dr inĪ. Andrzej Sobolewski dr inĪ. Andrzej Ruszewski
Politechnika Biaáostocka, Wydziaá Elektryczny
REALIZACJA PRAKTYCZNA REGULATORA
NIECAàKOWITEGO RZĉDU
W pracy przedstawiono praktyczną realizacjĊ regulatora niecaákowitego rzĊdu w sterowniku sbRIO-9631 National Instruments programowanym w Ğrodowisku LabVIEW. Obiektem regulacji jest model zespoáu silnik-generator z silnikiem prądu staáego. WielkoĞcią regulowana jest prĊdkoĞü obrotowa waáu silnika.
PRACTICAL REALIZATION OF FRACTIONAL-ORDER CONTROLLER
The paper presents the realization of fractional-order controller implemented in sbRIO-9631 controller National Instruments programmed in LabVIEW. As the controlled system is used DC motor-generator plant model. The controlled variable is rotor’s speed.
1. WSTĉP
W ostatnich latach obserwuje si Ċ wzrost zainteresowania uk áadami dynam icznymi opisanym i równaniami ró Īniczko-caákowymi nieca ákowitego rz Ċdu, np. [4, 6, 8, 10]. Regulator PID
niecaákowitego rz Ċdu, okre Ğlony jako PI ODP, zosta á zaproponowany w pracach [13, 14]. W regulatorze tym rząd caákowania O oraz róĪniczkowania P są w ogólnym przypadku dowolnymi nieujemnymi liczbam i rzeczywistym i. Problem doboru nastaw regulatorów nieca ákowitego rz Ċdu rozpatrywany by á m iedzy innym i w pracach [5, 7, 9, 22]. W ykazano tam , Īe zastosowanie regulatora uáamkowego PIODP o piĊciu stopniach swobody poprawia wskaĨniki jakoĞci regulacji. W celu realizacji technicznej regulatora PID nieca ákowitego rz Ċdu najpierw dokonuje si Ċ aproksymacji transm itancji opisuj ącej regulator za pom ocą funkcji wym iernych, a nast Ċpnie wyznacza si Ċ realizacj Ċ wym iernej transm itancji aproksym ującej. Metody wyznaczania aproksymacji transmitancji niecaákowitego rzĊdu opisane są w pracach [10í12,18í21]. NajczĊĞciej jest to posta ü kanoniczna filtru cyfrowego o niesko Ĕczonej odpowiedzi im pulsowej ( IIR filter –
Infinite Impulse Response). Taki algorytm sterowania m oĪe byü bezpoĞrednio zaimplementowany
w mikroprocesorze lub sterowniku programowalnym [11, 12].
W niniejszej pracy zostanie przedstawiona praktyczna realizacja regulatora PID nieca ákowitego rzĊdu w sterowniku sbRIO-9631 firm y National Instrum ents program owanym w Ğrodowisku LabVIEW. Sterownik zostanie wykorzystany do autom atycznego sterowania pr ĊdkoĞcią obrotową waáu silnika prądu staáego.
2. OBIEKTU REGULACJI – SILNIKA PRĄDU STAàEGO
Obiektem regulacji jest m odel zespoáu silnik-generator z silnikiem prądu staáego, którego schemat ideowy przedstawiono na rys. 1. W ielkoĞcią regulowana jest pr ĊdkoĞü obrotowa wa áu silnika. Zespóá tworzy sprz ĊĪony m echanicznie uk áad silnik-generator zbudowany z dwu jednakowych minisilników pr ądu sta áego zasilanych napi Ċciem do 12 V i pr ądzie znam ionowym 0,35 A. PrĊdkoĞü obrotowa zm ienia si Ċ w zakresie od 0 do 6000 obr/m in.Pomiar pr ĊdkoĞci obrotowej
Rys. 1. Schemat ideowy obiektu regulacji
W celu identyfikacji wartoĞci parametrów modelu wykonano skokową zmianĊ napiĊcia sterującego
Us z warto Ğci początkowej 5 V do warto Ğci 8 V i zarejestrowano zm ianĊ napiĊcia wyjĞciowego n
obiektu przy czasie próbkowania 0,005 s. Na rys. 1 pokazano odpowied Ĩ skokow ą obiektu. Z rysunku wynika, Īe rzeczywisty obiekt moĪna opisaü modelem o transmitancji operatorowej
, 1 ) ( W s Ke s G sh , 0 t h K !0, (1)
gdzie K jest wzm ocnieniem, W sta áą czasow ą, a h opó Ĩnieniem obiektu. Otrzym aną eksperymentalnie charakterystykĊ skokową obiektu regulacji przybliĪono charakterystyką skokową modelu (1) przy K = 0,59, W = 0,097, h = 0,01. CharakterystykĊ modelu (1) dla podanych warto Ğci parametrów pokazano na rys. 2.
3. REGULATOR PID NIECAàKOWITEGO RZĉDU
Regulator PID nieca ákowitego rz Ċdu zosta á zaproponowany w pracach [13, 14] jako uogólnienie klasycznego regulatora PID [2, 15, 17]. Regulator ten zawiera integrator nieca ákowitego rzĊdu O
i czáon ró Īniczkujący nieca ákowitego rz Ċdu P. Transm itancja operatorowa regulatora PI ODP ma postaü , ) ( O P s k s k k s C p i d O !0, P !0, (2)
gdzie kp, ki i kd są to wspó áczynniki wzm ocnieĔ cz ĊĞci proporcjonalnej, ca ákującej oraz róĪniczkującej, odpowiednio, zaĞ O oraz P są to liczby rzeczywiste b Ċdące niecaákowitymi rzĊdami caákowania oraz ró Īniczkowania. Zauwa Īmy, Īe w przypadku szczególnym (z ca ákowitymi wartoĞciami rzĊdów O = 1 i P = 1) transmitancja (2) opisuje klasyczny regulator PID.
3.1. Synteza parametryczna regulatora
W pracy [16] podano analityczno-kom puterową me todĊ wyznaczania obszarów stabilno Ğci w przestrzeni param etrów regulatora PI ODP. Podano opisy param etryczne granic obszarów stabilnoĞci (granic zer rzeczywistych i zer zespolonych). Dowolny punkt z wyznaczonego obszaru odpowiada takim wartoĞciom parametrów regulatora, dla których ukáad regulacji charakteryzuje siĊ zadanym zapasem stabilno Ğci m oduáu i fazy I. W pracy [16] rozpatrywany by á m odel obiektu w postaci czáonu inercyjnego u áamkowego rz Ċdu z opó Ĩnieniem. Transm itancja operatorowa (1) jest przypadkiem szczególnym (ca ákowity rz ąd cz áonu inercyjnego) m odelu obiektu rozpatrywanego w pracy [16].
Dla wartoĞci parametrów transmitancji (1) uzyskanych w wyniku identyfikacji wyznaczono obszary stabilnoĞci dla kilku warto Ğci I przy kd = 0,5, P = 0,2, O = 1. Obszary te pokazano na rys. 3. Wybierając punkt z obszaru ograniczonego lini ą krzywą wyznaczoną dla zadanej warto Ğci I i linia prostą ki = 0 (granica zer rzeczywistych) otrzymamy wartoĞci nastaw regulatora, przy których ukáad regulacji ma zapas stabilno Ğci fazy wi Ċkszy ni Ī warto Ğü I przyj Ċta do wyznaczenia granicy zer zespolonych. -5 0 5 10 15 20 25 30 0 200 400 600 800 1000 1200 k p k i 1 2 3 I = 0o I = 30o I = 45o I = 60o
Na rys. 3 oznaczono znakam i u trzy przyk áadowe punkty, którym odpowiadaj ą warto Ğci nastaw regulatora kp, ki. Obliczone zapasy stabilno Ğci m oduáu i fazy uk áadu regulacji dla okre Ğlonych wartoĞci parametrów regulatora zestawiono w tabeli 1.
Tabela 1. Zapasy moduáu i fazy
Punkt Nastawy regulatora PID0.2 Zapas moduáu A [dB] Zapas fazy I [q] 1 kp 5, ki 50,kd 0.5 12,68 75,51
2 kp 8, ki 150,kd 0.5 8,92 53,92
3 kp 10, ki 300,kd 0.5 6,72 38,48 3.2. Realizacja praktyczna regulatora
Transmitancja (2) uk áadu niecaákowitego rzĊdu jest funkcj ą niewymierną zmiennej s [4], dlatego nie jest m oĪliwa fizyczna dok áadna realizacja ca ákowania oraz ró Īniczkowania nieca ákowitego rzĊdu. W celu realizacji technicznej transm itancji operatorowej (2) najpierw dokonuje si Ċ jej aproksymacji za pom ocą funkcji wym iernych, a nast Ċpnie wyznacza si Ċ realizacj Ċ wym iernej transmitancji aproksym ującej. W yznaczona wym ierna transm itancja aproksym ująca m oĪe by ü transmitancją dyskretn ą ca ákowitego rz Ċdu, z której bezpo Ğrednio wynika kom puterowa m etoda realizacji praktycznej transm itancji (2). Metody wyznaczania aproksym acji transm itancji niecaákowitego rzĊdu są opisane np. w pracach [10í12,18í21].
W celu dyskretyzacji operatora niecaákowitego rzĊdu sr (0 < r <1) definiuje siĊ nowy operator
, 1 1 1 ) ( 1 11 r r az z T a z r r ¸¸ ¹ · ¨¨ © § Z (3) gdzie a jest wspó áczynnikiem aproksym acji, T jest okresem im pulsowania. W ówczas dyskretna transmitancja regulatora niecaákowitego rzĊdu (2) ma postaü [3, 12]
( )
( )
. ) ( 1 Z 1 O Z 1 P z k z k k z C p i d (4)
NajczĊĞciej przy wyznaczaniu transm itancji wym iernej stosuje si Ċ rozwini Ċcie transm itancji niewymiernej w u áamek áaĔcuchowy i przyj Ċcie sko Ĕczonej liczby elem entów tego rozwini Ċcia np. [1, 11, 12]. Dyskretna transm itancja aproksym ująca cz áon ca ákujący i ró Īniczkujący niecaákowitego rzĊdu ma wówczas postaü
°¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § | r r r q p r r r az z CFE T a z , 1 1 1 1 1 1 ) ( Z (5) 1 , ) ( ) ( 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 1 q m p m r r z q z q z q q z p z p z p p T a z Q z P T a r r ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § " "
gdzie CFE{ x} oznacza rozwini Ċcie transm itancji niewym iernej w u áamek áaĔcuchowy (ang.
continued fraction expansion), za Ğ P(z-1) i Q(z-1) s ą wielom ianami o odpowiednich rz Ċdach
aproksymacji p i q. Zazwyczaj przyjm ujemy p q. W zale ĪnoĞci od warto Ğci wspó áczynnika a otrzymamy róĪne metody aproksymacji: a 0 – metoda Eulera, a 1/7 – metoda Al-Alaoui, a 1 – metoda Tustina. Na przyk áad, je Īeli przyjmiemy rząd aproksymacji p q 1, to wspó áczynniki wielomianów P(z-1) i Q(z-1) obliczamy z poniĪszych zaleĪnoĞci
, 1 2 0 0 ra r a q p , 1 1 1 ra r a ra r a p q1 1. (6) RealizacjĊ praktyczn ą regulatora nieca ákowitego rz Ċdu dokonano za pom ocą sterownika sbRIO-9631 National Instrum ents, który jest program owalnym sterownikiem z procesorem Real-Time um oĪliwiającym realizowanie algorytm ów sterowania z precyzyjnie odm ierzanym czasem próbkowania.
Páyta gáówna NI sbRIO-9631 zawiera miĊdzy innymi: x procesor czasu rzeczywistego,
x pamiĊü DRAM, x matrycĊ FPGA,
x wejĞcia / wyjĞcia cyfrowe i analogowe, x port RS-232, Ethernet 10/100 Mb/s.
Algorytm sterowania zosta á zrealizowany za pom ocą program u napisanego w Ğrodowisku LabVIEW, który nast Ċpnie zaim plementowano w sterowniku sbRIO-9631. Za pom ocą FPGA skonfigurowano wejĞcia analogowe do pomiaru napiĊcia na wyjĞciu n obiektu jak równieĪ wyjĞcia analogowe do sterowania silnikiem Us.
Rys. 4. Okno programu do wprowadzania wartoĞci parametrów regulatora
Jedną z funkcji stworzonej aplikacji jest m oĪliwoĞü wprowadzenia przez u Īytkownika warto Ğci parametrów regulatora kp, ki, kd, O, P oraz param etrów aproksym acji T, n, a. Param etry te s ą wykorzystywane do wyznaczania warto Ğci wspó áczynników wielom ianów licznika i m ianownika dyskretnej transmitancji aproksymującej regulator nieca ákowitego rzĊdu (rys. 4). Na przyk áad dla wartoĞci param etrów regulatora k = 5, k = 50, k = 0,5, O = 1, P = 0,2 oraz T = 0,005, n = 1,
4. BADANIA EKSPERYMENTALNE
Badania eksperym entalne przeprowadzono na stanowisku badawczym pokazanym na rys. 5. Obiektem regulacji sterowano za pom ocą sterownika sbRIO-9631. Przygotowany wcze Ğniej algorytm regulacji wbudowano w system czasu rzeczywistego sterownika, gdzie przeprowadzana byáa realizacja algorytmu.
Rys. 5. Stanowisko badawcze
Warunki eksperym entów pozwala áy na zbadanie zachowania si Ċ obiektu w czasie regulacji automatycznej prĊdkoĞci obrotowej przy jej zm ianie z 1000 obr/min na 2000 obr/min. Odpowiedzi obiektu rejestrowano z czasem próbkowania 5 ms. Otrzymane charakterystyki prĊdkoĞci obrotowej i napiĊcia steruj ącego przedstawione s ą na rys. 6, 7 i 8. Param etry regulatora wybrano zgodnie z wartoĞciami zawartym i w tabeli 1 zapewniaj ącymi okre Ğlone warto Ğci zapasów stabilno Ğci moduáu i fazy. Na rys. 6 przedstawiono charakterystyk Ċ prĊdkoĞci obrotowej i napiĊcia sterującego dla warto Ğci param etrów regulatora zapewniaj ących zapas m oduáu 12,68 dB i zapas fazy 75,51 q (punkt 1). Z rysunku wynika, Īe przebieg wielko Ğci regulowanej m a charakter aperiodyczny, za Ğ sygnaá sterujący nie wchodzi w nasycenie. Natom iast przebiegi wielkoĞci regulowanej wyznaczone dla punktów 2 i 3 pokazane na rys. 7 i 8, odpowiednio, m ają charakter periodyczny (oscylacyjny). Dla wiĊkszych wartoĞci zapasów m oduáu i fazy wyst Ċpuje mniejsze przeregulowanie oraz krótszy czas regulacji. NaleĪy zwróciü uwagĊ, Īe sygnaá sterujący w tych przypadkach w początkowej fazie wchodzi w nasycenie.
5. UWAGI KOēCOWE
W pracy przedstawiono sposób praktycznej realizacji regulatora nieca ákowitego rz Ċdu w sterowniku programowalnym sbRIO-9631 programowanym w Ğrodowisku LabVIEW. W oparciu o prace [11, 12] podano m etodĊ wyznaczania dyskretnej transm itancji aproksym ującej regulator niecaákowitego rz Ċdu, któr ą nast Ċpnie zaim plementowano w sterowniku sbRIO-9631. Dokonano weryfikacji dzia áania sterownika w rzeczywistym uk áadzie regulacji pr ĊdkoĞci obrotowej wa áu silnika pr ądu sta áego. Otrzym ane wyniki bada Ĕ eksperym entalnych pokazuj ą, Īe Ğrodowisko programistyczne LabVIEW oraz sprz Ċt firmy National Instrum ents są efektywnym narzĊdziem do realizacji nowoczesnych algorytmów sterowania.
SyntezĊ param etryczną regulatora nieca ákowitego rz Ċdu przeprowadzono z wykorzystaniem metody wyznaczania obszarów stabilnoĞci dla okreĞlonych wartoĞci zapasów moduáu i fazy.
Praca naukowa finansowana ze Ğrodków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa WyĪszego.
BIBLIOGRAFIA
1. Al-Alaoui, M. A.: Filling the gap between the bilinear and the backward difference Transforms:
an interactive design approach, Int. J. Elect. Eng. Edu. 1997, vol. 34, no. 4, pp. 331í337.
2. Astrom K. J., Hagglund T.: PID Controllers: Theory, Design, and Tuning. 2nd ed. Research Triangle Park, NC: Instrument Society of America, 1995.
3. Biswas A., Das, S, Abraham A., Dasgupta S.: Design of fractional-order PIȜ
Dȝ controllers with an improved differential evolution, Engineering Applications of Artificial Intelligence 2009,
vol. 22, no. 2, pp. 343í350.
4. Busáowicz M.: Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych ciągáych ukáadów niecaákowitego
rzĊdu. Pomiary Automatyka Robotyka, nr 2 (2010), s. 93í114.
5. Chen Y.Q., Dou H., Vinagre B. M., Monje C.A.: A robust tuning method for fractional order PI
controllers, The Second IFAC Sym posium on Fractional Derivatives and Applications, Porto,
Portugal 2006.
6. Das S.: Functional fractional calculus for system identification and controls. Springer, Berlin 2008.
7. Hamamci S . E .: An algorithm for stabilization of fractional-order time delay systems using
fractional-order PID controllers, IEEE Trans. on Autom atic Control, 2007, vol. 52,
pp. 1964í1969.
8. Kaczorek T.: Wybrane zagadnienia teorii ukáadów niecaákowitego rzĊdu. Oficyna Wydawnicza Politechniki Biaáostockiej, Biaáystok 2009.
9. Monje C. A., Vinagre B. M., Feliu V., Chen Y.: Tuning and auto-tuning of fractional order controllers for industry applications. Control Engineering Practice, 2008, vol. 16, pp. 798í812.
10. Ostalczyk P.: Zarys rachunku róĪniczkowo-caákowego uáamkowych rzĊdów. Teoria i zastosowania w automatyce. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ 2008.
11. Petras I.: Fractional-order feedback control of a DC motor. Journal of Electrical Engineering, 2009, vol. 60, no. 3, pp. 117í128.
12. Petras I.: Realization of fractional-order controller based on PLC and its utilization to
temperature control, Transfer inovacii no. 14 (2009), pp. 34–38.
13. Podlubny, I.: Fractional differential equations, Academic Press, California, 1999.
14. Podlubny I.: Fractional-order systems and PIODP-controllers, IEEE Trans. on Autom atic
Control, 1999, vol. 44, pp. 208–214.
15. Ruszewski A.: Synteza parametryczna regulatorów dla okreĞlonej klasy obiektów o niepewnych
16. Ruszewski A.: Stabilizacja ukáadów inercyjnych uáamkowego rzĊdu z opóĨnieniem za pomocą
uáamkowego regulatora PID. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2009, s. 406–414.
17. Silva G. J., Datta A., Bhattacharyya S. P.: PID controllers for time-delay systems, Birkhauser, Boston, 2005.
18. Tenreiro M., Galhano A. M., Oliveira A. M., Tar J. K.: Approximating fractional derivatives through the generalized mean, Com munications in Nonlinear Science and Num erical
Simulation 2009, vol. 14, no. 11, pp. 3723–3730.
19. Valerio D.: Fractional robust system control, PhD Dissertation, Tech. Univ. of Lisbona, 2005. 20. Vinagre B. M., Podlubny I., Hernandez A., Feliu V.: Some approximations of fractional order
operators used in control theory and applications. Fractional Calculus and Applied Analysis,
2000, vol. 3, no. 3, pp. 231–248.
21. Vinagre B. M., Chen Y.Q. Petras I.: Two direct Tustin discretization methods for fractional –
order differentiator/integrator. Journal of the Franklin Institute: Engineering and applied
mathematics, vol. 340, 2003, pp. 349–362.
22. Zhao C., Xue D., Chen Y.Q.: A fractional order PID tuning algorithm for a class of fractional
order plants, in Proc. of the IEEE International Conference on Mechatronics & Autom ation,
