Wstęp do statystycznej analizy danych
7. Zmienne losowe — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 7.1 Dwóch graczy K i L gra w orła i reszkę. Jeżeli wypadnie orzeł, to gracz K płaci graczowi L 1zł. Jeżeli wypadnie reszka, to gracz L płaci graczowi K 1zł. Podaj rozkład zmiennych losowych opisujących wygrane obu graczy. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję oraz dystrybuantę (wykres).
Zad. 7.2 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
FX(t) =
0, t < −1/2, 1/4, −1/2 ¬ t < 0, 1/2, 0 ¬ t < 5, 4/5, 5 ¬ t < 6, 1, t 6.
Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
Zad. 7.3 Rzucamy raz trzema kostkami. Oblicz wartość oczekiwana uzyskanej łącznej liczby oczek.
Zad. 7.4 Zmienna losowa X ma rozkład
xi a b 0
pi 1/3 1/3 1/3.
Oblicz a oraz b, wiedząc, że EX = 0 i V arX = 8/3.
Zad. 7.5 Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami i otrzymujemy od „bankiera” tyle złotych, ile uzyskaliśmy orłów. Ile powinniśmy zapłacić „bankierowi”, żeby gra była sprawiedliwa?
Zad. 7.6 Gracz opłaca stawkę 50 zł i otrzymuje x zł, jeżeli dwie karty wylosowane z talii 52 kart są tego samego koloru. Dla jakiej wartości x gra jest sprawiedliwa?
Zad. 7.7 W urnie są trzy kule o numerze 1, dwie o numerze 2 i jedna z numerem 3. Z urny losujemy kolejno dwie kule ze zwracaniem. Określamy zmienną X jako największy z wylosowanych numerów napisanych na kulach. Oblicz EX oraz V arX.
Zad. 7.8 W n próbach Bernoulliego wartość oczekiwana liczby sukcesów jest pięć razy większa od wartości oczekiwanej liczby porażek. Oblicz p.
Zad. 7.9 Wiadomo, że rozkład liczby organizmów żywych w próbkach pobranych z dna pewnego jeziora jest zgodny z rozkładem Poissona o parametrze λ = 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej próbce:
a) nie będzie żywych organizmów,
b) wystąpią co najmniej trzy żywe organizmy.
Zad. 7.10 Dla jakiej wartości A funkcja f (x) =
( 0, |x| ¬ 1,
A
x4, |x| 1
jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X? Znajdź prawdopodobień- stwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość większą od 2.
1
Zad. 7.11 Funkcja gęstości stażu pracy osób zatrudnionych na odpowiedzialnych stano- wiskach kierowniczych określona jest następująco:
f (x) =
0, x < 0,
cx2, 0 ¬ x ¬ 6 lat, 0, x > 6 lat.
a) Oblicz stałą c i wyznacz dystrybuantę tego rozkładu.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że staż pracy osoby zatrudnionej na odpowiedzial- nym stanowisku jest mniejszy niż 2 lata.
c) Oblicz wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe stażu pracy.
Zad. 7.12 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
FX(t) =
0, t ¬ −3,
1
2 + 1πarcsin3t, −3 < t ¬ 3,
1, t > 3.
Wyznacz gęstość zmiennej X.
Zad. 7.13 Na odcinek [0,9] rzucamy losowo punkt. Niech zmienna losowa X, opisująca odległość tego punktu od wybranego końca przedziału, ma rozkład jednostajny na tym przedziale. Oblicz P (X > 7) oraz P (1 ¬ X < 4).
Zad. 7.14 Czas bezawaryjnej pracy (w tys. h) pewnego urządzenia jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 0, 2.
a) Jaka część urządzeń będzie pracowała bez awarii dłużej niż 5 tys. h?
b) Po jakim czasie popsuje się połowa urządzeń?
Zad. 7.15 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0, 1). Obliczyć: P (0 < X < 1), P (X > 2), P (X > 0, 52) oraz P (|X| ¬ 1).
Zad. 7.16 Jeżeli wzrost 1000 studentów spełnia warunki rozkładu normalnego o średniej 172, 5 cm i odchyleniu standardowym 6, 25 cm, to ilu studentów z tej grupy będzie miało co najmniej 180 cm wzrostu?
Zad. 7.17 Waga mężczyzn jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z parametrami m=72 kg i σ=8,1 kg. Oblicz prawdopodobieństwa, że z populacji mężczyzn wylosu- jemy osobę o wadze od 68 do 74 kg oraz powyżej 80 kg.
Zad. 7.18 Zmienna losowa X ma rozkład
xi −4 −3 −2 −1 0 1 2 4
pi 161 161 18 41 14 18 161 161 Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = X2 − 4.
2
