Metody numeryczne w fizyce Ćwiczenia 7
1. Znajdź błąd wzorów przybliżonych:
a.
( )
1( )
4( ) (
2)
,' x 2 3 x x
f f f h f x h
h− + + − +
b.
( )
2( ) ( ) ( )
1 2 2 .
'' x x x
f h x h
h f f f
− + + +
2. Udowodnij, że
a.
( )
3( ) ( ) ( ) ( )
1 3 3 2 3 ,
''' x x h x
f f h x h
h f f f x
+ − + + + −
b.
( )
3( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 2 2 .
''' 2
f x x h x h x h x h
h f f f f
+ − + + − − −
Znajdź błędy tych przybliżeń. Które z nich jest dokładniejsze?
Tabela współczynników dla wzorów pozwalających obliczać pochodne różnych rzędów z określeniem rzędu przybliżenia: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_coefficient.
3. Wyprowadź wzór Newtona-Cotesa dla n = 2:
( ) (
−) ( )
+ + +( )
b 61 4 2 a
f x dx b a f a f a b f b .
4. Podaj wzory złożone całkowania numerycznego, oparte na następujących prostych wzorach:
a.
1( )
( )
0
1 x dx f
f ,
b.
( ) ( )
−
1 1
0 2 x dx f
f .
Porównaj: D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, rozdział 7.1, 7.2.
Karol Tarnowski Wrocław, 2021
