IZABELA BONDECKA-KRZYKOWSKA *
INFORMATYKA JAKO NAUKA
Informatyka jako dziedzina wiedzy jest dyscyplin stosunkowo now. Wyrosa z matematyki oraz in ynierii i wspóczenie równie czerpie z obu tych dyscyp-lin. Zauwa my jednak, e trudno jednoznacznie okreli_, czym ona waciwie jest, jakie obiekty bada i jakich u ywa metod. I dalej, cho_ mo e wydawa_ si, e wiemy, jaka to ga nauki, mo emy nie orientowa_ si, czym dokadnie zajmuj si jej badacze.
Czy wic na pewno wiemy, jaka jest natura informatyki i jakie miejsce zajmuje ona wród innych dyscyplin?
Angielska nazwa informatyki – computer science – sugeruje, e jest ona dzie-dzin nauki cisej1, pojcie to budzi jednak kontrowersje zarówno wród infor-matyków, jak i filozofów. Wiele prac filozoficznych, w szczególnoci anglo-jzycznych, powicono kwestii, czy informatyka jest nauk cis (science), czy te gazi in ynierii.
Tradycyjnie w filozofii nauki przyjmuje si podzia dyscyplin naukowych na formalne, jak matematyka i logika, oraz realne, a wród nauk realnych wyró nia si nauki przyrodnicze (biologia, chemia, fizyka), in ynieryjne, humanistyczne i spoeczno-ekonomiczne. Gdzie wic, w takim podziale nauk, jest miejsce infor-matyki? Przyjrzyjmy si ró nym stanowiskom badaczy rozwa ajcych to zagad-nienie, poczynajc od szukania odpowiedzi na pytanie, czy informatyka jest nau-k formaln.
Dr IZABELA BONDECKA-KRZYKOWSKA – Zakad Logiki Matematycznej, Wydzia Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu; adres do korespondencji: ul. Umultowska 87, 61-614 Poznaq; e-mail: izab@amu.edu.pl
1
Angielskie sowo science oznacza nauki cise (czyli nauki matematyczne i przyrodnicze) w odró nieniu od nauk humanistycznych czy in ynierii, a wic nie „nauk” w ogólnoci.
INFORMATYKA JAKO DZIA MATEMATYKI
Twierdzenie, e informatyka jest nauk formaln – lub po prostu dziaem matematyki – wynika najczciej z czynionego implicite zao enia, e informa-tycy zajmuj si gównie tworzeniem programów i badaniem ich wasnoci. Jest ona zatem nauk o programach i programowaniu. Programowanie nale y przy tym rozumie_ szeroko – jako proces rozpoczynajcy si tworzeniem specyfikacji, czyli definiowaniem wymagaq stawianych programowi, a koqczcy si wery-fikacj – sprawdzeniem jego poprawnoci. Na wszystkich etapach tego procesu korzysta si z metod formalnych. Wniosek: informatyka jest tylko kolejnym dziaem matematyki, matematyki stosowanej.
Jednym z prekursorów tego stanowiska jest Charles A.R. Hoare (HOARE 1969; HOARE 1989). Uwa a on, e komputery s maszynami matematycznymi, których dziaanie mo na precyzyjnie przedstawi_ za pomoc programów komputerowych (wyra eq matematycznych). Jzyki programowania, opisujce ich instrukcje, Hoare traktowa jako teorie matematyczne zawierajce definicje, aksjomaty i twierdzenia. Dziki nim programista mo e tworzy_ program zgodny ze specy-fikacj i sprawdza_, czy rzeczywicie spenia on stawiane przed nim zao enia. Jest zatem programowanie aktywnoci matematyczn, której uprawianie wyma-ga konsekwentnego stosowania tradycyjnych metod matematycznego rozumo-wania, obliczeq i dowodu. Hoare zdawa sobie jednak spraw, e taki obraz informatyki to pewien idea, do którego nale y d y_, i e wspóczesna mu infor-matyka jest odeq daleka.
Traktowanie informatyki jako dziau matematyki znalazo wielu zwolenników. Jednym z nich jest Edsger Dijkstra (DIJKSTRA 1974, 1986). Uwa a on miano-wicie, e miejsce informatyki w przedstawionym powy ej podziale nauk znajduje si obok matematyki i logiki.
Dijkstra proponuje nawet nazywanie jej skrótem: VLSAL (Very Large Scale Application of Logic). Czy mo na by w jaki sposób potwierdzi_ lub obali_ taki pogld?
Wielu filozofów postuluje odró nienie nauk formalnych (matematyki i logiki) od realnych, które bazowaoby na badaniu natury zdaq w ich obrbie. Twierdze-nia matematyki i logiki s zdaTwierdze-niami analitycznymi, w przeciwieqstwie do zdaq syntetycznych pozostaych nauk. Zdania analityczne to te, które s prawdziwe na mocy znaczenia jzykowego, np. „Je eli Jan jest starszy od Piotra, to Piotr jest modszy od Jana”. W zdaniach syntetycznych natomiast warto_ logiczna nie mo e by_ ustalona bez odwoywania si do rzeczywistoci innej ni jzykowa, np. „Poznaq jest stolic Polski”.
Jeli uzna_, e zdania nauk formalnych s analityczne, podczas gdy nauk empirycznych s syntetyczne, to dla stwierdzenia, czy informatyka jest nauk for-maln czy realn, wystarczy analiza jej zdaq.
Spróbujmy zatem odpowiedzie_ na pytanie, czy zdania, z których zbudowane s programy komputerowe, s analityczne czy te syntetyczne.
Rozwa my typow instrukcj jzyków programowania: operacj podstawienia – np. A:=13*74. Wyra enia tego typu mo na rozumie_ dwojako: jako rozkazy (zmiennej A przypisz iloczyn liczb 13 i 74) lub jako zdania oznajmujce. Oczy-wicie rozkazy nie s zdaniami w sensie logicznym, a wic nie mog by_ ani prawdziwe, ani faszywe – i co za tym idzie, nie mog by_ rozumiane jako analityczne bd syntetyczne. Rozwa my zatem powy szy zapis jako zdanie oznajmujce, stwierdzajce, e zmienna oznaczana przez A otrzymuje warto_ odpowiedniego iloczynu. A mo e by_ przy tym traktowane jako fizyczne miejsce w pamici albo te jako oznaczenie bytu abstrakcyjnego. W pierwszym przy-padku operacj podstawienia rozumiemy jako stwierdzenie: fizyczne miejsce w pamici A przyjmuje warto_ fizycznego obliczenia 13*74. Jest ono wówczas swego rodzaju przypuszczeniem co do tego, co staoby si, gdyby operacja pod-stawienia zostaa wykonana. Nale y przy tym pamita_, e najczciej operacje podstawienia nie s wykonywane wprost (tak jak je zapisano w jzykach gramowania) – s one kompilowane (tumaczone za pomoc specjalnych gramów) na podstawowe instrukcje maszynowe wykonywane podczas pracy pro-gramu. Zdanie reprezentujce operacj podstawienia jest zatem tylko przypusz-czeniem co do wyniku wykonania programu, i jest zdaniem syntetycznym, poniewa jego prawdziwo_ zale y od rzeczywistoci.
I dalej: jeli A traktujemy jako abstrakcyjne miejsce w pamici, to odwoujemy si tym samym do maszyn abstrakcyjnych. Nale y zauwa y_, e mówic o pro-gramach i ich dziaaniu, trzeba rozró ni_ odwoywanie si do maszyn fizycznych i abstrakcyjnych. Gdy analizujemy program i jego z a m i e r z o n e dziaanie oraz zakadamy, e urzdzenie, na którym program zostanie wykonany, nie zawiedzie, to odwoujemy si do maszyny abstrakcyjnej. Natomiast jeli mówimy o pro-gramie i jego a k t u a l n y m dziaaniu – np. analizujc jego efektywno_ – odnosimy si do urzdzenia fizycznego. Nasuwa si przypuszczenie, e inter-pretujc programy komputerowe jako dziaajce na maszynach abstrakcyjnych przyjmujemy tym samym, e wystpujce w nich instrukcje s zdaniami ana-litycznymi. Czy tak jest rzeczywicie? Rozwa my, za Timothy Colburnem
(COLBURN 2000), w jaki sposób mo emy stwierdzi_ prawdziwo_ zdania postaci:
(*) Abstrakcyjne miejsce w pamici A przyjmuje warto_ abstrakcyjnego obliczenia 13*74.
Stwierdzenie, jak warto_ przyjmie abstrakcyjne miejsce w pamici kom-putera podczas wykonania programu, jest podobne do matematycznego zao enia co do wartoci zmiennej typu: niech a = 965. Takie zdanie nie jest ani analityczne, ani syntetyczne, i co wicej, trudno mówi_ o jego prawdziwoci – po prostu zao enie zostao zrobione. Tak wic wyra enie (*) jest podobne do twierdzenia matematycznego – i to takiego, w którym wystpuje zao enie, brak jednak tezy. Jest ono zatem mao ciekawe, podobnie jak matematyczne twierdzenie rozpoczy-najce si od „niech…”, ale bez nastpujcego „…wtedy”. Ka de wyra enie dowolnego jzyka programowania mo na rozumie_ abstrakcyjnie, a wic pro-gram komputerowy mo na traktowa_ jako cig warunków w wiecie abstrakcyj-nym. Tak rozumiany program, podobnie jak cig matematycznych „niech”, nie jest jednak wyra eniem matematycznym w adnym interesujcym nas sensie.
Wyra enia jzyków programowania skadajce si na program komputerowy s wic albo zdaniami syntetycznymi, albo te fragmentarycznymi wyra eniami matematycznymi, których nie mo na traktowa_ jako zdania analityczne. Analiza zdaq informatyki nie zezwala nam zatem na jednoznaczne zaklasyfikowanie informatyki do nauk formalnych2.
Nie wszyscy jednak zgadzaj si z pogldem, e informatyka jest nauk o pro-gramach i programowaniu. I tak, jeli przyjmiemy, e obiektem badaq informa-tyki nie s programy, lecz algorytmy3, twierdzimy tym samym e gówny przed-miot jej zainteresowania jest rzeczywicie czci matematyki. Algorytmy, badane obecnie przez informatyków, byy i s rozwa ane przez matematyków, i to od pocztków istnienia matematyki jako nauki. Analogicznych argumentów mo na by, oczywicie, u y_ na rzecz tezy, e to matematyka jest czci infor-matyki i doj_ do absurdalnego wniosku o równoci obu dyscyplin.
Wzajemne zwizki matematyki i informatyki s niezaprzeczalne4. Informatyka wpywa na matematyk na rozliczne sposoby: komputery wykorzystywane s do wykonywania szczególnie trudnych obliczeq numerycznych, badania wasnoci obiektów matematyki, wspomagania dowodzenia twierdzeq bd te tworzenia dowodów w peni automatycznych. Ponadto istnieje oczywisty zwizek midzy informatyk i matematyk na polu analizy numerycznej, logiki czy teorii liczb. Co wicej, tak e dziki badaniu samych algorytmów powstao wiele podnych i ciekawych problemów matematycznych; wprowadzaj one nowe fascynujce
2
Z twierdzeniem, e informatyka jest nauk formaln, cile zwizany jest paradygmat
mate-matyczny. Wicej na temat paradygmatów w informatyce zob np. w EDEN 2007 oraz BONDECKA
-KRZYKOWSKA 2010b.
3
Wicej na temat obiektu badaq informatyki zob. BONDECKA-KRZYKOWSKA (w druku).
4
idee tam, gdzie ich brakowao (KNUTH 1974). Widzimy wic, jak znaczcy wpyw wywiera informatyka na matematyk.
Wyniki matematyki klasycznej tak czsto okazuj si u yteczne w informa-tyce, e mo e to wrcz zaskakiwa_. Aparatura pojciowa matematyki jest nie-zbdna informatykom do badania wasnoci algorytmów, np. do dowodzenia ich poprawnoci, optymalnoci czy te efektywnoci. Okazuje si równie potrzebna w procesie tworzenia specyfikacji programów.
Niezaprzeczalne wpywy i zwizki tych dwóch nauk nie daj jednak podstaw do stwierdzenia, e tworz one t sam ga wiedzy. W czasach nam wspó-czesnych informatyka wykorzystywana jest przez wiele, jeli nie przez wikszo_, nauk przyrodniczych, np. przez biologi, ale nie twierdzimy przecie , e jest ona kolejnym jej dziaem.
Podsumowujc, nale y stwierdzi_, e przedstawiona powy ej analiza zdaq informatyki nie daje nam jednoznacznej odpowiedzi, czy s one analityczne, czy te nie. Wprawdzie niektóre twierdzenia mówice o programach – w szczegól-noci o ich poprawszczegól-noci – mog by_ rozumiane jak twierdzenia matematyczne, a metody formalne wykorzystujemy w informatyce (np. w tworzeniu specyfikacji czy te weryfikacji programów), nie gwarantuje to jednak poprawnoci sdu, e informatyka jest gazi matematyki.
Wniosek: traktowanie informatyki jako kolejnej nauki formalnej – obok mate-matyki i logiki – jest nieuzasadnione. Wielu informatyków twierdzi, e w klasy-fikacji nauk uprawiana przez nich dyscyplina nie powinna by_ umieszczana nie tylko w obrbie matematyki, ale nawet obok niej!
INFORMATYKA JAKO NAUKA EMPIRYCZNA
Wielu przeciwników traktowania informatyki jako nauki formalnej gosi po-gld, e jest ona nauk empiryczn. W naukach tych bowiem kluczow rol od-grywa formuowanie i eksperymentalne testowanie hipotez – a te wanie procesy znale_ mo na równie w informatyce. Najczciej przyjmuje si, e tylko ekspe-rymenty testuj teorie i tylko one ujawniaj nowe cechy badanych obiektów i zjawisk. Pozwalaj one tak e formuowa_ nowe teorie, lepiej wyjaniajce rzeczywisto_. Przyjrzyjmy si zatem uwa niej roli, jak eksperymenty odgry-waj w informatyce.
Zwolennicy twierdzenia, e informatyka jest nauk przyrodnicz, uwa aj czsto, e obiektem jej badaq s programy komputerowe, których wykorzystanie nie ogranicza si tylko do rozwizywania problemów. Su one bowiem do
eksperymentalnego potwierdzania hipotez naukowych. Na przykad Thimothy Colburn, wymieniajc ró ne rozumienia testowania w informatyce, zwraca uwa-g: „[…] mo na uruchomi_ program, by sprawdzi_ hipotezy w komputerowym modelu rzeczywistoci” (COLBURN 2000, s. 171).
Uprawianie informatyki jako nauki eksperymentalnej wida_ w wielu zastoso-waniach symulacji. Testowanie hipotez za pomoc programu przebiega w trzech etapach. Formuuje si hipotez dotyczc badanego zjawiska, nastpnie za, piszc program komputerowy, modeluje si j. Ostatnim etapem jest testowanie hipotezy poprzez uruchomienie programu. Wyniki wykonania programu decyduj o tym, czy hipotez uznaje si za potwierdzon, czy te nie. Wiele zjawisk fizycznych, których nie mo na przetestowa_ w rzeczywistoci, bada si przepro-wadzajc ich komputerowe symulacje.
Testowanie hipotez ma kluczowe znaczenie dla caej metodologii nauk przy-rodniczych. Mo emy zatem stwierdzi_, e programowanie – jako cz_ informa-tyki – pod wieloma wzgldami podobne jest do nauk przyrodniczych lub nawet, bardziej ogólnie, do nauk eksperymentalnych. Obiekty takie jak algorytmy czy specyfikacje mo na bowiem traktowa_ jak hipotezy, które sprawdza si poprzez uruchomienie programów. Tego rodzaju testowanie pokazuje adekwatno_ wyko-rzystanego w programie modelu wiata rzeczywistego. Programy s zatem tylko narzdziami w procesie sprawdzania – podobnie jak aparatura badawcza – i su do potwierdzania lub obalania hipotez.
Niezwykle istotne, poza testowaniem ju postawionych hipotez, jest w nau-kach eksperymentalnych formuowanie hipotez nowych – sprawdzanych póniej eksperymentalnie – zawierajcych przypuszczenia co do natury badanego zja-wiska. Podobnie rzecz ma si w przypadku programów komputerowych. Na pod-stawie wyników symulacji wysuwa si nowe hipotezy dotyczce badanych zja-wisk – np. geologicznych czy pogodowych – w celu poznania ich natury i kon-sekwencji. Symulacje su zatem nie tylko wyjanianiu zjawisk, prowadz one tak e do formuowania prognoz i przewidywaq, które s nieodcznym i oczy-wistym elementem uprawiania nauk eksperymentalnych.
Eksperymentowanie z wykorzystaniem symulacji komputerowych jako meto-da bameto-dawcza w wielu naukach nie czyni samej informatyki nauk ekspery-mentaln. Komputery, podobnie jak termometry czy mikroskopy, to instrumenty wykorzystywane w badaniach naukowych. Czy jednak mo na znale_ metody eksperymentalne w samej informatyce?
Eksperymentowanie za pomoc komputerów to nie tylko narzdzie w innych naukach, ale równie w obrbie samej informatyki. W literaturze znale_ mo na ró norodne pogldy dotyczce obiektu jej badaq. Wród nich jest taki, e bada
ona ró ne aspekty informacji, programy to modele pewnych procesów informa-cyjnych, a komputery uatwiaj ich sprawdzanie. Jedyna ró nica midzy infor-matyk a innymi naukami eksperymentalnymi polega na tym, e informacja nie jest organizmem biologicznym ani te fizycznym – jak energia czy materia. Wal-ter F. Tichy pisze:
Fakt, e – w dziedzinie informatyki – obiektem dociekaq jest informacja, a nie energia lub materia, nie czyni ró nicy w stosowalnoci tradycyjnej metody naukowej. Aby zrozumie_ natur procesów informacyjnych, informatycy musz obserwowa_ zja-wiska, formuowa_ wyjanienia i teorie oraz testowa_ je5.
Przykadem eksperymentalnego falsyfikowania w informatyce jest ekspery-ment Knighta i Levesona (TICHY 1998), w którym analizowano prawdopo-dobieqstwo awarii w programach wielowersyjnych (ang. multiversion programs). Teoria przewidywaa, e prawdopodobieqstwo awarii takiego programu jest ilo-czynem prawdopodobieqstw awarii poszczególnych wersji. Badacze zaobserwo-wali jednak, e jest ono w rzeczywistych systemach znacznie wiksze. Ekspery-ment sfalsyfikowa zatem podstawowe zao enie tradycyjnej teorii.
Eksperymenty pomagaj równie informatykom wywodzi_ teorie z obserwa-cji. Dobrym przykadem takiego ich zastosowania jest udoskonalenie sztucznych sieci neuronowych. Po teoretycznym rozwa eniu wasnoci takich sieci zostay one, dziki wynikom eksperymentów, poprawione i udoskonalone.
Nie wszyscy jednak zgadzaj si ze stanowiskiem, e informatyka jest nauk przyrodnicz. Nauki przyrodnicze bowiem badaj tylko zjawiska naturalne, pod-czas gdy komputery s wytworami pracy czowieka. Tedre twierdzi, e:
[…] trudno zrozumie_, w jakim sensie redni czas przeszukiwaq algorytmu haszu-jcego A (który jest konstrukcj czowieka) zaimplementowanego na komputerze marki B (który jest konstrukcj czowieka), gdzie zarówno A, jak i B opieraj si na teoretyczno-technicznych konstrukcjach wspóczesnych obliczeq (które s dzieem czowieka), mogyby by_ prawami natury w sensie, w którym powinny one odkrywa_ wicej na temat naturalnie pojawiajcych si zjawisk. Zamiast tego mówi nam o tym, jak dobrze poprzedni informatycy wykonali swoj prac6.
W myl tego stanowiska, niezale nie od tego, jakie zjawiska uznamy za obiekt badaq informatyki – informacj, komputery, obliczenia, procedury, programy czy algorytmy – s one wszystkie wytworami czowieka, a nie zjawiskami natural-nymi. Jeli pojcie „nauka przyrodnicza” odnosi si tylko do dziedzin badajcych
5
TICHY 1998, s. 33.
6
zjawiska naturalne, to informatyka, podobnie jak matematyka, nie jest nauk przyrodnicz.
Mo na jednak twierdzi_, e nawet jeli uznamy informatyk za nauk o arte-faktach, jakimi s komputery, to badania z nimi zwizane nie ograniczaj si do ich zastosowaq w innych naukach. Komputery wymagaj gbszej, wielodyscyp-linarnej analizy bd te oddzielnej nauki zgbiajcej ich dziaanie i zwizane z nimi zjawiska (NEWEL, SIMON 1976). Wszak wszystkim wiadomo, e s one wielorakie i zo one. Zaprogramowana dziaajca maszyna (komputer) podobna jest do ywego organizmu i jako taka mo e by_ badana metodami eksperymen-talnymi. Allen Newell i Herbert A. Simon pisz:
Ka da nowo zbudowana maszyna jest eksperymentem. […] Ka dy nowy program jest eksperymentem7.
Istniej równie inne – poza powy ej przedstawionym – pogldy zwizane z ontologi informatyki. Mo na np. twierdzi_, e informatyka jest nauk o algo-rytmach lub procedurach (SHAPIRO 2001). Takie jej rozumienie implikuje tez, e komputer jest tylko maszyn ogólnego przeznaczenia, wykonujc procedury, a istot informatyki jest badanie tych procedur. Skoro za algorytmy i procedury wystpuj w wiecie naturalnym, informatyka – podobnie jak inne nauki przy-rodnicze – bada zjawiska naturalne. Przyjrzyjmy si zatem, jakimi metodami informatycy badaj te zjawiska.
Podobnie jak wród specjalistów innych nauk przyrodniczych, tak i wród informatyków znale_ mo na zarówno teoretyków, jak i eksperymentatorów. Zadaniem teoretyków jest przy tym dowodzenie pewnych wasnoci obliczalno-ci, np. poprzez analiz cech algorytmów. Ich wysiki zmierzaj do udowod-nienia, e pewne obliczenia nie mog by_ wykonane przy danych ograniczeniach zasobów8. W wyniku ich pracy powstaj m.in. nowe teorie logiczne i modele semantyczne, pomocne w projektowaniu programów i umo liwiajce prowadze-nie rozumowaq formalnych ich dotyczcych (w tym weryfikacj). Eksperymen-tatorzy natomiast badaj algorytmy, obserwujc ich wykonania na komputerach. Sprawdzaj ró norodne wersje procedur, testujc je i porównujc (np. wedug kryterium czasu wykonania). Wiele miejsca w swej pracy powicaj oni na tworzenie takich algorytmów, które byyby optymalne dla rozwizania danych klas zadaq. Przez pojcie optymalnoci rozumiemy tu, e algorytm wymaga takiej
7
NEWEL,SIMON 1976, s. 114
8
Najsynniejszym problemem, z jakim zmagaj si informatycy teoretycy, jest próba odpo-wiedzi na pytanie, czy P = NP.
iloci zasobów, jak teoretycy uznali za minimaln. Reasumujc, mo na powie-dzie_, e informatycy zajmujcy si zastosowaniami badaj procedury u yteczne w praktyce, a efektem tych badaq s programy i systemy komputerowe.
Informatyka zatem, podobnie jak inne nauki przyrodnicze, zawiera zarówno cz_ teoretyczn, jak i praktyczn, przy czym celem tej pierwszej jest zrozu-mienie wiata (tej jego czci, któr stanowi procedury) bez wzgldu na mo liwe ich zastosowania. Teoria i praktyka odgrywaj wic t sam rol w informatyce, co i w innych naukach eksperymentalnych.
Polemik z powy szym pogldem przedstawia Juris Hartmanis (HARTMANIS 1993). Porównuje on rol eksperymentu i teorii w informatyce oraz w fizyce. Argumentuje, e w naukach fizycznych istnieje cisa interakcja midzy teori i eksperymentem, e zaobserwowane podczas eksperymentów nowe, nieznane badaczom zjawiska, niezgadzajce si z obowizujc do tej pory teori, próbuje si uj_ w ramach teorii nowych. W informatyce takiej „niezgodnoci” midzy teori a obserwacj nie ma. Teorie informatyczne nie konkuruj pod wzgldem lepszego opisu rzeczywistoci i wyjaniania natury jej obiektów. Nie powstaj równie nowe, zgodne z wynikami eksperymentów, bd te ujawniajce nie-wyjanione anomalie czy niespodziewane zjawiska. W historii informatyki da-remnie by szuka_ jakiego kluczowego eksperymentu, decydujcego o wa noci teorii, tak jak miao to miejsce wielokrotnie w historii fizyki. Jeli zatem infor-matyka nie jest nauk eksperymentaln, to gdzie jest jej miejsce w tradycyjnym podziale nauk?
INFORMATYKA JAKO INYNIERIA
Nie wszyscy informatycy zgadzaj si z rozumieniem informatyki jako nauki formalnej bd te eksperymentalnej. Niektórzy twierdz, e uprawiana przez nich dyscyplina jest po prostu gazi in ynierii. Nauki cise okrelaj mo liwe rozwizania problemów, in ynieria natomiast wybiera sporód nich te, które s mo liwe do zrealizowania ze wzgldów praktycznych i ekonomicznych.
Richard Hamming (HAMMING 1969) twierdzi nawet, e informatyki nie po-winno nazywa_ si computer science, lecz computer engineering, co pozwolioby unikn_ wielu nieporozumieq. Zakada on, e zasadniczym zadaniem informa-tyków jest szukanie praktycznych rozwizaq, czyli tworzenie systemów kom-puterowych, a nie teoretyzowanie.
Znale_ te mo na badaczy o bardziej radykalnych pogldach. I tak np. zda-niem Fredericka Brookesa traktowanie informatyki jako nauki formalnej jest dla
tej dyscypliny szkodliwe (BROOKES 1996). Prowadzi bowiem do uznania teorii za wa niejsz od praktyki i powoduje, e jej modzi adepci skaniaj si ku roz-wa aniom teoretycznym, zapominajc o najwa niejszym – o u ytkownikach i ich problemach. Informatyka bowiem jest dyscyplin in ynieryjn i gówny jej cel stanowi komputerowe rozwizywanie problemów.
Tak e Michael S. Mahoney stwierdza, e zadaniem informatyków jest praca nad praktycznym zastosowaniem komputerów:
O komputerach warto myle_, warto mówi_ i warto si nimi zajmowa_ tylko dlatego, e s u ytecznymi urzdzeniami, które robi co dla kogo9.
W myl tego stanowiska informatyk uzna_ nale y za ga in ynierii, gdy jej badacze zajmuj si tworzeniem systemów komputerowych su cych potrzebom u ytkowników.
Z tym pogldem wi e si paradygmat technokratyczny, który postuluje po-rzucenie w informatyce metod formalnych na rzecz in ynieryjnych. Metody te s odpowiedniejsze nie tylko podczas tworzenia specyfikacji programów i samych systemów komputerowych, ale przede wszystkim w procesie ich weryfikacji.
Zwolennicy traktowania informatyki jako in ynierii twierdz, e aby tworzy_ niezawodne systemy komputerowe, nale y dopuci_ inne ni formalne metody badania ich poprawnoci, w tym testowanie. Uruchamiajc program dla reprezen-tatywnego zestawu danych wejciowych, sprawdza si, czy dziaa on poprawnie. Wybór tych danych jest niezwykle istotny, gdy wikszoci programów nie mo na uruchomi_ dla wszystkich mo liwych „wej_”, jest ich bowiem bardzo du o, mo e nawet nieskoqczenie wiele. W wyniku takiego sprawdzenia nigdy nie osignie si absolutnej pewnoci co do poprawnoci dziaania programu, mo na natomiast znale_ w nim bdy, które nale y usun_. Stanowi to jeden z naj-czciej wysuwanych zarzutów wobec testowania jako metody weryfikacji pro-gramów. Czy jednak konieczne jest wymaganie od programu absolutnej po-prawnoci?
W celu okrelenia poziomu niezawodnoci jakiego urzdzenia bd te pro-duktu powstajcego w procesie tworzenia oprogramowania in ynierowie u ywaj metod statystycznych. Nie ma tu miejsca na metody formalne (DE MILLO 1979). Wa ne jest tylko to, czy dany produkt odpowiada stawianym mu wymaganiom – czy np. jego awaryjno_ nie jest wiksza ni z góry zakadana.
Oczywicie mo liwo_ formalnego udowodnienia poprawnego dziaania pro-gramów i urzdzeq byaby bardzo po dana – w szczególnoci dotyczy to
apli-9
kacji, w których bardzo wa ne jest zapewnienie bezpieczeqstwa takim systemom, jak kontrola lotów, nadzór elektrowni atomowych, programy wspomagajce prac lekarzy (w tym diagnostyczne), zabezpieczanie operacji giedowych czy te kon-trola i ograniczanie dostpu w bankach. Niestety, obecnie aden producent sys-temów informatycznych nie mo e przedstawi_ formalnego dowodu poprawnego dziaania swojego produktu. Co wicej, nie da si sprawdzi_ waciwego funkcjo-nowania du ych systemów komputerowych (zo onych z setek programów po-czonych sieciami komputerowymi) empirycznie, gdy nie jest mo liwe chocia by przewidzenie wszystkich mo liwych wej_ (dla których poddajemy taki system sprawdzeniu), a co dopiero ich przetestowanie (MACKENZIE 1992). Z praktycznego punktu widzenia prace nad stworzeniem formalnych dowodów poprawnoci pro-gramów nie maj sensu (SAVITZKY 1989), gdy bardzo wiele z nich (mo e nawet wikszo_), dziaajcych i u ytecznych w praktyce, jest formalnie niepoprawnych10. Co wicej, jeli nawet uda si poda_ dowód poprawnoci programu jako takiego, nie gwarantuje to jego prawidowego dziaania w poczeniu z innymi programami. A przecie wspóczenie tworzone aplikacje skadaj si z wielu komponentów… Mo e wic rzeczywicie „[…] programowanie jest bardziej sztuk ni nauk”11, a informatyka powinna znale_ si poza tradycyjn klasyfikacj nauk?
INFORMATYKA JAKO NOWA DYSCYPLINA
Jak staralimy si pokaza_, informatyka jako nauka jest blisko zwizana z matematyk, logik i in ynieri, a informatycy wykorzystuj w swojej pracy za-równo metody formalne, jak i eksperyment (DENNING 1985). Informatyka jednak nie jest ani nauk formaln, ani eksperymentaln, ani te dziedzin in ynierii.
Informatyka nie jest nauk formaln na wzór matematyki. Ró ni si od niej, poniewa matematycy maj do czynienia z twierdzeniami, procesami nieskoqczo-nymi i relacjami statycznieskoqczo-nymi, informatycy natomiast badaj algorytmy, konstruk-cje skoqczone i relakonstruk-cje dynamiczne. Z warunkiem realizowalnoci nieodcznie zwizana jest skoqczono_, podczas gdy matematycy operuj w swych badaniach pojciem nieskoqczonoci. Informatycy potrzebuj relacji dynamicznych do kon-struowania modeli wiata, matematycy na ogó ograniczaj si do relacji
statycz-10
Wynika to chocia by z niedokadnoci reprezentacji liczb rzeczywistych w komputerze. Licz-by rzeczywiste s reprezentowane w komputerach z pewnym przybli eniem, a nie dokadnie. Wyni-ki zatem otrzymane w dziaaniach na taWyni-kich liczbach mog by_ w najlepszym razie prawidowymi przybli eniami wyników poprawnych.
11
nych. Dziki algorytmom natomiast przesuwa si centrum zainteresowania z mo-deli statycznych (w matematyce) do analizy procesów i automatyzacji (w infor-matyce). Matematycy pracuj zazwyczaj w oderwaniu od rzeczywistoci fizycz-nej, podczas gdy praca informatyków jest z ni blisko zwizana: programy komputerowe prowadz samoloty, kieruj ruchem ulicznym, s czci wik-szoci sprztu AGD, z jakim obcujemy na co dzieq w naszych domach.
Informatyka jednak, podobnie jak i matematyka, jest niezbdnym narzdziem w ró norodnych dyscyplinach nauki. Obejmuje ona zarówno teori, jak i ekspery-ment, podobnie jak wikszo_ nauk eksperymentalnych. Metody naukowe (w tym eksperymenty) znale_ mo na zarówno w zastosowaniach informatyki (symulacje komputerowe), jak i w niej samej. Eksperyment w informatyce wykorzystywany jest jednak inaczej ni np. w fizyce bd biologii. Najczciej nie su y bowiem do potwierdzania lub obalania hipotez teoretycznych, ale do ustalania mo liwoci realizacji nowych algorytmów i systemów (DENNING 1999). Testowanie algoryt-mów przez tworzenie realizujcych je prograalgoryt-mów ma na celu sprawdzenie pew-nych zagadnieq praktyczpew-nych, które mogyby zosta_ pominite w formalpew-nych do-wodach wasnoci algorytmów, a nie usterek w samych tych dodo-wodach. Tak wic wyniki eksperymentów mog prowadzi_ do stworzenia bardziej realistycznych modeli, a to z kolei sprzyja powstawaniu bardziej adekwatnych teorii.
Nie mo na tak e uzna_ informatyki za nauk przyrodnicz, poniewa nauki przyrodnicze badaj twory natury (atomy, komórki, gwiazdy, planety itp.), infor-matycy za sami tworz badane przez siebie obiekty. Oczywicie, jeli uznamy, e informatyka bada informacj, równie informacj naturaln, powszechnie wy-stpujc w przyrodzie (zauwa my, e nie jest to pogld powszechnie przyjty), to mo na by pokusi_ si o twierdzenie, e jednak jest ona nauk przyrodnicz12. Rozwa ajc natomiast powizanie informatyki z in ynieri, musimy stwier-dzi_, e jest ono znacznie silniejsze ni midzy naukami cisymi a ich in ynieryj-nymi odpowiednikami (przykadem mo e by_ chemia i in ynieria chemiczna). Wynika to zarówno z tego, e rozwój elektroniki ma istotny wpyw na wybór, które problemy informatyki s interesujce, jak i z tego, e wiele metod algoryt-micznych zostao zaprojektowanych pierwotnie do rozwizywania problemów in ynieryjnych. Co wicej, komputery stay si do tego celu niezastpione – w sy-stemach projektowania CAD, symulatorach, sterowaniu produkcj itd. (DENING 1999). Dlatego te niektórzy twierdz, e informatyka jest dziedzin in ynierii. Trzeba jednak podkreli_, e nie jest ona po prostu sum zastosowaq komputerów do ró nych problemów.
12
Istota informatyki jest niezale na od zastosowaq, abstrakcyjna i bada si j m.in. za pomoc technik formalnych. Informatycy zajmuj si praktycznym za-stosowaniem matematyki, szukajc odpowiedzi na pytania: Jakie algorytmy mo -na obecnie zastosowa_ do obliczenia pierwiastków rówmo -nania? Jakie zasoby s potrzebne do wykonania tych obliczeq? Jak mo na oszacowa_ ich bdy? W ja-kim jzyku mo na opisa_ dany algorytm? Jakiego sprztu on wymaga?
Jest zatem informatyka, podobnie jak matematyka, narzdziem abstrakcyjnym, ró norako stosowanym (GORN 1963), a nie tylko dziedzin in ynierii. A czym jest jako nauka? Uzna_ j mo na za mod nauk skadajc si z czci deduk-cyjnej, eksperymentalnej oraz in ynieryjnej. Ró ni si przy tym tak bardzo od innych nauk, e nale y traktowa_ j jako now dyscyplin, która w tradycyjnym ich podziale nie pasuje do adnej z grup. Aby uwypukli_ ten fakt, niektórzy badacze postuluj zmian jej nazwy.
Juris Hartmanis i Herbert Lin proponuj computer science and engineering, co ma wyranie wskazywa_ na to, e informatycy traktuj badane obiekty zarówno w sposób naukowy, jak i in ynieryjny. Termin „in ynieria” w powy szej nazwie odnosi si do zastosowaq praktycznych – budowania sprztu i oprogramowania, natomiast „teoria” zwraca uwag na wszystkie nieeksperymentalne jej dziay, zmierzajce do budowania podstaw matematycznych dla opisywania, wyjaniania i rozumienia ró nych aspektów obliczalnoci.
Jeszcze wikszy nacisk na zwizek informatyki z zagadnieniami obliczalnoci kadzie Paul Abrahams, proponujc nastpujc definicj13:
Moja osobista definicja dyscypliny i jej nazwa to „computology”: nauka o procesach obliczalnych i sposobach, w jaki mog by_ one realizowane14.
INFORMATYKA A OBLICZANIE
Wielu naukowców twierdzi, e trzecim paradygmatem nauki, po teorii i ekspe-rymencie, staje si obecnie obliczanie, a wspóczesna nauka to nauka obliczenio-wa. Warto zatem zastanowi_ si, czym jest obliczanie i jaki ma zwizek z infor-matyk jako nauk, szczególnie, e twierdzi si czsto, i informatyka jest nauk o obliczaniu lub obliczalnoci.
13
Równie inni naukowcy proponowali zmian nazwy dyscypliny z computer science (która
sugeruje jej bliski zwizek z naukami cisymi) na np. computics (MCKEE 1995) lub computing
science (DIJKSTRA 1999), podkrelajce jej zwizek z obliczaniem.
14
Jim Foley (FOLEY 2002) uwa a, e obliczanie to informatyka oraz jej zwizek z innymi dyscyplinami naukowymi. Pojcie obliczania peni tu rozmaite funkcje:
informuje o ró norakich zastosowaniach komputerów w yciu czowieka – od powa nych obliczeq a do rozrywki;
pokazuje wa ne problemy, które mog zyska_ rozwizanie dziki informatyce;
stawia przed informatykami nowe problemy badawcze;
wpywa na architektur oraz wasnoci fizycznych artefaktów, które wyko-nuj obliczenia oraz przechowuj i transmituj informacj.
Informatyka zatem to nie jest obliczanie. Foley pisze:
[…] gdy mówi o obliczaniu i informatyce, mówi o dwóch ró nych dyscyplinach a nie tylko o badaniach w obrbie dyscyplin15.
Obliczanie jako nauka zawiera informatyk, a wic czy gbokie pytania teo-retyczne dotyczce natury obliczania i informacji z dziedzinami, w których u ywa si komputerów (lub w których powinny one by_ u ywane). Trudno jest wskaza_ wyran granic midzy informatyk a obliczaniem. Wielu informatyków pro-wadzi badania z zakresu obliczania. Wa nym aspektem takich badaq jest ich inter-dyscyplinarno_, powodujca, e ani obliczanie, ani inne dyscypliny nauki nie mog niezale nie od siebie stworzy_ nowej wiedzy. Dla zilustrowania zwizków midzy informatyk, obliczaniem, technologi informacyjn a nauk obliczenio-w (ang. computational science) Foley przedstawia nastpujcy schemat:
Ilustracja pokazuje, e informatyka jest tylko fragmentem obliczania jako nauki, zawierajcym m.in. podstawy obliczalnoci.
15
ZAKOCZENIE
Na podstawie przedstawionych rozwa aq mo na przyj_, e informatycy wy-korzystuj w swej pracy zarówno eksperymenty, jak i rozwa ania teoretyczne. Oczywiste jest, e wyniki tych prac znaczco wpywaj na osignicia w wielu innych dziedzinach nauki, np. w ekonomii, naukach spoecznych, naukach fizycz-nych, biologicznych czy w in ynierii.
Trudno jednak da_ pen odpowied na pytanie o miejsce informatyki w tra-dycyjnym podziale nauk. Nie jest ona bowiem cakowicie nauk formaln, cho_ podobnie jak matematyka jest u ytecznym narzdziem uprawiania wielu innych dyscyplin. Nie jest ona tak e jedynie dyscyplin eksperymentaln bd nauk przyrodnicz, poniewa zarówno obiekt badaq, jak i wykorzystywanie ekspe-rymentu jako metody badawczej w informatyce znacznie odbiega od przedmiotu i metod badaq stosowanych w innych naukach dowiadczalnych. Podobnie te nie uznamy jej za in ynieri, albowiem istot jej nie jest tylko rozwizywanie prob-lemów z wykorzystaniem komputerów.
Czym zatem jest informatyka? Jakie jest jej miejsce wród innych nauk? To podstawowe i nadal otwarte pytanie o to samo_ informatyki jako nauki jest nie tylko problemem czysto filozoficznym, ma tak e swoje konsekwencje praktycz-ne. Pomaga bowiem odpowiedzie_, w jaki sposób i gdzie ksztaci_ informatyków: na uniwersytetach obok wydziaów matematyki (lub nawet w ich obrbie) czy te na politechnikach i w innych szkoach technicznych.
Polska klasyfikacja dziedzin nauki i techniki z 2006 r. (znale_ j mo na m.in. w bazie „Nauka Polska”16) umieszcza informatyk (znajdujc si w grupie „1.3. Nauki o komputerach i informatyka)” wród nauk przyrodniczych razem z mate-matyk (!), biologi i chemi, wszelako z zastrze eniem, e „opracowywanie sprztu komputerowego” nale y do: „2.2 Elektrotechnika, elektronika, in yniera informatyczna” (do nauk in ynieryjnych i technicznych), a aspekty spoeczne informatyki nale do: „5.8 Media i komunikowanie” (do nauk spoecznych). Oczywicie nie rozwizuje to filozoficznego sporu o to samo_ informatyki, daje jednak pewien wgld w pojmowanie jej miejsca przez cz_ naukowców.
Przyj_ mo na, e wspóczenie przewa a interdyscyplinarne rozumienie informatyki, z którym wi e si równie specyficzne miejsce, jakie zajmuje ona poród innych nauk. Jak sdz niektórzy badacze, informatyka jest po czci nauk przyrodnicz, ale tak e matematyczn czy techniczn, poniewa zagad-nienia, którymi si zajmuje, s kombinacj tradycji empirycznych, matema-tycznych i in ynieryjnych.
16
REFERENCJE
ABRAHAMS Paul (1987), What Is Computer Science?, „Communications of the ACM” 30(6), s. 472-473. BONDECKA-KRZYKOWSKA Izabela (2010a), O zwi;zkach informatyki z matematyk;, „Filozofia Nauki”
1, s. 77-89.
BONDECKA-KRZYKOWSKA Izabela (2010b), Paradygmaty informatyki, [w:] wiaty matematyki.
Two-rzenie czy odkrywanie?, red. Izabela Bondecka-Krzykowska, Jerzy Pogonowski, Poznaq:
Wy-dawnictwo Naukowe UAM 2010, s. 117-134.
BONDECKA-KRZYKOWSKA Izabela (w druku), O obiekcie bada~ informatyki.
BROOKS Frederick (1996), The Computer Scientists as Toolsmith II. „Communications of the ACM” 39(3), s. 61-68.
COLBURN Timothy R. (2000), Philosophy and Computer Science, Armonk, NY: M.E. Sharpe.
DE MILLO Richard A., LIPTON Richard J., PERLIS Alan J. (1979), Social Processes and Proofs of
Theorems and Programs, „Communications of Association for Computing Machinery” 22,
s. 271-280.
DENNING Peter J. (1985), What Is Computer Science?, „American Scientists” 73, s. 16-19.
DENNING Peter J. (1999), Computer science: the discipline, [w:] Encyclopedy of Computer Science, ed. Anthony Ralston, David Hemmendinger, John Wiley and Sons Ltd. (publikacja 2000). DIJKSTRA Edsger W. (1974), Programing as a Discipline of Mathematical Nature, „The American
Mathematical Manthly” 81 (6), s. 608-612.
DIJKSTRA Edsger W. (1986), On a cultural gap, „The Mathematical Intelligencer” 8 (1), s. 48-52.
EDEN Amnon H. (2007), Three Paradigms of Computer Science, „Minds and Machines” 17, s. 135-167.
FOLEY James (2002), Computing > Computer Science, „Computing Research News” 14 (4), s. 6.
GORN Saul (1963), The computer and information sciences: a new basic discipline, „SIAM Review”
5 (2), s. 150-155.
HALL Anthony (1990), Seven myths of formal methods, „IEEE Software” 7 (5), s. 11-19.
HAMMING Richard W. (1969), One man’s view of computer science, „Journal of the ACM” 16 (1), s. 3-12.
HARTMANIS Juris (1993), Some Observations about the Nature of Computer Science, [w:]
Founda-tions of Software Technology and Theoretical Computer Science: 13th Conference, Bombay, India, December 15-17, Proceedings, ed. Rudrapatna K. Shyamasundar, Lecture Notes in
Com-puter Science 761, Berlin: Springer-Verlag, s. 1-12.
HARTMANIS Juris, LIN Herbert (1992), What Is Computer Science and Engineering? [w:] Computing
the Future: A Broader Agenda for Computer Science and Engineering, ed. Juris Hartmanis,
Herbert Lin, Washington: National Academy Press, s. 163-216.
HOARE C[harles] A[ntony] R[ichard] (1969), An Axiomatic Basic for Computer Programming,
„Communications of the Association for Computing Machinery” 12 (10), s. 576-580.
HOARE C[harles] A[ntony] R[ichard] (1989), The Mathematics of Programming, [w:] Essays in
Computing Science” red. C[harles] A[ntony] R[ichard] Hoare, Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NY.
KNUTH Donald E. (1974), Computer science and its relation to mathematics, „The American
Ma-thematical Monthly” 81 (4), s. 323-343.
MACKENZIE Donald (1992), Computers, Formal Proofs and the Law Courts, „Notices of the Ame-rican Mathematical Society” 39, s. 1066-1069.
MAHONEY Michael S. (2002), Software as Science—Science as Software, [w:] History of
Com-puting: Software Issues, red. Ulf Hashagen, Reinhard Keil-Slawik, Arthur L. Norberg, Berlin:
Springer Verlag.
MCKEE George (1995), Computer science or simply ‘computics’? The open channel, „Computer”
NEWELL Allen,SIMON Herbert A. (1976), Computer science as empirical inquiry, „Communications of the Association for Computing Machinery” 19 (3), s. 113-126.
PIERCE John R. (1968), Keynote address. Conference on Academic and Related Research programs
in Computing Science (5-8 June 1967).
SAVITZKY Steve (1989), Letter in the Technical Correspondence section. „Communications of Asso-ciation for Computing Machinery” 32 (3), s. 375-376.
SHAPIRO Stuart C. (2001), Computer Science: The Study of Procedures (mps).
TEDRE Matti (2011), Computing as a Science: A Survey of Competing Viewpoints, „Minds and
Ma-chines” 21, s. 361-387.
TICHY Walter F. (1998), Should Computer Scientists Experiment More? „Computer” 31 (5), s. 32-40.
INFORMATYKA JAKO NAUKA S t r e s z c z e n i e
Artyku ten jest prób odpowiedzi na pytanie o status informatyki jako dyscypliny wiedzy oraz o miejsce, jakie zajmuje ona poród innych nauk.
Wród informatyków i filozofów dominuj cztery pogldy dotyczce statusu informatyki jako nauki. Pierwszym z nich jest twierdzenie, e informatyka to ga matematyki. Je eli podstawow dziaalnoci informatyków jest pisanie programów – dziaalno_ matematyczna – to informatyka jest po prostu dziaem matematyki, czyli nauk formaln. Nie wszyscy jednak badacze zgadzaj si z tym pogldem, twierdzc, e pisanie programów to rodzaj eksperymentu, a informatyka jest nauk przyrodnicz. Eksperymentowanie za pomoc komputerów jest czym wicej ni tylko metod pomocnicz w innych naukach, odgrywa bowiem istotn rol równie w obrbie samej informatyki. Wielu informatyków uwa a jednak, e traktowanie uprawianej przez nich dyscypliny jako nauki formalnej lub przyrodniczej jest niewaciwe, poniewa zaniedbuje podstawowe stawiane przed ni zadanie – rozwizywanie problemów z wykorzystaniem komputerów. Informatyka jest zatem ga-zi in ynierii. Innym dominujcym obecnie pogldem jest traktowanie informatyki jako nowej dys-cypliny wiedzy, która wykorzystuje zarówno osignicia in ynierii, jak i metody formalne i ekspe-rymentalne. Sama nie jest jednak ani gazi matematyki, ani nauk przyrodnicz, ani te dziedzin in ynierii.
COMPUTER SCIENCE AS A BRANCH OF KNOWLEDGE S u m m a r y
The article is an attempt to answer the question of the status of computer science as a branch of knowledge and its place among other disciplines. Four views on the status of computer science as a branch of knowledge dominate nowadays among computer scientists and philosophers. The first of them is a claim that science is a branch of mathematics. Because writing programs is a basic activity of computer scientists, which is in fact a mathematical activity, so a computer science is a formal science, simply a party of mathematics. But not all agree with this view—some specialists claim that writing computer programs is a kind of experiment and that computer science is a natural science. Experimenting using computers is not only a supporting method in other sciences but it plays an important role within the very computer science. However, many computer scientists believe that treating their discipline as a formal or natural science neglects the basic objective of computer science, i.e. problem solving using computers. So computer science is not a science at all, it is an engineering discipline. The fourth, currently dominating view claims that computer science
is a new discipline of knowledge that uses engineering, experimental and formal methods. But it is neither a branch of mathematics, nor a natural science, nor an engineering discipline.
Summarised by Izabela Bondecka-Krzykowska
Sowa kluczowe: informatyka, dziedzina nauki, obliczanie. Key words: computer science, branch of science, computing.
Information about Author: IZABELA BONDECKA-KRZYKOWSKA, PhD—Department of Mathe-matical Logic at the Faculty of Mathematics and Computer Science at the Adam Mickiewicz University; address for correspondence: ul. Umultowska 87, PL 61-614 Poznaq; e-mail: izab@amu.edu.pl
