Maritime University of Szczecin
Akademia Morska w Szczecinie
2008, 13(85) pp. 10‐14 2008, 13(85) s. 10‐14
Problem wykrycia i problem pokrycia
Problem of detecting objects and of covering an area
Włodzimierz Filipowicz, Tomasz Neumann
Akademia Morska w Gdyni, Katedra Nawigacji 81-345 Gdynia, al. Jana Pawła II 3, tel. 058 620 10 25 e-mail: wnkpisk@am.gdynia.pl, netom@am.gdynia.plSłowa kluczowe: matematyczna teoria ewidencji, fuzja danych nawigacyjnych Abstrakt
Radar jest przykładem urządzenia nawigacyjnego, za pomocą którego możliwe jest monitorowanie obszarów wodnych. Charakteryzuje się on, jak każde urządzenie techniczne, pewnym ograniczonym poziomem funk-cjonalności oraz niezawodności. Rozmieszczenie stacji obserwacyjnych w taki sposób, aby prawdopodobień-stwo wykrycia dowolnego obiektu w dowolnym miejscu było większe od zadanej wartości progowej, jest zadaniem optymalizacyjnym. Sformułowanie oraz metoda rozwiązania powyższego zadania zostały przed-stawione w prezentowanym artykule.
Key words: mathematical evidence theory, navigational data fusion Abstract
The radar is an example of a navigational device which enables monitoring of the sea areas. As every techni-cal device, it is characterized by a certain limited level of functionality and reliability. Arranging observation stations so that plausibility of detecting any object at any place is greater than the threshold value is an opera-tional research task. Formulation of the problem and the methods for solving it are presented in the paper. Teoria Dempstera–Shafera
Inżynieria ruchu morskiego jest przykładem dziedziny, której modelowanie wymaga odwołania się do niepełnych danych, jak i niepewnych wielko-ści. Modelowanie niepewności zapewniają między innymi sieci bayesowskie. Modelowanie bayesow-skie jest dosyć szeroko stosowane. Pozostaje ono w użyciu najdłużej w porównaniu z podobnymi. Jednakże operowanie prawdopodobieństwem jako jedyną reprezentacją niepewności okazuje się nie-wystarczające. Z tego powodu poszukuje się bar-dziej uogólnionych modeli niepewności. Jednym z często podnoszonych problemów jest przetwa-rzanie atrybutów przyjmujących różne liczby war-tości w zależności od rozpatrywanych obiektów.
Matematyczna Teoria Ewidencji, zwana też teo-rią Dempstera–Shafera (DST), pozwala modelować niepewność, jak też i operować na atrybutach
o zmiennej liczbie wartości. Teoria DS operuje stosownym aparatem matematycznym w warun-kach subiektywności ocen. Wykorzystuje ona po-ziom przekonania i domniemania do modelowania rozmycia ocen. Z tego powodu teoria DS jest po-krewna logice rozmytej. Przedział wartości wystę-puje w jednym i drugim przypadku. Wspólne też są zasady arytmetyki przedziałowej i jak pokazuje doświadczenie, mogą być wykorzystane w inżynie-rii ruchu statków [1].
Teoria DS jest bardzo elastyczna. Stopnie prze-konania (domniemania) przypisuje się zdarzeniom, które mogą mieć charakter indywidualny, jak i gru-powy. Przypisanie stopni przekonania zdarzeniom i ich grupom związane jest ze zdefiniowaniem roz-kładu przekonań. Teoria DS pozwala na wyprowa-dzenie stopni przekonania czy domniemania dla danej opcji, korzystając z odpowiednich wielkości dla opcji pokrewnych. Te stopnie przekonania
mogą nie mieć matematycznych własności prawdo-podobieństwa [2]. 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1 5 9 13 17 21 przekonanie domniemanie
Rys. 1. Funkcje przekonania i domniemania dla możliwości wykrycia obiektu przez stację radarową
Fig. 1. Conviction and supposition functions for the possibility of detection of an object by the radar station
Teoria Dempstera–Shafera w inżynierii ruchu statków
Radar jest jednym z urządzeń, za pomocą które-go prowadzony jest monitoring obszarów wodnych. Jak każde urządzenie techniczne, charakteryzuje się pewnym ograniczonym poziomem funkcjonalności oraz niezawodności w sensie realizacji podstawo-wych swoich zadań. Możliwość wykrywania obiek-tów jest bardzo ważnym parametrem każdego urzą-dzenia tego typu. Współczesne radary są w stanie wykryć obiekty pływające na znacznych odległo-ściach. Można zaryzykować twierdzenie, że przy dobrych warunkach hydrometeorologicznych za-sięg ich jest zaza-sięgiem horyzontalnym. Oczywiście zdolność wykrywania zależy od tak zwanej sku-tecznej powierzchni odbicia, która to cecha związa-na jest przede wszystkim z wielkością danej jed-nostki. Ważnym parametrem jest też zanurzenie statku, które z kolei zmniejsza część nadwodną wpływającą bezpośrednio na wielkość powierzchni odbicia. Wykrywanie mniejszych jednostek na wzburzonym morzu może dostarczać kłopotów. Stwierdzenie, czy jednostka określonego typu zo-stanie w danych warunkach wykryta czy nie, zależy od odległości od stacji obserwacyjnej, stanu morza i charakterystyki radaru.
Możliwość wykrycia jest pewną funkcją odle-głości. W bezpośrednim sąsiedztwie stacji wartość tej funkcji osiąga pewną, stosunkowo wysoką war-tość. Potem rośnie, aby przy określonej odległości osiągnąć wielkość graniczącą z pewnością, po czym opada aż do poziomu osiąganego na granicy zasięgu urządzenia. Zasięg taki w warunkach nor-malnej refrakcji można uważać za zasięg horyzon-talny. Przykładowy przebieg takiej funkcji
pokaza-no na rysunku 1. Pokazuje on dwa wykresy. Jeden z nich obrazuje wartość przekonania (ang. belief) o wykryciu jednostki pływającej określonego typu w funkcji odległości dla zadanych warunków. Dru-gi wykres przedstawia wartość domniemania (ang. plausibility) na temat takiego zdarzenia. Przekona-nie należy utożsamiać z poziomem wiary w to, że pewne zjawisko będzie miało miejsce. W przyto-czonym przykładzie poziom przekonania o wykry-ciu danego obiektu w odległości 15 mil od stacji obserwacyjnej wynosi 0,5. W przytoczonych wa-runkach wartość ta odpowiada też sukcesowi, jest to poziom powodzenia. Granicę domniemania o wykryciu określa wartość 0,6. Powstały przedział o wielkości 0,1 jest przedziałem niepewności. Wykrycie obiektu może mieć miejsce, ale związane to jest z wątpliwościami w subiektywnej opinii oceniającego. Poziom powyżej granicy 0,6 repre-zentuje przeświadczenie o tym, że rozpatrywane zdarzenie nie będzie miało miejsca. W czterech przypadkach na 10 oceniający ma przeświadczenie, co do niemożliwości wykrycia obiektu w rozpatry-wanej odległości. Odpowiada to rodzajowi porażki, niepowodzenia w wykrywaniu obiektów. Na ry-sunku 1 zaznaczono zakresy przekonania o wystą-pieniu zjawiska, niepewności, co do zaistnienia tego zdarzenia i przeświadczenia o jego niewystą-pieniu.
Analiza drzewa zdarzeń
Analiza drzewa zdarzeń jest narzędziem pozwa-lającym na metodyczną charakterystykę niezawod-nościową dowolnego systemu. Drzewo zdarzeń modeluje sekwencję zdarzeń, poczynając od pew-nego punktu początkowego. Na sukces i/lub poraż-kę analizowanego zdarzenia uważanego za począt-kowe składają się odpowiednie parametry charakte-rystyczne źródeł danych bezpośrednio poprzedzają-cych w zadanej strukturze organizacyjnej (rys. 2).
Charakterystyka stacji I – wykrycie – brak wykrycia – niepewność Charakterystyka stacji II – wykrycie – brak wykrycia – niepewność Możliwość wykrycia obiektu
przez jedną z dwóch stacji – przekonanie
– domniemanie
Niemożliwość wykrycia obiektu przez żadną z dwóch stacji
– przekonanie – domniemanie
Rys. 2. Drzewo zdarzeń dla „sukcesu lub porażki” w wykryciu obiektu przez dwie stacje obserwacyjne
Fig. 2. Event tree for “success or defeat” in the object detec-tion by the two observadetec-tion stadetec-tions
Matematyczna teoria ewidencji znalazła zasto-sowanie w analizie drzewa zdarzeń. Szczegóły przedstawiono na przykład w publikacji [3], tam też
wykrycie
przyjęto określać takie podejście skrótową nazwą DS-ETA (Dempster-Shafer Event Tree Analysis).
Przypadek wykrycia obiektu przez dwie stacje obserwacyjne
Analiza drzewa zdarzeń jest pomocna w ocenie możliwości wykrycia pewnego obiektu przez dwie lub więcej stacji monitorujących. W podejściu Dempstera–Shafera przy dysponowaniu charaktery-stykami stacji radarowych wykorzystuje się metodę składania ewidencji, aby ocenić sukces bądź poraż-kę w wykrywaniu obiektów pływających.
Rys. 3. Ocena wykrycia obiektu wymaga znajomości charakte-rystyk stacji obserwacyjnych
Fig. 3. Assessment of the object detection requires knowledge of the characteristics of observation stations
Scenariusz
Dla każdej stacji dana jest jej charakterystyka w postaci zbioru trzech wartości określających możliwości detekcji obiektu w wybranym punkcie. Kolejne pozycje oznaczają sukces (wykrycie) i nie-powodzenie (brak wykrycia). Oprócz sukcesu i po-rażki należy jeszcze uwzględnić niepewność.
Na początku można założyć, że istnieje zbiór dwóch hipotez w postaci:
Ω = {A1, A2} → {wykrycie, brak wykrycia} Zbiór Ω nazywany jest w literaturze ramą dys-kursu. Każdy podzbiór możliwych hipotez Ω ma przypisaną wartość m(Ai) identyfikującą możliwość zajścia danej hipotezy. W niektórych pozycjach literatury mówi się w tym kontekście o prawdopo-dobieństwie określającym prawdziwość danej hipo-tezy. Posługiwanie się prawdopodobieństwem wy-daje się ograniczać zakres stosowania prezentowa-nej metody. Należy zwrócić uwagę na rozbieżności w stosunku do teorii prawdopodobieństwa zawarte w tabeli 1.
W przedstawianej tu dyskusji używane będzie ogólne pojęcie wartości określającej możliwość obowiązywania konkretnej hipotezy. Podobnie jak
w przypadku prawdopodobieństwa będzie to war-tość z przedziału [0, 1], lecz niekoniecznie ostra.
Zbiorem potęgowym zbioru możliwych hipotez Ω jest zbiór wszystkich jego podzbiorów:
P(Ω) = 2Ω = {∅, {A1}, {A2}, {A1, A2}}
Każdy element zbioru potęgowego P(Ω) ma przypisaną wartość identyfikującą możliwość zaj-ścia danego zdarzenia. Elementy zbioru potęgowe-go P(Ω) nazywane są zdarzeniami i mają postać atomowych {A1} i {A2} odnoszących się do każdej z postawionych hipotez oraz złożonych w przykła-dzie {A1, A2}.
Element złożony {A1, A2} wyraża możliwość obowiązywania obydwu hipotez. Przypisaną mu wartość należy rozumieć jako przeświadczenie, co do obowiązywania dwu hipotez jednoczenie, za-równo pierwszej jak i drugiej. W rozpatrywanym przypadku wykrycia i niewykrycia. Jest to wyraz niepewności szacującego poszczególne możliwości.
Z każdym z niepustych elementów zbioru P(Ω) związana jest pewna masa określająca szansę od-powiednio sukcesu m(A1), porażki m(A2) i niepew-ności m(A1∪A2). Dla dwóch stacji mamy macierz
M:
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
∪ ∪ = 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 A A m A m A m A A m A m A m M (1)Należy wyznaczyć parametry ewidencji (prze-konanie, domniemanie) oddzielnie dla sukcesu i porażki wykrycia obiektu w systemie z dwoma stacjami obserwacyjnymi (rys. 4).
Radar I Radar II Możliwość wykrycia obiektu na danym obszarze TAK NIE
Rys. 4. Wykrycie obiektu należy rozpatrywać z punktu widze-nia sukcesu i porażki
Fig. 4. Detection of an object should be considered from the perspective of success and defeat
Odpowiednie masy wynikowe oblicza się zgod-nie z zasadami składania Dempstera–Shafera. Ich zastosowanie do danych z macierzy 1 daje w wyni-ku trzy wielkości pokazane w postaci formuły (2).
Tabela 1. Rozbieżności teorii Dempstera–Shafera w stosunku do teorii prawdopodobieństwa
Table 1. Divergences of the Dempster-Shafer theory in rela-tion to the probability theory
1 m(Ω) = 1 nie wymagane
2 m(A) w zestawieniu z m(¬A) nie obowiązuje 3 jeżeli A ⊂ B ⊆ Ω, to m(A) ≤ m(B) nie wymagane
Analizowany dokładniej będzie przykład dla wartości: = 1 , 0 3 , 0 6 , 0 1 , 0 4 , 0 5 , 0 M (2)
W uogólnionym przypadku należy uwzględnić wszystkie możliwe podzbiory zbioru potęgowego 2Ω: 2Ω Radar 1 Radar 2 {A1} {A2} {A1∪A2} 0,5 0,4 0,1 0,6 0,3 0,1 Teoria Dempstera–Shafera wprowadza funkcję, która łączy wiadomości zawarte w dwóch zbiorach przyporządkowań subiektywnych ocen ekspertów. Proces ten można interpretować jako aktualizację wiedzy o zdarzeniu wynikowym. W rezultacie otrzymujemy nowe podzbiory możliwych hipotez z nowymi wartościami charakteryzującymi możli-wość wystąpienia poszczególnych opcji. Proces ten może być kontynuowany tak długo, jak długo na-pływają nowe przesłanki. Funkcja ta nazwana jest regułą kombinacji DS.
Reguła kombinacji Dempstera–Shafera
Niech Ω będzie zbiorem hipotez, m1 i m2 funk-cjami przyporządkowania możliwości na Ω, wtedy m(Z) jest funkcją:
( )
( )
( )
( )
( )
∑
∑
=∅ ∩ = ∩ ∗ − ∗ = Z Y X Z Y Y m Y m Y m Y m Z m 2 1 2 1 1Jest to zasadniczy element teorii Dempstera– Shafera i można go interpretować jako aktualizację wiedzy. W rezultacie otrzymujemy nowe podzbiory możliwych hipotez z nowymi wartościami charak-terystycznymi. Proces ten może być kontynuowany dla nowych przesłanek.
Zestawienie dwóch kompletów danych dla roz-patrywanego przypadku wygląda następująco:
m2{A1} m2{A2} m2{A1∪A2} m1{A1} A1 ∅ A1 m1{A2} ∅ A2 A2 m1{A1∪A2} A1 A2 A1∪A2 m2{A1} m2{A2} m2{A1∪A2} 0,6 0,3 0,1 m1{A1} 0,5 0,3 0,15 0,05 m1{A2} 0,4 0,24 0,12 0,04 m1{A1∪A2} 0,1 0,06 0,03 0,01
Zgodnie z regułą kombinacji DS należy znaleźć wszystkie te podzbiory, które nie zawierają części wspólnej (ΣY∩Z=∅m1(Y)∗m2(Y)). W analizowanym przypadku są to jedynie:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0,4 0,6 0,24 15 , 0 3 , 0 5 , 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = A m A m Z m A m A m Z mWyrażenie ΣY∩Z=∅m1(Y)∗m2(Y) wynosi zatem:
( )
( )
∑
=∅ ∩ = + = ∗ Z Y Y m Y m1 2 0,15 0,24 0,39 zaś( )
( )
∑
=∅ ∩ = − = ∗ − Z Y Y m Y m 1 0,39 0,61 1 1 2Kontynuując obliczenia zgodnie z regułą kom-binacji DS dla każdej z hipotez, należy obliczyć nowe wartości funkcji gęstości prawdopodobień-stwa.
Wyrażenie zawarte w liczniku wzoru kombina-cji DS (ΣY∩Z=X m1(Y)∗m2(Y)) dla poszczególnych hipotez przybiera wartość:
( )
( ) ( )
( ) (
)
(
1 2) ( )
2 1 0,3 0,05 0,06 0,41 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 = + + = ⋅ ∪ + + ∪ ⋅ + ⋅ = A m A A m A A m A m A m A m A l( )
( ) ( )
( ) (
)
(
1 2) ( )
2 2 0,12 0,04 0,03 0,19 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 = + + = ⋅ ∪ + + ∪ ⋅ + ⋅ = A m A A m A A m A m A m A m A l(
A1∪A2)
=m1(
A1∪A2) (
⋅m2 A1∪A2)
=0,01 lOstateczne wartości zgodnie z regułą kombina-cji DS są odpowiednim ilorazem.
Końcowe wyniki są przedstawione następująco:
( )
( )
(
)
0,02 61 , 0 01 , 0 31 , 0 61 , 0 19 , 0 67 , 0 61 , 0 41 , 0 2 1 2 1 = = ∪ = = = = A A m A m A m z z zNa podstawie podanych zależności parametry ewidencji wynikowej: przekonanie (bel) i domnie-manie (pl) odpowiednio dla sukcesu i porażki przedstawia formuła (3):
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2( )
2(
1 2)
2 2 2 1 1 1 1 1 A A m A m A pl A m A bel A A m A m A pl A m A bel z z z z z z ∪ + = = ∪ + = = (3)Proces składania można kontynuować. Wynik złożenia określony formułą (2) staje się wtedy argumentem w kolejnej operacji. Wprowadzenie
dodatkowej stacji obserwacyjnej, pokrywającej swym zasięgiem rozpatrywany rejon, daje możli-wość podniesienia poziomu przekonania o wykry-ciu dowolnego obiektu aż do osiągnięcia i/lub prze-kroczenia wymaganej wartości.
Optymalizacyjny problem pokrycia monito-rowanego obszaru
Z powyższych rozważań wynika, że istnieje możliwość zastosowania teorii Dempstera–Shafera do celów właściwego rozmieszczenia stacji rada-rowych w ramach opracowywanej koncepcji sys-temu monitorowania ruchu. Właściwa alokacja stacji może stać się optymalną po zdefiniowaniu zbioru kryteriów i funkcji celu.
Pokrewnym problemem jest weryfikacja jakości istniejącego systemu monitorowania ruchu statków z punktu widzenia możliwości detekcji różnego typu obiektów. Jeszcze innym, morskim zastoso-waniem składania ewidencji w wyżej przedstawio-ny sposób jest analityczne podejście do rozmiesz-czenia jednostek ratowniczych podczas akcji po-szukiwania i ratowania SAR.
Optymalizacyjny problem rozmieszczenia stacji obserwacyjnych dla potrzeb monitorowania ruchu można sformułować następująco:
Dane:
– zbiór punktów charakterystycznych P, w któ-rych poziom wykrycia dowolnego obiektu jest kontrolowany;
– zbiór Q możliwych lokalizacji stacji. Poszukiwany:
– podzbiór zbioru Q taki, aby w każdym punk-cie charakterystycznym poziom wykrycia dowolnego obiektu nie był niższy niż zadana wartość C.
Formalny zapis tego stwierdzenia przedstawia formuła (4).
{ }
{ }
{ }
{ }bel( )
A C l k Q r R n j q Q m j p P i r p r p k j j i j i j > = ⊆ = = = = = =1,..., 1 ,V
,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , αΛ
(4)Problem ten jest optymalizacyjnym problemem dyskretnym o złożoności wykładniczej. Tak na-prawdę zawiera w sobie podproblem minimalizacji liczby stacji obserwacyjnych oraz rozmieszczenia tych stacji na zadanym obszarze. Pierwszy z wy-mienionych podproblemów można rozwiązać z użyciem teorii grafów. Drugi zaś jest szczegól-nym problemem przydziału. Z uwagi na szczupłość
miejsca dokładna analiza obydwu problemów zo-stanie przedstawiona w oddzielnym opracowaniu.
Podsumowanie
W artykule przedstawiono wykorzystanie Ma-tematycznej Teorii Ewidencji do oceny możliwości wykrycia obiektów przez radarowe stacje monitoru-jące. Z poziomu wykrycia obiektów łatwo przejść do optymalizacyjnego problemu pokrycia nadzo-rowanego obszaru. Rozwiązanie tego zadania po-zwala na takie rozmieszczenie stacji obserwacyj-nych i w taki sposób, aby przekonanie o wykryciu było większe o założonej wielkości. Odpowiedni poziom przekonania uzyskuje się w wyniku pokry-cia analizowanego zbioru punktów przez właściwą liczbę stacji radarowych. Składanie ewidencji po-zwala obliczyć odpowiednie parametry dla każdego zbioru urządzeń obserwacyjnych. W treści przed-stawiono szczegółowe dane dla dwóch stacji. Po-wielenie procesu składania jest naturalną cechą MTE.
Punktem wyjściowym dla procesu obliczenio-wego jest charakterystyka każdej ze stacji obserwa-cyjnych. Odpowiednie dane techniczne są udostęp-nione przez producentów sprzętu, są to jednak war-tości mało precyzyjne, wyliczone dla pewnych parametrów hydrometeorologicznych. Potrzebna jest dodatkowa wiedza eksperta, którego subiek-tywne oceny stanowią główne źródło danych wyj-ściowych. Subiektywizm opinii wymaga stosowa-nia odpowiedniego aparatu matematycznego. Ela-styczność teorii ewidencji pozwala na stosowanie wielkości przybliżonych. Określenie mas poszcze-gólnych hipotez w ramach dyskursu z użyciem funkcji przynależności tworzy dodatkowe rozwi-nięcie zakresu zastosowań teorii ewidencji. Pro-blem ten autorzy pozostawiają do dalszej szczegó-łowej analizy.
Bibliografia
1. FILIPOWICZ W.: Data fusion in maritime traffic engineering. Advances in Transport Systems Telematics. J. Mikulski (ed.), Katowice 2007.
2. KŁOPOTEK M. A.: Metody identyfikacji i interpretacje
struk-tur rozkładów przekonań w teorii Dempstera–Shafera. 1998, strona web: http://www.ipipan.waw.pl/~klopotek
3. RAKOWSKY U. K.: Fundamentals of the Dempster–Shafer theory and its applications to system safety and reliability modeling. Materiały konferencji SSARS, Trójmiasto 2007.
Recenzent: dr hab. inż. Wiesław Galor, prof. AM Akademia Morska w Szczecinie
