCZNEJ

ZALENEJ LINIOWO OD NIEPEWNYCH PARAMETRÓW

ROBUST STABILITY OF CONTINUOUS-TIME FRACTIONAL SYSTEMS OF COMMENSURATE ORDER WITH CHARACTERISTIC FUNCTION LINEARLY DEPENDENT ON UNCERTAIN PARAMETERS The problem of robust stability of linear continuous-time fractional order systems of commensurate order with characteristic polynomial linearly dependent on un-certain parameters is considered. It is shown that the Edge Theorem known from the theory of robust stability of families of natural degree characteristic polyno-mials can be used to robust stability analysis of the systems. Computer method for checking of the conditions of this theorem is given. The considerations are illu-strated by numerical example.

1. WSTP

W ostatnich latach teoria analizy i syntezy liniowych ukadów uamkowego rzdu jest inten-sywnie rozwijana w literaturze wiatowej, patrz np. monografie [12, 17, 21-22] i cytowan tam literatur. Problem badania stabilnoci oraz odpornej stabilnoci liniowych ukadów uamkowych by rozpatrywany w pracach [7-11, 13-15, 23]. Nowa klasa ukadów uamko-wych, a mianowicie dodatnie ukady uamkowego rzdu, bya rozpatrywana w [18-20]. W niniejszej pracy zostanie rozpatrzony problem badania odpornej stabilnoci liniowego ci-gego ukadu uamkowego rzdu wspómiernego, którego funkcja charakterystyczna (bdca wielomianem uamkowego stopnia wspómiernego) zale
y liniowo od niepewnych parame-trów. Problem ten w przypadku ukadów o wielomianach charakterystycznych naturalnego stopnia by tematem wielu publikacji (patrz np. [3] oraz monografie [1, 2, 4-6]). Wedug wie-dzy autorów wy
ej wymieniony problem w przypadku wielomianów charakterystycznych stopnia uamkowego nie by dotychczas rozpatrywany w literaturze.

W pracy zostanie pokazane,
e do badania odpornej stabilnoci rozpatrywanych ukadów uamkowych o niepewnych parametrach mo
na stosowa tzw. twierdzenie krawdziowe (znane z teorii odpornej stabilnoci ukadów o wielomianach charakterystycznych stopnia naturalnego) oraz zostan podane czstotliwociowe metody su
ce do sprawdzania warun-ków tego twierdzenia.

2. WPROWADZENIE

Wemy pod uwag liniowy ukad dynamiczny uamkowego rzdu wspómiernego, którego wielomian charakterystyczny o rzeczywistych wspóczynnikach ma posta

w s( ) a s_n Dna_n1sD(n1) ... a s₁ Da₀, (1) przy czym D ( , ]0 1 jest liczb rzeczywist dodatni.

Podstawiajc O s w (1) otrzymamy wielomian naturalnego stopnia stowarzyszony D z wielomianem uamkowym (1), o postaci

~( ) ... .

w O a_nOna_n1On1 a₁Oa₀ (2)

Uwzgldniajc rezultaty literaturowe (omówione np. w [8]) warunek stabilnoci rozpatrywa-nego ukadu mo
emy sformuowa w postaci jak ni
ej.

Twierdzenie 1. Uamkowy ukad dynamiczny, którego wielomian charakterystyczny ma

po-sta (1) jest stabilny (w sensie ograniczone wejcie – ograniczone wyjcie) wtedy i tylko wte-dy, gdy wszystkie zera wielomianu (1) maj ujemne czci rzeczywiste, tzn.

w s( )z 0 dla Rest 0, (3)

lub równowa
nie, gdy wszystkie zera O stowarzyszonego wielomianu (2) speniaj warunek |arg |O D S! ,

2 (4)

czyli le
 w otwartym obszarze stabilnoci pokazanym na rys. 1 przy D ( , ].0 1

0 0 R e O Im O DS / 2 DS / 2 obszar stabilnoci granica obszaru stabilnoci

Rys. 1. Obszar stabilnoci na paszczynie zespolonej O s przy 0D  dD 1

Wielomian (1) speniajcy warunek (3) bdziemy nazywa stabilnym wielomianem uamko-wym. Natomiast stowarzyszony wielomian naturalnego stopnia (2), którego zera speniaj warunek (4), bdziemy nazywa wielomianem D-stabilnym, przy czym D jest obszarem sta-bilnoci pokazany na rys. 1. Jego brzegiem jest linia amana o opisie parametrycznym

(jZ)D | |ZDejDS/2, Z  f f( , ). (5)

Je
eli D 1, to (5) staje si opisem parametrycznym osi urojonej paszczyzny zmiennej ze-spolonej, czyli obszar D przy D 1 redukuje si do otwartej lewej pópaszczyzny.

Twierdzenie 2 [8]. Wielomian uamkowy (1) jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy przy Z zmieniajcym si od f do f wykres funkcji \ Z(j ) nie okr
a pocztku paszczyzny zmiennej zespolonej ani te
nie przechodzi przez niego, gdzie

\( ) ( )

( ),

s w s

w_od s (6)

przy czym w s( ) ma posta (1) za w_od( ) jest stabilnym wielomianem odniesienia uamko-s

wego stopnia równego stopniowi wielomianu (1).

2. SFORMUOWANIE PROBLEMU

Rozpatrzmy liniowy ukad dynamiczny uamkowego rzdu wspómiernego, którego wielo-mian charakterystyczny o wspóczynnikach liniowo zale
nych od niepewnych parametrów ma posta w s a_i s Q i n i ( , )q ¦ ( )q , q , 0 D ₍₇₎

gdzie D ( , ],0 1 q [ , ,..., ]q q_{1 2} q_m T jest wektorem odchyek q_k (k 1,2,...,m) niepewnych parametrów od ich wartoci nominalnych, m jest liczb niepewnych parametrów,

a_i q a_k a i n k m ik i ( )q ¦  , , ,..., , 1 0 0 1 (8)

s to liniowe cige funkcje swoich argumentów ( a_ik s to znane wspóczynniki), za

Q { :q q_k [b c_k, _k],b_k d0,c_k t0,k 1 2, ,..., }m (9) jest zbiorem wartoci odchyek niepewnych parametrów od ich wartoci nominalnych.

Bdziemy zakada,
e wielomian (7) jest staego stopnia (tj.  q Q ma on stopie nD) i nie zmniejszajc ogólnoci rozwa
a przyjmijmy,
e a_n( )q ! 0 dla ka
dego q Q.

Wielomian (7) o wspóczynnikach liniowo zale
nych od niepewnych parametrów mo
na na-pisa w postaci w s( , )q w s₀( )q w s_{1 1}( ) ... q w_{m m}( ),s qQ, (10) gdzie w s_k a s_ik i n i ( ) ¦ , 0 D _{k 0 1, ,..., , (11) m}

s to znane wielomiany, przy czym w s₀( ) w s( , )0 jest stabilnym wielomianem nominalnym stopnia nD.

Na podstawie teorii odpornej stabilnoci cigych ukadów dynamicznych naturalnego rzdu o niepewnych parametrach mo
emy sformuowa nastpujc definicj oraz twierdzenie.

Definicja 1. Uamkowy ukad dynamiczny o wielomianie charakterystycznym (7) nazywamy odpornie stabilnym, je
eli jest on stabilny dla ka
dej ustalonej wartoci qQ.

Twierdzenie 3. Uamkowy ukad dynamiczny, którego wielomian charakterystyczny ma po-sta (7) jest odpornie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego wielomian charakterystyczny (7) uamkowego stopnia jest stabilny dla ka
dego qQ, tzn. jest speniony warunek

w s( , )q z 0 dla Rest 0, qQ. (12)

Zadanie badania odpornej stabilnoci ukadu uamkowego o wielomianie charakterystycznym (7) jest równowa
ne z problemem badania odpornej stabilnoci rodziny wielomianów

W s( , )q { ( , ):w s q qQ}, (13)

przy czym wielomian uamkowy w s( , )q ma posta (7) lub równowa
n posta (10).

Celem pracy jest podanie komputerowych metod badania odpornej stabilnoci ukadu uam-kowego o wielomianie charakterystycznym (7). Poniewa
odporna stabilno tego ukadu jest równowa
na z odporn stabilnoci rodziny wielomianów (13), podane metody bd bezpo-rednio dotyczyy uamkowej rodziny wielomianów (13) o liniowej strukturze niepewnoci.

3. ROZWIZANIE PROBLEMU

Podstawiajc O s w wielomianie (7) otrzymamy stowarzyszon rodzin wielomianów D naturalnego stopnia ~ ( , ) {~( , ): }, W O Q w O q qQ (14) gdzie ~( , ) ( ) , , w a_i Q i n i O q ¦ q O q 0 (15)

przy czym wspóczynniki a_i( )q o postaci (8) zale
 liniowo od niepewnych parametrów. Wielomian (15) naturalnego stopnia bdziemy nazywa wielomianem stowarzyszonym z wie-lomianem uamkowym (8).

Definicja 2. Rodzin wielomianów (14) naturalnego stopnia nazywamy odpornie D-stabiln, je
eli dla ka
dego ustalonego qQ wszystkie zera wielomianu (15) speniaj warunek (4), tzn. le
 w otwartym obszarze D pokazanym na rys. 1, którego brzeg ma opis parametryczny (5).

Z definicji 2 i twierdzenia 1 wynika bezporednio nastpujce twierdzenie.

Twierdzenie 4. Rodzina wielomianów (13) uamkowego stopnia jest odpornie stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy stowarzyszona rodzina wielomianów (14) naturalnego stopnia jest odpor-nie D-stabilna.

Metody badania odpornej stabilnoci i odpornej D-stabilnoci (przy odpowiednio zdefinio-wanych obszarach D) rodziny wielomianów (14) naturalnego stopnia zostay szczegóowo przedstawione w monografii [6]. S to metody czstotliwociowe bazujce na tzw. warunku wykluczenia zera. W teorii odpornej stabilnoci rodzin wielomianów charakterystycznych naturalnego stopnia o wspóczynnikach liniowo zale
nych od niepewnych parametrów fun-damentalne znaczenie ma twierdzenie sformuowane i udowodnione w pracy [3], które pó-niej zostao nazwane twierdzeniem krawdziowym (ang. Edge Theorem). Twierdzenie to jest podane np. w monografiach [1, 2, 4–6]. Polska nazwa „twierdzenie krawdziowe" zostaa zaproponowana w pracy [6].

Z twierdzenia 4 wynika,
e do badania odpornej stabilnoci rodziny (13) wielomianów uam-kowego stopnia mo
na stosowa te same metody, które stosuje si do badania odpornej D-stabilnoci rodziny wielomianów (14) naturalnego stopnia. Mo
na zatem stosowa twier-dzenie krawdziowe.

Zanim sformuujemy twierdzenie krawdziowe, najpierw podamy (uwzgldniajc prac [6]) niezbdne wprowadzenie.

Zbiór Q zdefiniowany wzorem (9) jest m-wymiarowym prostopadocianem. Ma on K 2m wierzchoków i L m2m1 krawdzi. Oznaczmy przez q_k [ , ,..., ]q q₁k ₂k q_mk T, gdzie q_ik b_i lub q_ik c_i, i 1 2, ,..., ,m k-ty wierzchoek zbioru Q. Ka
demu wierzchokowi q_k,

k 1 2, ,..., , zbioru Q odpowiada w zbiorze wielomianów (7) tzw. wielomian wierzchoko-K

wy p s_k w s _k a_i s i n k i ( ) ( ,q ) ¦ (q ) . 0 (16) Ka
dej krawdzi qrk( )E (1 E)qr Eqk, E[ , ],0 1 (17)

zbioru Q, bdcej odcinkiem linii prostej czcym wierzchoki q_r i q_k, w zbiorze wielomia-nów (7) odpowiada tzw. wielomian krawdziowy o postaci

p_rk( , )sE (1 E)p s_r( )Ep s_k( ), E[ , ],0 1 (18) gdzie p s_r( ) i p s_k( ) s to wielomiany wierzchokowe (16), odpowiadajce wierzchokom q_r i q_k zbioru Q, odpowiednio.

Uwzgldniajc teori odpornej stabilnoci rodziny wielomianów naturalnego stopnia o wspóczynnikach zale
nych liniowo od niepewnych parametrów oraz twierdzenie 4 mo
emy sformuowa poni
sze twierdzenie, bdce uogólnieniem twierdzenia krawdziowego na kla-s rozpatrywanych ukadów uamkowych o niepewnych parametrach.

Twierdzenie 5 (twierdzenie krawdziowe). Niech wielomian nominalny w s₀( ) rodziny wie-lomianów (13) bdzie stabilny. Rodzina (13) wiewie-lomianów uamkowych staego stopnia o wspóczynnikach liniowo zale
nych od niepewnych parametrów jest odpornie stabilna wte-dy i tylko wtewte-dy, gwte-dy s odpornie stabilne wszystkie jej wielomiany krawdziowe p_rk( , )sE ,

odpowiadajce poszczególnym krawdziom zbioru Q.

Twierdzenie krawdziowe 5 sprowadza zadanie badania odpornej stabilnoci rodziny wielo-mianów (13) do badania odpornej stabilnoci skoczonej liczby wielowielo-mianów krawdzio-wych, których jest L m2m1. Zauwa
my,
e ka
dy wielomian krawdziowy (18) jest wypu-k kombinacj odpowiednich dwóch wielomianów wierzchokowych.

Metody badania odpornej stabilnoci wielomianów krawdziowych s podane w pracy [6] w przypadku wielomianów naturalnego stopnia. Natomiast dogodna do oblicze komputero-wych metoda badania odpornej stabilnoci wypukej kombinacji dwóch wielomianów stopnia uamkowego jest podana w pracy [11]. Na bazie tej pracy mo
na sformuowa poni
sze twierdzenie oraz lemat.

Wemy pod uwag wielomian krawdziowy p_rk( , ),s E E  0 1 o postaci (18) i zaó
my,
e[ , ], wielomian wierzchokowy p s_r( ) jest stabilny.

Twierdzenie 6. Niech wielomian wierzchokowy p s_r( ) bdzie stabilny. Wielomian kraw-dziowy (18) jest odpornie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji

-rk(jZ) pk(jZ) / pr(jZ), Z  f f: ( , ), (19) nie przecina póosi rzeczywistej (f 0, ].

atwo zauwa
y,
e na paszczynie zmiennej zespolonej wykres funkcji (19) rozpoczyna si (przy Z f) i koczy (przy Z f ) w punkcie -rk(r f przy czym przy Z 0 prze-j ), chodzi on przez punkt -_pr( ),0 gdzie

-rk k r k r p p a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 0 0 q q lim ( ) ( ) ( ), Zorf-rk Z n k n r j a a q q (20)

przy czym wspóczynniki wystpujce w licznikach i mianownikach wzorów (20) oblicza si ze wzoru (8) dla q q_k oraz q q_r odpowiednio.

Lemat 1. Niech wielomian wierzchokowy p s_r( ) bdzie stabilny. Wielomian krawdziowy (18) nie jest odpornie stabilny, je
eli

a a k r 0 0 0 ( ) ( ) q q d lub a a n k n r ( ) ( ) . q q d 0 (21)

Z twierdzenia krawdziowego 5 i z twierdzenia 6 wynika poni
szy lemat.

Lemat 2. Rodzina (13) wielomianów uamkowych staego stopnia o wspóczynnikach linio-wo zale
nych od niepewnych parametrów jest odpornie stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy s spenione dwa poni
sze warunki:

1) wszystkie wielomiany wierzchokowe p s_k( ), k 1 2, ,...,K 2m s stabilne,

2) ka
dy z L m2m1 wykresów funkcji -_rk(jZ) p_k(jZ) / p_r(jZ), Z  f f: ( , ), sporzdzonych oddzielnie dla ka
dego wielomianu krawdziowego (18), nie przecina pó-osi rzeczywistej (f 0, ].

Z powy
szych rozwa
a wynika nastpujcy algorytm postpowania przy badaniu odpornej stabilnoci rodziny (13) wielomianów uamkowych.

Algorytm postpowania:

Krok 1. Wyznaczamy wszystkie wierzchoki q_k, k 1 2, ,...,K 2m, zbioru Q i pary tych wierzchoków (q_r, q_k), r k, 1 2, ,...,K (rzk), tworzcych krawdzie zbioru Q.

Krok 2. Wyznaczamy wielomiany wierzchokowe p s_k( ) w s( ,q (16) odpowiadajce po-_k) szczególnym wierzchokom q_k, k 1 2, ,...,K 2m, zbioru Q oraz pary tych wielomianów tworzce wielomiany krawdziowe p_rk( , )sE (18).

Krok 3. Stosujc twierdzenie 2 sprawdzamy stabilno jednego z wielomianów wierzchoko-wych, np. p s₁( ) w s( ,q odpowiadajcy pierwszemu (dowolnie wybranemu) wierzchoko-₁) wi zbioru Q. Je
eli nie jest on stabilny, to rodzina wielomianów (13) nie jest odpornie stabil-na. Je
eli jest on stabilny, to przechodzimy do nastpnego kroku.

Krok 4. Stosujc twierdzenie 6 badamy odporn stabilno wielomianu krawdziowego

p_rk( , )s E przy r 1 i dowolnym k, przy czym q_1k( )E jest krawdzi zbioru Q, a nastpnie badamy odporn stabilno wszystkich pozostaych wielomianów krawdziowych poczynajc od p_{k k, 1}( , ).sE Nale
y przy tym pamita, aby przed badaniem stabilnoci wielomianu

kra-wdziowego p_rk( , )s E mie zbadan stabilno wielomianu krawdziowego p s_ir( , ),E i rz . Je
eli jest on odpornie stabilny, to jest te
stabilny wielomian wierzchokowy p s_r( ). Je
eli przynajmniej jeden z wielomianów krawdziowych nie jest odpornie stabilny, to rodzina wie-lomianów (13) nie jest odpornie stabilna. W przypadku przeciwnym rodzina (13) jest odpor-nie stabilna, zgododpor-nie z twierdzeodpor-niem krawdziowym 5.

5. PRZYKAD

Wemy pod uwag analizowany w pracach [24, 17, 10] ukad regulacji automatycznej zo
o-ny z uamkowego obiektu o transmitancji

G s s s M s 0 _{2 2 0 9} 0 1 0 8 0 5 1 1 ( ) . .  . .  ( ) (22)

i szeregowego uamkowego regulatora PD o transmitancji

C s( ) 20 5 3 7343.  . s115. , (23) objtych ptl ujemnego sprz
enia zwrotnego.

Wielomian charakterystyczny rozpatrywanego ukadu regulacji ma posta

w s₀( ) M s₀( )C s( ) 0 8. s2 2. 3 7343. s115. 0 5. s0 9. 215. . (24) Stosujc podstawienie D 1 20/ i O sD s1 20/ w (24) otrzymamy stowarzyszony

wielo-mian naturalnego stopnia

. 5 . 21 5 . 0 7343 . 3 8 . 0 ) ( ~ 44 23 18 0 O O  O  O  w (25)

Przyjmijmy,
e mianownik transmitancji (22) nie jest dokadnie znany, przy czym

M s₀( , )q M s₀( )q w s_{1 1}( )q w s_{2 2}( ), (26) gdzie

w s₁( ) 0 1. s2 2. 0 25. , w s₂( ) 0 2. s0 9. 0 1. , (27) Q {q [ ,q q_{1 2}] :T q₁ [ 0 5 1. , ],q₂ [ 0 4 1. , ]}. (28) Nale
y zada odporn stabilno rozpatrywanego ukadu regulacji w przypadku, gdy

transmi-tancja (22) obiektu nie jest dokadnie znana, przy czym jej mianownik zale
y liniowo od nie-pewnych parametrów i ma posta (26).

Postawiony problem jest równowa
ny z badaniem odpornej stabilnoci rodziny wielomianów charakterystycznych

w s( , )q M s₀( , )q C s( ) w s₀( )q w s_{1 1}( )q w s_{2 2}( ), qQ, (29) przy czym wielomian w s₀( ) oraz wielomiany w s₁( ) i w s₂( ) maj postaci (24) i (27),

odpo-wiednio za zbiór Q jest zdefiniowany zale
noci (28).

Do badania odpornej stabilnoci rodziny wielomianów (29) zastosujemy podany powy
ej algorytm postpowania.

Krok 1. Zbiór (28) jest prostoktem na paszczynie (q₁,q₂) o wierzchokach q1 0 5 0 4   ª ¬ « _.. º_¼», q₂ 1 1 ª ¬ « º_¼», q3 0 5 1  ª ¬ « . º_¼», q₁ 1 0 4  ª ¬ « _. º_¼». (30)

Krawdzie zbioru (28) tworz pary wierzchoków o indeksach (1,3), (3,2), (2,4) i (1,4). Krok 2. Wielomiany wierzchokowe odpowiadajce poszczególnym wierzchokom (30) zbio-ru (28) wyznacza si ze wzorów

Wielomianami krawdziowymi s wielomian p_rk( , )sE o postaci (18), przy czym ( , )r k (1,

3), (3, 2), (2, 4) i (1, 4).

Krok 3. Stosujc twierdzenie 2 sprawdzamy stabilno wielomianu wierzchokowego p s₁( ). Za wielomian odniesienia w_od( ) przyjmujemy wielomian s w s₀( ) o postaci (24). Jest on sta-bilny [10].

Wykres funkcji \ Z(j ), przy czym \( )s p s₁( ) /w s₀( ), jest pokazany na rys. 2. Z rys. 2 wynika,
e nie obejmuje on pocztku ukadu wspórzdnych. Oznacza to, zgodnie z twierdze-niem 2,
e wielomian p s₁( ) jest stabilny.

0.5 1.2 -0.6 0 0.6 R e Im

Rys. 2. Wykres funkcji \( )s p s₁( ) /w s₀( ) przy s Z, Z  j [ 20 20 , ]

Krok 4. Wyznaczajc wykresy funkcji -_rk(jZ) p_k(jZ) / p_r(jZ) dla Z  [ 20 20 , ] i ( , )r k (1,3), (3,2), (2,4) i (1,4) otrzymamy przebiegi pokazane na rys. 2.

aden z wykresów pokazanych na rys. 3 nie obejmuje pocztku ukadu wspórzdnych. Z twierdzenia 6 wynika zatem,
e wszystkie wielomiany krawdziowe s odpornie stabilne. Oznacza to z kolei, zgodnie z twierdzeniem krawdziowym 5,
e rozpatrywany ukad regula-cji automatycznej o wielomianie charakterystycznym (29) o wspóczynnikach liniowo zale
-nych od niepewzale
-nych parametrów jest odpornie stabilny.

5. UWAGI KOCOWE

W pracy rozpatrzono problem badania odpornej stabilnoci liniowego cigego ukadu uam-kowego rzdu wspómiernego, którego wielomian charakterystyczny (7) zale
y liniowo od niepewnych parametrów. Analizowany problem jest równowa
ny z problemem badania od-pornej stabilnoci rodziny wielomianów uamkowych (13) o wspóczynnikach liniowo zale
-nych od niepewzale
-nych parametrów. Pokazano,
e do badania odpornej stabilnoci takiej rodzi-ny wielomianów mo
na stosowa twierdzenie krawdziowe (twierdzenie 5) znane z teorii odpornej stabilnoci rodzin wielomianów naturalnego stopnia. Podano dogodn do oblicze komputerowych metod sprawdzania warunków twierdzenia krawdziowego oraz sposób postpowania przy badaniu odpornej stabilnoci rodziny wielomianów uamkowych (13). Proponowana metoda badania odpornej stabilnoci jest uogólnieniem na rozpatrywan klas ukadów uamkowych metody podanej w monografii [6] w przypadku wielomianów stopnia naturalnego.

0 3 -2 0 2 0.5 1.5 -0.4 0 0.4 0 1.5 -1 0 1 0 3 -4 0 4 a) b) c) d)

Rys. 3. Wykresy funkcji -_rk(jZ), Z  [ 20 20 : a) , ] -₁₃(jZ), b) -₃₂(jZ), c) -₂₄(jZ), d) -₁₄(jZ)

* * *

Praca naukowa finansowana ze rodków Komitetu Bada Naukowych w latach 2007–2010 jako projekt badawczy nr N N514 1939 33.

LITERATURA

1. Ackermann J. (with Bartlett A., Kaesbauer D., Sienel W., Steinhauser R.): Robust Con-trol: Systems with Uncertain Physical Parameters. Springer-Verlag, London 1994.

2. Barmish B. R.: New Tools for Robustness of Linear Systems. Macmillan Publishing Company, New York 1995.

3. Bartlett A.C., Hollot C.V., Lin H.: Root location of an entire polytope of polynomials: It suffices to check the edges. Math. Contr., Signals Syst., 1988, vol. 1, pp. 61–71.

4. Bhattacharyya S. P., Chapellat H., Keel L. H.: Robust Control: The Parametric Approach. Prentice Hall PTR, New York 1995.

5. Biaas S.: Odporna stabilno wielomianów i macierzy. Uczelniane Wyd. Nauk.-Techn. AGH, Kraków 2002.

6. Busowicz M.: Stabilno ukadów liniowych stacjonarnych o niepewnych parametrach. Dzia Wydawnictw i Poligrafii Politechniki Biaostockiej, Biaystok 1997.

7. Busowicz M.: Frequency domain method for stability analysis of linear continuous-time fractional systems. W: Malinowski K., Rutkowski L.: Recent Advances in Control and Automation, Academic Publishing House EXIT, Warszawa 2008, pp. 83–92.

8. Busowicz M.: Stabilno liniowych cigych ukadów uamkowych rzdu wspómierne-go. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 475–484 ( CD-ROM).

9. Busowicz M.: Robust stability of convex combination of two fractional degree character-istic polynomials. Acta Mechanica et Automatica, 2008, vol. 2, No. 2, pp. 5–10.

10. Busowicz M.: Stability analysis of linear continuous-time fractional systems of commen-surate order. Journal of Automation, Mobile Robots and Intelligent Systems (w druku). 11. Busowicz M., Kalinowski T.: Odporna stabilno liniowego cigego ukadu

uamkowe-go rzdu wspómierneuamkowe-go o funkcji charakterystycznej zale
nej liniowo od jedneuamkowe-go nie-pewnego parametru. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 465–474.

12. Das. S.: Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer, Berlin 2008.

13. Gakowski K., Bachelier O., Kummert A.: Fractional polynomial and nD systems a con-tinuous case. Proc. of IEEE Conference on Decision & Control, San Diego 2006, USA. 14. Matignon D.: Stability results on fractional differential equation with applications to

con-trol processing. Proc. of IMACS, Lille 1996, France.

15. Matignon D.: Stability properties for generalized fractional differential systems. Proc. of ESAIM, 1998, pp. 145–158.

16. Podlubny I., Fractional order systems and fractional order controllers. The Academy of Sciences Unstitute of Experimental Physis, Kosice, Slovalk Republic, 1994.

17. Podlubny I.: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego 1999.

18. Kaczorek T.: Reachability and controllability to zero of positive fractional discrete-time systems, Machine Intelligence and Robotics Control, 6 (2007).

19. Kaczorek T.: Reachability of fractional positive continuous-time linear systems. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 527–537 (CD-ROM).

20. Kaczorek T.: Fractional positive continuous-time linear systems and their reachability. Int. J. Appl. Math. Comput. Sci., 2008, vol. 18, No. 2, pp. 223–228.

21. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J.: Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam 2006.

22. Sabatier J., Agrawal O. P., Machado J. A. T. (Eds): Advances in Fractional Calculus, Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer, Lon-don 2007.

23. Vinagre B. M., Monje C. A., Calderon A. J.: Fractional order systems and fractional order control actions. Lecture 3 of IEEE CDC’02 TW#2: Fractional Calculus Applications in Automatic Control and Robotics, 2002, Las Vegas.

24. Zhao Ch., Xue D., Chen Y.-Q.: A fractional order PID tuning algorithm for a class of frac-tional order plant. Proc. IEEE Intern. Conf. on Mechatronics & Automation, Niagara Falls 2005, Canada, pp. 216–221.