ZESTAW V Rachunek caªkowy
Zadanie 1. Obliczy¢ podane caªki nieoznaczone:
a) Z x5dx b) Z 3 √ x dx c) Z dx 3 √ x2 d) Z r x q x√x dx e) Z 4xdx f ) Z dx 3x dx g) Z ex+3dx h) Z e2x+ 1 ex dx i) Z x5− 2x3+ 4x x2 dx j) Z (x2− 3)√x dx k) Z x2−√2 3 √ x dx l) Z 2x− 5x 10x dx m) Z e−2x− 4 e−x+ 2 dx n) Z ctg2 x dx o) Z sin2 x 2dx Zadanie 2. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci obliczy¢ podane caªki nieoznaczone:
a) Z xexdx b) Z exsin x dx c) Z x cos2xdx d) Z x2e−xdx e) Z ln x x2 dx f ) Z ln x dx g) Z ln2x dx h) Z x sin x cos x dx Zadanie 3. Stosuj¡c odpowiednie podstawienie obliczy¢ podane caªki nieoznaczone:
a) Z (2x − 5)7dx b) Z cos(3 − 2x) dx c) Z x√x − 3 dx d) Z x√x2+ 1 dx e) Z dx 2 +√x f ) Z x dx (4 + x2)5 g) Z sin√x √ x dx h) Z e √ x dx i) Z e3x 1 + e6xdx j) Z dx √ ex+ 1 k) Z e−4x √ 4 + e−4x dx l) Z tg x dx m) Z sin3x cos4xdx n) Z cos x √ 1 + sin xdx o) Z sin5x cos2x dx Zadanie 4. Obliczy¢ caªki z uªamków prostych pierwszego rodzaju:
a) Z dx x − 4 b) Z dx (x + 2)3 c) Z dx 2x + 3 d) Z dx (3x + 1)2 e) Z dx 5 − 3x Zadanie 5. Obliczy¢ caªki z uªamków prostych drugiego rodzaju:
a) Z dx x2+ 4 b) Z dx 2x2+ 5 c) Z dx x2− 2x + 5 d) Z dx 4x2+ 4x + 5 e) Z x x2+ 3dx f ) Z 2x 4x2+ 5dx g) Z 2x + 3 x2+ 3x + 7dx h) Z x + 2 x2+ 9dx i) Z 2x + 3 x2+ x + 1dx j) Z x + 4 x2+ 4x + 5dx
Zadanie 6. Obliczy¢ caªki nieoznaczone z funkcji wymiernych:
a) Z x + 1 x(x − 3)dx b) Z dx x(x + 1)2 c) Z x2+ 2 x + 2 dx d) Z 3x3+ 5x2− 6x + 1 x2+ x − 2 dx e) Z x2− 5x + 9 x2+ 5x + 6dx
Zadanie 7. Obliczy¢ podane caªki nieoznaczone: a) Z arctg x dx b) Z x sin x dx c) Z 3x52−xdx d) Z x 2xdx e) Z x2√5 5x3+ 1 dx f ) Z dx (2x + 11)4 dx g) Z x3+ 5x2+ 5x + 4 (x2+ 4)(x2+ 4x + 5)dx h) Z 5x3− 4x2− 13x + 4 x4+ 10x2+ 9 dx i) Z dx 1 + 2 cos2x j) Z cos x sin8xdx k) Z x3ln2x dx l) Z e−2xsin x dx
Zadanie 8. Korzystaj¡c z twierdzenia o zwi¡zku mi¦dzy caªk¡ oznaczon¡ a nieoznaczon¡ obliczy¢ podane caªki oznaczone:
a) 1 Z 0 3 √ x dx b) π Z 0 sin x dx c) 2π Z 0 sin x dx d) 2 Z 1 (x3− 2x + 5) dx
Zadanie 9. Korzystaj¡c z twierdzenia o podstawieniu obliczy¢ podane caªki oznaczone:
a) 2 Z −2 dx x2+ 4 b) 3 2 Z 1 x2√3 − 2x dx c) 4 Z 0 dx 1 +√xdx d) e Z 1 ln x x dx e) ln 2 Z 0 √ ex− 1 dx f ) 3 Z 1 x √ x + 1dx g) e Z 1 ln x dx h) 1 2 Z 0 dx √ x(1 − x)
Zadanie 10. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci obliczy¢ podane caªki oznaczone:
a) 0 Z −1 xe−xdx b) ln 3 Z 0 xe−xdx c) Π Z 0 x sin x dx d) 1 Z 0 xarctgx dx e) √ 3 Z 0 xarctgx dx f) 1 Z 0 ln(2 − x) dx g) 2 Z 1 ln x dx h) e Z √ e ln x x2 dx
Zadanie 11. Obliczy¢ podane caªki oznaczone:
a) 3 Z 0 sgn(x − x3) dx b) 4 Z 0 √ x2− 2x + 1 dx c) 3 Z 0 f (x) dx, f (x) = 1 − x dla 0 ≤ x ≤ 1 1 dla 1 < x ≤ 2 (2 − x)2 dla 2 < x ≤ 3
Zadanie 12. Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego
